벡터장과 적분 정리

9장에서는 다변수함수의 미분을, 10장에서는 다중적분을 다루었다. 이 장에서는 두 이론을 결합하여 벡터장의 선적분과 면적분을 정의하고, 그린의 정리, 발산 정리, 스토크스 정리를 살펴본다. 마지막에는 이 적분정리들을 미분형식의 언어로 하나의 정리로 통합한다.

벡터장의 기초

\(\mathbb{R}^n\)의 열린집합 \(D\)에서 정의된 함수 \(f\colon D\to\mathbb{R}\)을 스칼라장(scalar field)이라고 부르고, \(F\colon D\to\mathbb{R}^n\)을 벡터장(vector field)이라고 부른다. 현실 세계에서 온도나 압력 분포는 스칼라장이고, 속도장이나 전기장은 벡터장이다.

9장에서 정의한 기울기와 함께 다음 연산을 사용한다.

• \(C^1\) 스칼라장 \(f\)의 기울기는 \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\, \frac{\partial f}{\partial x_2},\, \ldots,\, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \] 이다.
• \(C^1\) 벡터장 \(F=(F_1,\ldots,F_n)\)의 발산(divergence)은 \[ \nabla\cdot F = \operatorname{div}F = \sum_{i=1}^n\frac{\partial F_i}{\partial x_i} \] 이다.
• \(\mathbb{R}^3\)에서 \(C^1\) 벡터장 \(F=(F_1,F_2,F_3)\)의 회전(curl)은 \[ \nabla\times F = \operatorname{curl}F = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\, \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\, \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \] 이다. 다음 행렬식 표기는 회전을 기억하기 위한 형식적인 표기이다. \[ \nabla\times F = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ F_1&F_2&F_3 \end{vmatrix}. \]
• \(C^2\) 스칼라장 \(f\)의 라플라스 연산자(Laplacian)는 \[ \Delta f = \nabla\cdot(\nabla f) = \sum_{i=1}^n\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2} \] 이다. 벡터장 \(F=(F_1,F_2,F_3)\)에는 성분별로 \[ \Delta F=(\Delta F_1,\Delta F_2,\Delta F_3) \] 라고 쓴다.

벡터장 \(F\)에 대하여 스칼라장 \(\phi\)가 존재하여 \(F=\nabla\phi\)이면 \(F\)를 보존장(conservative field) 또는 경사장(gradient field)이라고 부르고, \(\phi\)를 퍼텐셜 함수(potential function)라고 부른다. 벡터장 \(F\)가 \(\nabla\cdot F=0\)을 만족시키면 \(F\)를 솔레노이드장(solenoidal field)이라고 부른다. 정리 11.1에 의해 \(C^2\) 벡터장 \(G\)의 모든 회전장 \(\nabla\times G\)는 솔레노이드장이다.

유클리드 공간 \(\mathbb{R}^2\)에서 표준기저를 \(\mathbf{i}=(1,0)\), \(\mathbf{j}=(0,1)\)로 나타내면 벡터장은 \[ F=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j} \] 로 쓸 수 있다. 마찬가지로 \(\mathbb{R}^3\)에서는 \[ F=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k} \] 로 쓴다.

선적분

\(\mathbb{R}^n\)의 곡선 \(C\)가 \(C^1\) 함수 \(r\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n\)로 매개변수화되고 \(r'(t)\ne0\)이면 \(r\)을 정칙 매개화(regular parametrization)라고 하고 \(C\)를 매끄러운 곡선(smooth curve)이라고 부른다. \(t\)가 증가하는 방향을 \(C\)의 방향으로 정한다. 매끄러운 곡선을 유한 개 이어 붙인 곡선을 조각마다 매끄러운 곡선(piecewise smooth curve)이라고 부른다.

매끄러운 곡선 \(C\)에 대한 연속 스칼라장 \(f\)의 선적분(line integral)을 \[ \int_C f\,ds = \int_a^b f(r(t))\|r'(t)\|\,dt. \tag{11.1} \] 로 정의한다. 여기서 \(ds\)는 호의 길이에 대한 미분소이다.

매끄러운 유향곡선 \(C\)에 대한 연속 벡터장 \(F\)의 선적분은 \[ \int_C F\cdot dr = \int_C F\cdot T\,ds = \int_a^bF(r(t))\cdot r'(t)\,dt. \tag{11.2} \] 로 정의한다. 여기서 \[ T=\frac{r'(t)}{\|r'(t)\|} \] 는 단위접선벡터이다. 이 적분을 방향선적분이라고도 한다.

\(C\)가 조각마다 매끄러운 곡선이고 \[ C=C_1\cup\cdots\cup C_k \] 로 이어 붙여졌으면 각 조각의 적분을 더하여 선적분을 정의한다. 폐곡선 위의 방향선적분은 \[ \oint_C F\cdot dr \] 로 나타낸다. 물리학에서 \(\int_CF\cdot dr\)은 힘 \(F\)가 경로 \(C\)를 따라 한 일에 해당하며, 폐곡선에서는 순환(circulation)을 나타낸다.

두 점을 잇는 임의의 두 조각마다 매끄러운 곡선에 대한 선적분의 값이 같으면 선적분이 경로독립(path independent)이라고 한다. 열린집합 \(D\)가 단순연결(simply connected)이라는 것은 \(D\) 안의 모든 폐곡선이 \(D\) 안에서 한 점으로 연속적으로 수축될 수 있다는 뜻이다.

벡터장의 선적분을 미분형식으로 표현할 수도 있다. \(\mathbb{R}^2\)에서 벡터장 \[ F=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j} \] 에 대응하는 \(1\)-형식을 \[ \omega=P\,dx+Q\,dy \] 로 쓴다. 여기서 \(dx,dy\)는 접벡터에 작용하는 좌표 선형함수이다. \(r(t)=(x(t),y(t))\)이면 \[ \int_C\omega = \int_a^b \left[ P(r(t))x'(t)+Q(r(t))y'(t) \right]dt = \int_CF\cdot dr. \] \(\mathbb{R}^3\)에서도 \[ F=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k} \] 에 대응하는 \(1\)-형식은 \[ \omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dz \] 이고 \(\int_C\omega=\int_CF\cdot dr\)이다.

그린의 정리

이 절에서는 필요에 따라 유한 개의 \(x\)-단순영역 또는 \(y\)-단순영역으로 분할할 수 있고 경계가 조각마다 \(C^1\)인 유계 평면영역을 정칙 평면영역이라고 부른다. 경계의 양의 방향은 영역을 진행방향의 왼쪽에 두는 방향이다. 따라서 외부경계는 반시계방향이고 구멍의 경계는 시계방향이다.

벡터장 \(F=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}\)에 대하여 그린의 정리는 \[ \oint_{\partial D}F\cdot dr = \iint_D(\nabla\times(P,Q,0))\cdot\mathbf{k}\,dA \tag{11.4} \] 로 쓸 수 있다. 또한 바깥쪽 단위법선벡터를 \(\mathbf n\)이라 하면 \[ \oint_{\partial D}F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right)dA = \iint_D\nabla\cdot F\,dA. \tag{11.5} \] 첫 번째 형태를 순환-회전 형식, 두 번째 형태를 유출-발산 형식이라고 부른다.

그린의 정리를 사용하면 평면도형의 넓이를 \[ \operatorname{Area}(D) = \iint_DdA = \frac12 \oint_{\partial D} x\,dy-y\,dx \tag{11.6} \] 로 계산할 수 있다.

면적분과 발산 정리

\(\mathbb{R}^3\)의 곡면 \(S\)가 \(D\subseteq\mathbb{R}^2\)에서 정의된 \(C^1\) 매개화 \[ r\colon D\to\mathbb{R}^3 \] 를 가지고, 여기서는 \(r\)이 \(D\)의 내부에서 일대일이라고 가정하자. 또한 \[ N(u,v) = \frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v} \ne0 \tag{11.7} \] 라고 하자. 이때 \(r\)을 정칙 매개화(regular parametrization)라고 한다. 단위법벡터는 \[ \mathbf n=\frac{N}{\|N\|} \] 이다. 곡면 전체에서 연속적으로 단위법벡터를 하나 선택할 수 있으면 곡면이 방향을 가진다(orientable)고 하고, 그 선택을 곡면의 방향이라고 한다.

연속 스칼라장 \(f\)의 면적분(surface integral)은 \[ \iint_Sf\,dS = \iint_D f(r(u,v)) \left\| \frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v} \right\|du\,dv \tag{11.8} \] 로 정의한다. 곡면이 \(z=g(x,y)\)의 그래프이면 \[ \iint_Sf\,dS = \iint_D f(x,y,g(x,y)) \sqrt{ 1+\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 +\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2 }\,dx\,dy. \tag{11.9} \]

방향을 가진 곡면 \(S\)에 대한 벡터장 \(F\)의 유향면적분 또는 유출(flux)은 \[ \iint_SF\cdot\mathbf n\,dS = \iint_D F(r(u,v)) \cdot \left( \frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v} \right)du\,dv. \tag{11.10} \] 오른쪽 식에서는 매개화의 방향이 선택한 \(\mathbf n\)과 일치한다고 가정한다.

이 절에서 \(3\)차원 정칙 영역은 각 좌표방향에 대하여 필요한 만큼 유한 개의 단순영역으로 분할할 수 있고 경계가 유한 개의 \(C^1\) 곡면조각으로 이루어진 유계 영역을 뜻한다.

발산 정리를 \(F=r/3=(x,y,z)/3\)에 적용하면 \[ \operatorname{Vol}(V) = \frac13 \iint_{\partial V} r\cdot\mathbf n\,dS. \tag{11.12} \]

또한 \(f\)가 \(\overline V\)를 포함하는 열린집합에서 \(C^1\), \(g\)가 같은 열린집합에서 \(C^2\)이면 \[ \nabla\cdot(f\nabla g) = \nabla f\cdot\nabla g+f\Delta g \] 이므로 발산 정리에 의해 그린의 제1항등식 \[ \iiint_V \left( f\Delta g+\nabla f\cdot\nabla g \right)dV = \iint_{\partial V} f\frac{\partial g}{\partial n}\,dS \tag{11.13} \] 을 얻는다. 여기서 \[ \frac{\partial g}{\partial n} = \nabla g\cdot\mathbf n \] 이다.

스토크스 정리

조각마다 매끄러운 유향곡면은 유한 개의 정칙 곡면조각을 이어 붙여 얻는 곡면으로 생각한다. 서로 만나는 내부경계에는 두 조각에서 서로 반대 방향이 유도된다.

특히 \(S\)가 경계가 없는 폐곡면이면 \[ \iint_S (\nabla\times F)\cdot\mathbf n\,dS = 0. \tag{11.15} \]

미분형식과 일반화된 스토크스 정리

적분 정리들을 하나의 언어로 표현하기 위해 미분형식(differential form)을 사용한다. 열린집합 \(U\subseteq\mathbb{R}^n\)에서 \(C^1\) \(k\)-형식은 각 점에서 \(k\)개의 벡터에 작용하는 교대 \(k\)-중선형함수이고, 좌표로는 \[ \omega = \sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} a_{i_1\cdots i_k} \,dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_k} \] 로 나타낸다.

쐐기곱(wedge product)은 쌍선형이고 결합적이며 \[ dx_i\wedge dx_j=-dx_j\wedge dx_i, \quad dx_i\wedge dx_i=0 \] 을 만족시킨다. 일반적으로 \(p\)-형식 \(\alpha\)와 \(q\)-형식 \(\beta\)에 대하여 \[ \alpha\wedge\beta = (-1)^{pq}\beta\wedge\alpha \] 이다.

\(0\)-형식은 스칼라함수이고, \(1\)-형식은 \[ \omega=\sum_{i=1}^na_i\,dx_i \] 꼴이다. \(\mathbb{R}^3\)에서 \[ P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy \] 는 벡터장 \((P,Q,R)\)의 유향면적분에 대응하고, \[ f\,dx\wedge dy\wedge dz \] 는 부피적분에 대응한다.

외미분(exterior derivative) \(d\)는 \(k\)-형식을 \((k+1)\)-형식으로 보낸다. 함수 \(f\)에 대해서는 \[ df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i. \tag{11.17} \] \(1\)-형식 \(\omega=\sum_iP_i\,dx_i\)에 대해서는 \[ d\omega = \sum_{i<j} \left( \frac{\partial P_j}{\partial x_i} - \frac{\partial P_i}{\partial x_j} \right) dx_i\wedge dx_j. \tag{11.18} \] 또 \(2\)-형식 \[ \omega=\sum_{i<j}Q_{ij}\,dx_i\wedge dx_j \] 에 대해서는 \[ d\omega = \sum_{i<j}\sum_{k=1}^n \frac{\partial Q_{ij}}{\partial x_k} \,dx_k\wedge dx_i\wedge dx_j, \tag{11.19} \] 이며 같은 미분소가 반복되는 항은 \(0\)이 된다. 특히 \(\mathbb{R}^3\)에서 \[ \omega = P\,dy\wedge dz + Q\,dz\wedge dx + R\,dx\wedge dy \] 이면 \[ d\omega = \left( P_x+Q_y+R_z \right) dx\wedge dy\wedge dz. \]

외미분은 선형이고, \(\alpha\)가 \(p\)-형식이면 \[ d(\alpha\wedge\beta) = d\alpha\wedge\beta + (-1)^p\alpha\wedge d\beta \] 를 만족시킨다. 또한 \(C^2\) 형식에 대해서는 클레로 정리에 의해 \[ d(d\omega)=0 \] 이다. 이 성질을 \(d^2=0\)이라고 쓴다. \(d^2=0\) 자체를 포앙카레 보조정리라고 부르는 것은 정확하지 않다. 포앙카레 보조정리(Poincaré lemma)는 별모양 열린집합에서 \(d\omega=0\)인 양의 차수의 형식이 실제로 \(\omega=d\eta\) 꼴이 된다는 더 강한 명제이다. 그 일반적인 증명은 이 책의 범위를 넘어가므로 증명 없이 사용한다.

미분형식의 적분은 매개화에 대한 당김(pullback)을 사용하여 정의한다. 매끄러운 사상 \(\Phi\colon N\to M\)과 \(k\)-형식 \(\omega\)에 대하여 \(\Phi^*\omega\)를 \[ (\Phi^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_k) = \omega_{\Phi(p)} \bigl( D\Phi_pv_1,\ldots,D\Phi_pv_k \bigr) \] 로 정의한다. 방향을 보존하는 매개화 \(\Phi\colon U\subseteq\mathbb{R}^k\to M\) 위에서 \(k\)-형식의 적분은 \[ \int_{\Phi(U)}\omega = \int_U\Phi^*\omega \] 로 정의한다. 정리 10.9의 변수변환 정리에 의해 이 값은 방향을 보존하는 좌표변환에 무관하다.

이제 일반화된 스토크스 정리를 진술하기 위해 필요한 다양체의 최소한의 개념을 정리한다. 이 책에서 \(k\)차원 매끄러운 다양체(smooth manifold) \(M\)은 하우스도르프이고 제2가산인 위상공간으로서, 각 점이 \(\mathbb{R}^k\)의 열린집합과 위상동형인 근방을 가지며 좌표변환이 \(C^\infty\)인 공간을 뜻한다. 좌표쌍 \((U,\phi)\)를 차트(chart), 차트들의 모임을 아틀라스(atlas)라고 부른다.

서로 겹치는 두 차트의 전환 사상의 야코비 행렬식이 양수가 되도록 아틀라스를 선택할 수 있으면 \(M\)이 방향을 가진다(oriented)고 한다. 구면은 바깥쪽 법벡터로 방향을 정할 수 있지만 뫼비우스 띠는 방향을 정할 수 없다.

경계를 가진 다양체(manifold with boundary)는 국소 좌표가 \[ H^k = \{x\in\mathbb{R}^k\mid x_k\ge0\} \] 의 상대적으로 열린 부분집합에 값을 가지도록 허용한 다양체이다. 좌표에서 \(x_k=0\)에 놓이는 점들의 집합을 \(\partial M\)이라고 한다. 매끄러운 전환 사상 때문에 이 정의는 차트의 선택에 무관하다.

함수 \(f\colon M\to\mathbb{R}\)의 지지집합(support)은 \[ \operatorname{supp}(f) = \overline{\{x\in M\mid f(x)\ne0\}} \] 이다. 단위분할(partition of unity)은 열린덮개 \(\{U_\alpha\}\)에 대하여 \[ 0\le\rho_\alpha\le1,\quad \operatorname{supp}(\rho_\alpha)\subseteq U_\alpha,\quad \sum_\alpha\rho_\alpha=1 \] 을 만족시키는 \(C^\infty\) 함수들의 국소유한한 모임이다. 매끄러운 다양체의 임의의 열린덮개에 종속된 매끄러운 단위분할이 존재한다는 사실은 이 장에서 증명 없이 사용한다.

방향을 가진 \(k\)차원 다양체에서 컴팩트 지지를 가진 \(k\)-형식의 적분은 방향을 보존하는 차트와 단위분할로 국소 적분을 합하여 정의한다. 변수변환 정리에 의해 이 값은 차트와 단위분할의 선택에 무관하다. 컴팩트 다양체에서는 모든 연속 형식의 지지집합이 자동으로 컴팩트하다.

\(k\)-형식 \(\omega\)가 \(d\omega=0\)을 만족시키면 닫힌형식(closed form)이라고 한다. 어떤 \((k-1)\)-형식 \(\eta\)가 존재하여 \(\omega=d\eta\)이면 완전형식(exact form)이라고 한다. \(d^2=0\)이므로 완전형식은 항상 닫힌형식이다. 역은 일반적으로 거짓이며 정의역의 위상에 의존한다.

일반화된 스토크스 정리는 앞에서 본 여러 정리를 동시에 포함한다.

• \(k=1\), \(M=[a,b]\)이면 미적분의 기본정리이다.
• \(k=2\), \(M\subseteq\mathbb{R}^2\)이고 \(\omega=P\,dx+Q\,dy\)이면 그린의 정리이다.
• \(k=2\), \(M\subseteq\mathbb{R}^3\)이고 \(\omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dz\)이면 \(3\)차원 스토크스 정리이다.
• \(k=3\), \(M\subseteq\mathbb{R}^3\)이고 \[ \omega=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy \] 이면 발산 정리이다.