벡터장과 적분 정리

이 장에서는 벡터해석의 기본 개념과 그린의 정리, 발산 정리, 스토크스 정리 등 중요한 적분정리들을 살펴본다. 이러한 정리들은 물리학과 공학 등 응용 분야에서 중요한 역할을 한다.

벡터장의 기초

\(\mathbb{R}^n\)의 영역 \(D\)에서 정의된 함수 \(f: D \to \mathbb{R}\)을 스칼라장(scalar field)이라고 부르고, \(F: D \to \mathbb{R}^n\)을 벡터장(vector field)이라고 부른다. 현실 세계에서 온도나 압력 분포는 스칼라장이고, 속도장이나 전기장은 벡터장이다.

자주 사용하는 몇 가지 연산을 정의하자.

• 스칼라장 \(f\)의 기울기(gradient)를 다음과 같이 정의한다. \[\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\, \frac{\partial f}{\partial x_2},\, \ldots,\, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right).\] 이것은 스칼라장으로부터 벡터장을 만든다.
• 벡터장 \(F\)의 발산(divergence)을 다음과 같이 정의한다. \[\nabla \cdot F = \operatorname{div} F = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial F_i}{\partial x_i}.\] 이것은 벡터장으로부터 스칼라장을 만든다.
• \(\mathbb{R}^3\)에서 벡터장 \(F = (F_1,\, F_2,\, F_3)\)의 회전(curl)을 다음과 같이 정의한다. \[\nabla \times F = \operatorname{curl} F = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z},\,\, \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x},\,\, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right).\] 여기서 \((x,\, y,\, z)\)는 \(\mathbb{R}^3\)의 좌표이다. \(F\)의 회전을 다음과 같은 행렬식으로 나타내기도 한다. \[\nabla \times F = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}\]
• 스칼라장 \(f\)에 대한 라플라스 연산자(Laplacian)를 다음과 같이 정의한다. \[\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]

지금까지 살펴본 연산과 관련하여 다음과 같은 등식이 성립한다.

• \(\nabla \times (\nabla f) = 0\)  (기울기의 회전은 0이다.)
• \(\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0\)  (회전의 발산은 0이다.)
• \(\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla(\nabla \cdot F) - \Delta F\)  (단, \(\Delta F = (\Delta F_1 ,\, \Delta F_2 ,\, \Delta F_3 )\)이다.)

\(F\)가 벡터장이라고 하자. 만약 스칼라장 \(\phi\)가 존재하여 \(F = \nabla \phi\)를 만족시키면 \(F\)를 보존장(conservative field) 또는 경사장(gradient field)이라고 부르고, \(\phi\)를 퍼텐셜 함수(potential function)라고 부른다.

벡터장 \(F\)가 \(\nabla \cdot F = 0\)을 만족시킬 때 \(F\)를 솔레노이드장(solenoidal field)이라고 부른다. 벡터 항등식에 의해, 모든 회전장 \(\nabla \times G\)는 솔레노이드장이다.

유클리드 공간 \(\mathbb{R}^2\)에서 표준기저원소를 \(\mathbf{i}=(1,\,0)\), \(\mathbf{j}=(0,\,1)\)로 나타내기도 한다. 이러한 관점에서, 공역이 \(\mathbb{R}^2\)인 함수 \(F\)는 두 스칼라함수 \(P\), \(Q\)를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[F = P \,\mathbf{i} + Q \,\mathbf{j}.\] 마찬가지로 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^3\)에서 표준기저원소를 \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\)로 나타내기도 한다. 이때 공역이 \(\mathbb{R}^3\)인 함수 \(F\)는 세 스칼라함수 \(P\), \(Q\), \(R\)을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[F = P \,\mathbf{i} + Q \,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}.\]

선적분

\(\mathbb{R}^n\)에서 곡선 \(C\)가 매개변수함수 \(r: [a,\, b] \to \mathbb{R}^n\)에 의하여 표현되고, \(r\)이 \(C^1\)이며 \(r ' (t) \ne 0\)일 때, \(C\)를 매끄러운 곡선(smooth curve)이라고 부른다. 곡선 \(C\)에는 \(t\)의 값이 \(a\)에서 \(b\)까지 증가할 때 곡선 위의 점이 움직이는 방향과 같은 방향이 주어졌다고 가정한다. 이와 같이 방향이 주어진 곡선을 유향곡선이라고 부른다. 또한 매끄러운 곡선을 이어 붙인 곡선을 조각마다 매끄러운 곡선(piecewise smooth curve)이라고 부른다.

매끄러운 곡선 \(C\)에 대한 스칼라장 \(f\)의 선적분(line integral)을 다음과 같이 정의한다. \[\int_C f\, ds = \int_a^b f(r(t)) \|r'(t)\| dt.\tag{11.1}\] 여기서 \(ds\)는 호의 길이에 대한 미분소이다. 이러한 관점에서 적분 (11.1)을 곡선 길이에 대한 선적분이라고 부르기도 한다.

매끄러운 곡선 \(C\)에 대한 벡터장 \(F\)의 선적분을 다음과 같이 정의한다. \[\int_C F \cdot dr = \int_C F\cdot T \,ds = \int_a^b F(r(t)) \cdot r'(t) dt.\tag{11.2}\] 여기서 \(T\)는 곡선 \(C\) 위의 점에서 이 곡선에 접하는 단위접선벡터 \(T=r'(t) / \lVert r' (t) \rVert\)이다.

곡선 \(C\)의 모양이 변하지 않더라도 \(C\)의 방향이 달라지면 (11.2)의 값이 달라진다. 이러한 관점에서 적분 (11.2)를 방향선적분이라고 부르기도 한다.

적분 (11.2)는 물리학에서 힘 \(F\)가 경로 \(C\)를 따라 한 일을 나타낸다. 또한 \(F\)가 곡선을 포함하는 영역에서 정의된 속도벡터장일 때 적분 (11.2)는 점 \(r(a)\)에서 점 \(r(b)\)까지 곡선을 따라 흐르는 유동(flow)이다. 만약 곡선 \(C\)의 시작점과 끝점이 일치하면, 적분 (11.2)를 곡선을 따른 순환(circulation)이라고 부른다.

만약 \(C\)가 조각마다 매끄러운 곡선이고, \[C = C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_k\] 와 같이 매끄러운 곡선 \(C_j\)들을 이어 붙여 만든 곡선일 때, 곡선 \(C\)에 대한 스칼라장 \(f\)의 선적분을 다음과 같이 정의한다. \[\int_C f \,ds = \sum_{j=1}^{k} \int_{C_j} f \,ds .\] 조각마다 매끄러운 곡선 \(C\)에 대한 벡터장 \(F\)의 선적분도 같은 방법으로 정의한다.

곡선 \(C\)가 폐곡선일 때 \(C\) 위에서의 선적분을 다음과 같이 \(\oint\) 기호를 사용하여 나타낸다. \[\oint_C F \cdot dr.\]

위 정리는 보존장의 선적분이 경로에 무관하고 시작점과 끝점에만 의존한다는 성질을 설명한다. 이러한 성질은 다음과 같이 확장할 수 있다.

위 정리에서 영역 \(D\)가 단순연결영역(simply connected region)이라는 것은 \(D\) 안에 있는 모든 폐곡선을 연속적으로 한 점으로 수축시킬 수 있다는 의미이다.

벡터장의 선적분을 미분형식(differential form)으로 표현할 수도 있다. \(\mathbb{R}^2\)에서 벡터장 \(F = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j}\)가 주어졌을 때, 이에 대응하는 1-형식(1-form)을 다음과 같이 정의한다. \[\omega = P\, dx + Q\, dy.\]

여기서 \(dx\), \(dy\)는 좌표함수의 미분을 나타내는 기호로서, 접벡터에 작용하는 선형함수로 이해할 수 있다. 곡선 \(C\)가 \(r(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j}\)로 매개변수화될 때, 1-형식 \(\omega\)의 선적분은 다음과 같이 표현된다. \[\int_C \omega = \int_C P\, dx + Q\, dy = \int_a^b \left[P(r(t))\frac{dx}{dt} + Q(r(t))\frac{dy}{dt}\right] dt.\]

이것은 벡터장 \(F\)의 선적분 \(\int_C F \cdot dr\)과 일치한다. 따라서 벡터장의 선적분과 1-형식의 적분은 본질적으로 같은 개념이며, 상황에 따라 편리한 표기를 선택하여 사용한다.

마찬가지로 \(\mathbb{R}^3\)에서 벡터장 \(F = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} +R\,\mathbf{k}\)에 대응하는 1-형식은 \[\omega = P\, dx + Q\, dy + R\, dz\] 이고, 곡선 \(C\)에 대한 \(F\)의 적분은 \[\int_C \omega = \int_C P\, dx + Q\, dy + R\, dz = \int_C F \cdot dr\] 이다.

그린의 정리

평면에서의 중요한 적분정리인 그린의 정리는 이중적분과 선적분의 관계를 설명한다.

그린의 정리를 벡터 형식으로 표현할 수 있다. 즉 벡터장 \(F = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + 0\mathbf{k}\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\oint_{\partial D} F \cdot dr = \iint_D (\nabla \times F) \cdot \mathbf{k}\, dA.\tag{11.4}\] 여기서 \(\nabla \times F = (0,\,0,\,Q_x - P_y )\)이고, \(\mathbf{k}\)는 \(z\)축 방향 단위벡터이다. 또한 \(F = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j}\)에 대하여 \[\oint_{\partial D} F \cdot \mathbf{n} \,ds = \iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dA = \iint_D (\nabla \cdot F) dA\tag{11.5}\] 로 나타낼 수도 있다. 여기서 \(\mathbf{n}\)은 경계에서 바깥쪽을 향하는 단위법선벡터이다. 등식 (11.5)의 첫 번째 적분을 곡선 \(\partial D\)를 가로지르는 \(F\)의 유출(flux)이라고 부른다.

등식 (11.3)과 (11.4)를 그린 정리의 순환-회전 형식 또는 접선 형식이라고 부르고, 등식 (11.5)를 그린 정리의 유출-발산 형식 또는 법선 형식이라고 부른다.

그린의 정리를 사용하면 평면도형의 넓이를 다음과 같이 선적분으로 계산할 수 있다. \[\text{Area}(D) = \iint_D dA = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} x\, dy - y\, dx.\tag{11.6}\]

그린의 정리를 다중연결영역에도 적용할 수 있다. 즉 \(D\)가 구멍이 있는 영역이면, 선적분을 계산할 때 외부경계선 위에서는 반시계방향으로, 내부경계선 위에서는 시계방향으로 적분한다.

면적분과 발산 정리

\(\mathbb{R}^3\)에서 곡면 \(S\)가 \(D \subseteq \mathbb{R}^2\)인 영역 \(D\)에 대하여 매개변수 표현 \(r: D \to \mathbb{R}^3\)를 가진다고 하자. 점 \((u,\, v) \in D\)에 대응되는 곡면 위의 점에서 법벡터(normal vector)는 다음과 같이 정의된다. \[\mathbf{n} = \frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}.\tag{11.7}\] 이 법벡터가 \(0\)이 아니면서, \((u,\,v)\)에 대한 연속함수일 때, \(S\)를 매끄러운 곡면(smooth surface)이라고 부른다.

곡면 \(S\)에 대한 스칼라장 \(f\)의 면적분(surface integral)을 다음과 같이 정의한다. \[\iint_S f\, dS = \iint_D f(r(u,\, v)) \left\|\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}\right\| du\, dv.\tag{11.8}\] 위 면적분을 곡면 넓이에 대한 면적분이라고 부르기도 한다.

곡면이 \(z = g(x,\, y)\) 형태의 함수의 그래프로 주어지면 면적분은 다음과 같이 표현된다. \[\iint_S f\, dS = \iint_D f(x,\, y,\, g(x,\, y)) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^2} dx\, dy.\tag{11.9}\]

곡선 길이에 대한 선적분과 방향선적분이 존재한 것처럼, 면적분에서도 곡면의 방향을 고려하는 벡터장의 면적분을 정의할 수 있다.

곡면 \(S\)가 두 개의 방향을 가지고, 그 중 곡면 위의 법벡터 \(\mathbf{n}\)과 같은 방향을 기준으로 하였을 때, \(S\)에 대한 벡터장 \(F\)의 면적분을 다음과 같이 정의한다. \[\iint_S F \cdot \mathbf{n}\, dS = \iint_D F(r(u,\, v)) \cdot \left(\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}\right) du\, dv.\tag{11.10}\] 위 면적분을 유향면적분이라고 부르기도 한다.

물리학에서 이 적분은 벡터장 \(F\)가 곡면 \(S\)를 통과하는 유량을 나타낸다.

발산 정리를 사용하여 얻을 수 있는 결과는 대표적으로 다음과 같은 것들이 있다.

• 부피 계산: \(3\)차원 영역 \(V\)의 부피는 다음과 같다. \[\frac{1}{3} \iint_{\partial V} r \cdot \mathbf{n}\, dS.\tag{11.12}\] 여기서 \(r = (x,\, y,\, z)\)이다.
• 그린의 제1항등식: \(f\)와 \(g\)가 스칼라장이고 \(f\)가 연속인 도함수를 가지며 \(g\)가 연속인 이계도함수를 가질 때 다음이 성립한다. \[\iiint_V (f\Delta g + \nabla f \cdot \nabla g) dV = \iint_{\partial V} f\frac{\partial g}{\partial n} dS.\tag{11.13}\]

스토크스 정리

스토크스 정리는 곡면 위에서의 면적분과 그 곡면의 경계에서의 선적분의 관계를 설명한다.

위 정리에서 \(S\)가 평면영역이면 스토크스 정리는 그린의 정리가 된다.

또한 \(S\)가 폐곡면이면 \(\partial S = \varnothing\)이므로 다음 결과를 얻는다. \[\iint_S (\nabla \times F) \cdot \mathbf{n}\, dS = 0.\tag{11.15}\]

미분형식과 일반화된 스토크스 정리

적분 정리를 통합적으로 다루기 위한 방법으로 미분형식(differential form)을 사용할 수 있다. \(\mathbb{R}^n\)에서 \(k\)-형식은 \(k\)개의 벡터를 스칼라에 대응시키는 교대 다중선형함수로 정의된다.

기본 미분형식은 다음과 같은 것들이 있다.

• 0-형식: 스칼라 함수 \(f(x_1,\, \ldots,\, x_n)\)
• 1-형식: \(\omega = \sum_{i=1}^n a_i\, dx_i\) (선적분의 피적분함수)
• 2-형식: \(\omega = \sum_{i < j} a_{ij}\, dx_i \wedge dx_j\) (면적분의 피적분함수)
• 3-형식: \(\omega = \sum_{i < j < k} a_{ijk}\, dx_i \wedge dx_j \wedge dx_k\) (부피적분의 피적분함수)

여기서 \(\wedge\)는 쐐기곱(wedge product)이라고 부르는 이항연산자로서, 다음과 같은 성질을 가진다.

• 반교환성: \(dx_i \wedge dx_j = -dx_j \wedge dx_i\)
• 멱영성: \(dx_i \wedge dx_i = 0\)
• 결합성: \((dx_i \wedge dx_j) \wedge dx_k = dx_i \wedge (dx_j \wedge dx_k)\)

\(\mathbb{R}^3\)에서의 \(2\)-형식과 \(3\)-형식은 구체적으로 다음과 같다.

• 2-형식 \(\omega = P\, dy \wedge dz + Q\, dz \wedge dx + R\, dx \wedge dy\)는 벡터장 \(F = (P,\, Q,\, R)\)의 유출을 나타낸다.
• 3-형식 \(\omega = f\, dx \wedge dy \wedge dz\)는 밀도함수 \(f\)의 부피적분을 나타낸다.

외미분(exterior derivative) \(d\)는 \(k\)-형식을 \((k+1)\)-형식에 대응시키는 변환이다.

• \(f\)가 \(0\)-형식일 때, \(f\)의 외미분은 다음과 같이 정의된다. \[df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i .\tag{11.17}\] 이것은 함수의 전미분이다.
• \(\omega = \sum P_i\, dx_i\)가 \(1\)-형식일 때, \(\omega\)의 외미분은 다음과 같이 정의된다. \[d\omega = \sum_{i < j} \left(\frac{\partial P_j}{\partial x_i} - \frac{\partial P_i}{\partial x_j}\right) dx_i \wedge dx_j.\tag{11.18}\] \(\mathbb{R}^3\)에서 이것은 회전(curl)에 대응된다.
• \(\omega = \sum_{i < j} Q_{ij}\, dx_i \wedge dx_j\)가 \(2\)-형식일 때, \(\omega\)의 외미분은 다음과 같이 정의된다. \[d\omega = \sum_{i < j < k} \left(\frac{\partial Q_{jk}}{\partial x_i} + \frac{\partial Q_{ki}}{\partial x_j} + \frac{\partial Q_{ij}}{\partial x_k}\right) dx_i \wedge dx_j \wedge dx_k.\tag{11.19}\] \(\mathbb{R}^3\)에서 이것은 발산(divergence)에 대응된다.
• \(k\ge 3\)일 때, \(\mathbb{R}^3\)에서 \(k\)-형식의 외미분은 \(0\)이다.

외미분의 중요한 성질은 다음과 같다.

• 선형성: \(d(\alpha\omega + \beta\eta) = \alpha\, d\omega + \beta\, d\eta\)
• 라이프니츠 공식: \(d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta\) (여기서 \(k\)는 \(\omega\)의 차수이다.)
• 포앙카레 보조정리: \(d(d\omega) = 0\). (이것을 \(d \circ d = 0\)으로 표현하기도 한다.)

미분형식의 적분이 실제로 어떻게 계산되는지 구체적인 예를 살펴보자.

\(\mathbb{R}^n\)의 일반적인 영역에 적분을 정의하기 위해 다양체(manifold)의 개념이 필요하다. \(k\)차원 미분 가능 다양체는 국소적으로 \(\mathbb{R}^k\)와 같아 보이는 공간이다.

구체적으로, 위상공간 \(M\)이 \(k\)차원 미분 가능 다양체라는 것은 다음 조건을 만족시키는 것이다. 각 점 \(p \in M\)에 대해 \(p\)를 포함하는 열린집합 \(U \subseteq M\)과 \(\mathbb{R}^k\)의 열린집합 \(V\), 그리고 위상동형사상 \(\phi: U \to V\)가 존재한다. 이러한 쌍 \((U,\, \phi)\)를 좌표 패치(coordinate patch) 또는 차트(chart)라고 부르고, \(\phi\)를 좌표 사상(coordinate map)이라고 부른다. 좌표 패치들의 모임을 아틀라스(atlas)라고 부른다.

두 좌표 패치 \((U_1,\, \phi_1)\)과 \((U_2,\, \phi_2)\)가 겹치는 부분 \(U_1 \cap U_2 \neq \varnothing\)에서 전환 사상(transition map) \[\phi_2 \circ \phi_1^{-1}: \phi_1(U_1 \cap U_2) \to \phi_2(U_1 \cap U_2)\]가 \(C^\infty\) 미분동형사상일 때 다양체가 미분 가능하다고 말한다. 이 조건은 서로 다른 좌표계 사이의 변환이 매끄럽게 이루어짐을 보장한다.

방향을 가진 다양체(oriented manifold)는 일관된 좌표계의 선택이 가능한 다양체이다. 구체적으로, 모든 전환 사상의 야코비 행렬식이 항상 양수가 되도록 아틀라스를 선택할 수 있을 때 다양체가 방향을 가진다고 말한다. 이것은 "오른손 좌표계"와 "왼손 좌표계"를 일관되게 구별할 수 있음을 의미한다.

• 구면 \(S^2 = \{x \in \mathbb{R}^3 \mid \|x\| = 1\}\)는 방향을 가진다. 바깥쪽 법벡터로 방향을 결정할 수 있다.
• 뫼비우스 띠는 방향을 가지지 않는다. 띠를 한 바퀴 돌면 방향이 반대가 된다.
• 클라인 병은 방향을 가지지 않는다.

다양체 \(M\)의 경계(boundary) \(\partial M\)은 다음과 같이 정의된다. 점 \(p \in M\)이 경계점이라는 것은, \(p\)를 포함하는 좌표 패치 \((U,\, \phi)\)가 존재하여 \(\phi(U)\)가 상반평면 \(H^k = \{x \in \mathbb{R}^k \mid x_k \geq 0\}\)의 열린부분집합이고, \(\phi(p)\)가 \(x_k = 0\)을 만족시키는 것이다. 이러한 모든 경계점들의 집합이 다양체의 경계 \(\partial M\)이다. 경계를 가진 다양체를 경계를 가진 다양체(manifold with boundary)라고 부른다.

미분형식의 적분을 일반적인 다양체로 확장하기 위해서는 몇 가지 도구가 필요하다.

함수 \(f: M \to \mathbb{R}\)의 지지집합(support)은 \[\operatorname{supp}(f) = \overline{\{x \in M \mid f(x) \neq 0\}}\]으로 정의된다. 즉, \(f\)가 0이 아닌 점들의 폐포이다. 함수가 컴팩트 지지(compact support)를 가진다는 것은 그 지지집합이 컴팩트 집합인 것이다. 컴팩트 지지를 가진 함수의 중요한 성질은 충분히 큰 영역 밖에서는 0이므로 적분이 항상 수렴한다는 것이다.

단위분할(partition of unity)은 다양체 전체에서 정의된 문제를 국소적으로 해결하기 위한 도구이다. 다양체 \(M\)의 열린덮개 \(\{U_\alpha\}_{\alpha \in A}\)에 종속된 단위분할이란 다음 조건을 만족시키는 함수들의 모임 \[\{\rho_\alpha: M \to [0,\, 1]\}_{\alpha \in A}\]이다.

• 각 \(\rho_\alpha\)는 \(C^\infty\) 함수이고 \(\operatorname{supp}(\rho_\alpha) \subseteq U_\alpha\)이다.
• 각 점 \(x \in M\)의 어떤 근방에서 유한 개를 제외한 모든 \(\rho_\alpha\)가 0이다. (이것을 '국소유한성'이라고 부른다.)
• 모든 \(x \in M\)에 대해 \(\sum_{\alpha \in A} \rho_\alpha(x) = 1\)이다.

직관적으로, 단위분할은 단위 \(1\)을 여러 조각으로 나누어 각 좌표 패치에 할당하는 방법이다. 예를 들어 원 \(S^1\)을 두 개의 열린 호로 덮었다면, 각 호에서 1에 가깝고 경계로 갈수록 0에 가까워지는 함수들을 만들어 그 합이 항상 1이 되도록 조정할 수 있다. 패러컴팩트 공간(특히 컴팩트 다양체)에서는 임의의 열린덮개에 대해 종속된 단위분할이 존재한다는 사실이 알려져 있다.

이러한 도구들을 사용하면 전체 다양체에서의 적분을 각 좌표 패치에서의 적분으로 분해할 수 있다. 함수 \(f\)가 주어졌을 때, \[f = \sum_\alpha \rho_\alpha f\]로 쓸 수 있고, 각 \(\rho_\alpha f\)는 \(U_\alpha\)에서만 0이 아니므로 국소 좌표에서 계산할 수 있다.

일반화된 스토크스 정리는 다음과 같은 특수한 경우를 포함한다.

• \(k = 1\), \(M = [a,\, b]\)인 경우 스토크스 정리는 미적분의 기본정리이다. \[\int_a^b f'(x)\, dx = f(b) - f(a).\]
• \(k = 2\), \(M \subset \mathbb{R}^2\)인 경우 스토크스 정리는 그린의 정리이다.
• \(k = 2\), \(M \subset \mathbb{R}^3\)인 경우 스토크스 정리는 \(3\)차원 스토크스 정리이다.
• \(k = 3\), \(M \subset \mathbb{R}^3\)인 경우 스토크스 정리는 발산 정리이다.