이 장에서는 거리공간 사이에서 정의된 함수의 극한과 연속성을 살펴본다.
함수의 극한
거리공간 \((X,\, d_X)\), \((Y,\, d_Y)\)와 함수 \(f: X \to Y\)를 생각하자. 점 \(a \in X\)가 \(f\)의 정의역의 집적점이고 \(L\)이 \(f\)의 공역의 점이라고 하자.
임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\delta > 0\)이 존재하여, \(0 < d_X(x,\, a) < \delta\)인 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(d_Y(f(x),\, L) < \varepsilon\)이 성립하면, "\(x \to a\)일 때 \(f(x)\)가 \(L\)로 수렴한다"라고 말한다. 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다. \[\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{ 또는 } \quad f(x) \to L \,\,\text{ as }\,\, x \to a.\]
수열을 사용하여 함수의 극한을 정의할 수도 있다.
정리 4.1. (하이네 정리)
\(X\)와 \(Y\)가 거리공간이고 \(f:X\rightarrow Y\)가 함수이며 \(a\)가 \(X\)의 집적점이고 \(L\in Y\)라고 하자. 그러면 다음은 동치이다.
- \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L\)
- \(x_n \to a\), \(x_n \neq a\), \(x_n \in X\)인 모든 수열 \(\{x_n\}\)에 대해 \(f(x_n) \to L\)이다.
증명
함수 \(f\)가 \(L\)에 수렴할 때, 조건 (2)를 만족시키는 임의의 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)에 대하여 \(f(x_n) \rightarrow L\)이 성립함은 자명하다.
역을 증명하자. 즉 조건 (2)를 만족시키는 임의의 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)에 대하여 \(f(x_n) \rightarrow L\)이 성립한다고 가정하자. 그리고 결론과는 반대로 \(x\rightarrow a\)일 때 \(f(x)\)가 \(L\)에 수렴하지 않는다고 가정하자. 그러면 \(\varepsilon_0 > 0\)이 존재하여 임의의 \(\delta = \frac{1}{n}\)에 대하여 \(0 < d_X(x_n,\, a) < \frac{1}{n}\)이지만 \(d_Y(f(x_n),\, L) \geq \varepsilon_0\)인 \(x_n\)이 존재한다. 이때 \(\left\{ x_n \right\}\)은 \(a\)에 수렴하지만 \(\left\{ f(x_n) \right\}\)은 \(L\)에 수렴하지 않으므로 모순이다.
하이네 정리는 극한이 존재하지 않음을 보일 때 유용하다. 즉 \(x\rightarrow a\)일 때 \(f(x)\)의 극한이 존재하지 않음을 보이기 위해, \(s_n \rightarrow a\), \(t_n \rightarrow a\)이지만 \(\left\{ f(s_n )\right\}\)과 \(\left\{ f(t_n )\right\}\)이 다른 값에 수렴하는 두 수열 \(\left\{ s_n \right\}\), \(\left\{ t_n \right\}\)을 찾으면 된다.
보기 4.1.
\(X\)가 집합이고 \(A\subseteq X\)라고 하자. \(A\)의 특성함수(characteristic function) \(\chi_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,\,1\right\}\)은 \(x\in A\)일 때 \(\chi_A (x)=1\)이고, \(x\notin A\)일 때 \(\chi_A (x)=0\)으로 정의된 함수이다.
\(X=\mathbb{R}\), \(A=\mathbb{Q}\)일 때 \(\chi_{\mathbb{Q}}\)는 모든 점에서 극한이 존재하지 않는다. 왜냐하면 \(a\in \mathbb{R}\)일 때 \(a\)로 수렴하고 \(s_n \neq a\)인 유리수열 \(\left\{ s_n \right\}\)과 \(a\)로 수렴하고 \(t_n \neq a\)인 무리수열 \(\left\{ t_n \right\}\)을 택하면 \(f ( s_n ) \rightarrow 1\)이지만 \(f( t_n )\rightarrow 0\)이기 때문이다.
실함수의 경우 한방향 극한(one-sided limits)을 정의할 수 있다. 즉 \(\mathbb{R}\)의 부분집합 \(X\)에서 정의된 함수 \(f:X \rightarrow Y\)와 점 \(a\), \(L\)에 대하여 다음과 같이 정의한다.
- \(f\)의 정의역을 \(X\cap (-\infty, a)\)로 제한했을 때 \(x\rightarrow a\)인 극한을 \(f\)의 좌극한이라고 부른다. 즉 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)이 존재하여, \(0 < a-x < \delta\)인 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(|f(x)-L| < \varepsilon\)이 성립하면, "\(x\to a-\)일 때 \(f(x)\)가 \(L\)로 수렴한다"라고 말하고, 이것을 \(\displaystyle \lim_{x\to a-} f(x) = L\)로 나타낸다.
- \(f\)의 정의역을 \(X\cap (a, \infty)\)로 제한했을 때 \(x\rightarrow a\)인 극한을 \(f\)의 우극한이라고 부른다. 즉 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)이 존재하여, \(0 < x-a < \delta\)인 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(|f(x)-L| < \varepsilon\)이 성립하면, "\(x\to a+\)일 때 \(f(x)\)가 \(L\)로 수렴한다"라고 말하고, 이것을 \(\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) = L\)로 나타낸다.
실함수 \(f\)가 점 \(a\)에서 극한을 가질 필요충분조건은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 같은 것이다.
문제 4.1. 공역이 \(\mathbb{R}\)인 함수의 극한에서 양의 무한대로 발산하는 극한, 음의 무한대로 발산하는 극한의 정의를 조사하시오.
문제 4.2. \(D\)가 거리공간 \(X\)의 부분집합이고 \(c\in D'\)이며 함수 \(f:D\rightarrow\mathbb{R}\)와 \(g:D\rightarrow\mathbb{R}\)가 \(x\rightarrow c\)일 때 각각 \(A\), \(B\)에 수렴한다고 하자. 이때 다음을 증명하시오.
- \(k\)가 실수인 상수이면, \(x\rightarrow c\)일 때 \((kf)(x) \rightarrow kA\)이다.
- \(x\rightarrow c\)일 때 \((f+g)(x) \rightarrow A+B\)이다.
- \(x\rightarrow c\)일 때 \((fg)(x) \rightarrow AB\)이다.
- \(B\ne 0\)이면, \(x\rightarrow c\)일 때 \((f/g)(x) \rightarrow A/B\)이다.
문제 4.3. \(D\)가 거리공간 \(X\)의 부분집합이고 \(a\)가 \(D\)의 집적점이며 함수 \(f:X\rightarrow\mathbb{R}^d\)의 \(j\)번째 좌표를 나타내는 함수가 \(f_j\)라고 하자. 즉 \[f(x) = (f_1 (x) ,\, f_2 (x) ,\, f_3 (x) ,\, \cdots ,\, f_d (x))\] 라고 하자. 또한 \(L=(L_1 ,\, L_2 ,\, \cdots ,\, L_d )\in\mathbb{R}^d\)라고 하자. \(x\rightarrow a\)일 때 \(f(x)\rightarrow L\)일 필요충분조건은 임의의 \(j=1,\,2,\,\cdots,\,d\)에 대하여 \(x\rightarrow a\)일 때 \(f_j (x) \rightarrow L_j\)인 것임을 증명하시오.
문제 4.4. \((x,\,y)\rightarrow (0,\,0)\)일 때, 다음과 같이 정의된 함수 \(f\)가 수렴하는지 판별하시오.
- \(f(x,\,y) = \displaystyle\frac{5xy^2}{x^2 + y^2}\)
- \(f(x,\,y) = \displaystyle\frac{3xy}{x^2 + y^2}\)
- \(f(x,\,y) = \displaystyle\frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\)
연속함수
함수 \(f: X \to Y\)가 점 \(a \in X\)에서 연속(continuous)이라는 것은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)이 존재하여 \( d_X (x,\,a) < \delta\)인 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(d_Y ( f(x) ,\, f(a))<\varepsilon\)이 성립하는 것을 의미한다. 또한 정의역의 모든 점에서 연속인 함수를 연속함수라고 부른다.
\(E\)가 거리공간 \(X\)의 부분집합이고 \(a\in E\)라고 하자. 만약 \(B'(a,\,r)\cap E = \varnothing\)인 양수 \(r\)이 존재하면, \(a\)를 \(E\)의 고립점(isolated point)이라고 부른다.
정리 4.2. (수열을 사용한 연속의 정의)
함수 \(f:X\rightarrow Y\)와 점 \(a\in X\)에 대하여, 다음은 모두 동치이다.
- \(f\)가 \(a\)에서 연속이다.
- \(x_n \to a\), \(x_n\in X\)인 모든 수열 \(\{x_n\}\)에 대하여 \(f(x_n) \to f(a)\)이다.
- \(a\)가 \(X\)의 고립점이거나, \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)이다.
증명
(1)과 (3)이 동치임은 연속의 정의와 극한의 정의로부터 곧바로 얻는다. 또한 (2)와 (3)이 동치임은 하이네 정리(정리 4.1)로부터 알 수 있다.
문제 4.5. \(I\)가 구간이고 함수 \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\)이 단조함수라고 하자. 이때 \(I\)의 모든 점에서 \(f\)의 좌극한과 우극한이 존재함을 보이시오. 또한 \(I\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 개수가 많아야 가산임을 보이시오.
자주 만나는 연속함수는 다음과 같은 것들이 있다.
- 항등함수 \(\operatorname{id}_X : X \to X\)는 연속이다.
- 상수함수는 연속함수이다.
- 연속함수를 합성하여 만든 함수는 연속함수이다. 즉, \(f: X \to Y\)와 \(g: Y \to Z\)가 연속함수이면 \(g \circ f: X \to Z\)도 연속함수이다.
- 사영함수 \(\pi_i: X_1 \times X_2 \to X_i\)는 연속함수이다.
- \(\mathbb{R}^n\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 노름 \(x \mapsto \|x\|\)는 연속함수이다.
- 거리함수 \(d: X \times X \to \mathbb{R}\)은 연속함수이다.
- \(f\)와 \(g\)가 연속인 실함수이면 \(f+g\), \(f-g\), \(fg\)는 연속이다. 또한 \(g(x)\ne 0\)인 모든 점 \(x\)에서 \(f/g\)도 연속이다.
문제 4.6. \(X\), \(Y\), \(Z\)가 거리공간이고 \(f:X\rightarrow Y\)와 \(g:Y\rightarrow Z\)가 함수라고 하자. 또한 \(a\in X'\)이며, \(x\rightarrow a\)일 때 \(f(x) \rightarrow b\in Y\)이고 \(g\)가 \(b\)에서 연속이라고 하자. 이때 다음을 증명하시오. \[\lim_{x\rightarrow a} g(f(x)) = g \left( \lim_{x\rightarrow a} f(x) \right).\]
문제 4.7. 밑이 자연상수 \(e\)인 로그를 자연로그라고 부르고 \(\ln\)으로 나타낸다. 즉 \(x>0\)일 때 \(\ln x = \log_e x\)이다. 다음 극한을 구하시오.
- \(\lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\)
- \(\lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}\)
- \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}\)
- \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x -1}{x}\)
- \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log_a (1+x)}{x}\) (단, \(a>0\), \(a\ne 1\).)
- \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^x -1}{x}\) (단, \(a>0\), \(a\ne 1\).)
문제 4.8. 다음 극한을 구하시오.
- \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\)
- \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x}\)
연속함수의 위상적 특성
열린집합을 사용하여 연속성을 정의할 수 있다.
정리 4.3. (열린집합을 사용한 연속의 정의)
함수 \(f: X \to Y\)가 연속함수일 필요충분조건은, \(Y\)의 모든 열린집합 \(V\)에 대해 \(f^{-1}(V)\)가 \(X\)의 열린집합인 것이다.
증명
\(f\)가 연속함수이고 \(V\)가 \(Y\)의 열린집합이라고 하자. \(x \in f^{-1}(V)\)이면 \(f(x) \in V\)이다. \(V\)가 열린집합이므로 \(\varepsilon > 0\)이 존재하여 \(B(f(x),\, \varepsilon) \subseteq V\)이다. \(f\)가 연속함수이므로 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(B(x,\, \delta) \subseteq f^{-1}(V)\)이다.
이제 역을 증명하자. \(Y\)의 모든 열린집합 \(V\)에 대해 \(f^{-1}(V)\)가 \(X\)의 열린집합이라고 가정하자. 그리고 \(a\in X\)와 \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 \(V=B(f(a),\,\epsilon)\)이 \(Y\)의 열린집합이므로 \(f\)에 의한 \(V\)의 역상이 \(X\)의 열린집합이다. 또한 \(a\in X\)이므로 \(B(a,\,\delta)\subseteq f^{-1}(V)\)인 \(\delta >0\)이 존재한다.
위 성질을 사용하면 다음 정리를 얻는다.
정리 4.4. (닫힌집합과 연속함수의 관계)
함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 연속함수일 때 다음이 성립한다.
- \(F\)가 \(Y\)의 닫힌집합이면 \(f^{-1}(F)\)는 \(X\)의 닫힌집합이다.
- \(K\)가 \(X\)의 컴팩트 부분집합이면 \(f(K)\)는 \(Y\)의 컴팩트 부분집합이다.
문제 4.9. 닫힌집합과 연속함수의 관계(정리 4.4)를 증명하시오.
문제 4.10. \(X\), \(Y\), \(Z\)가 거리공간이고 함수 \(f:X\rightarrow Y\)와 \(g:Y\rightarrow Z\)가 연속함수라고 하자. 이때 합성함수 \(g\circ f : X\rightarrow Z\)가 연속함수임을 보이시오.
문제 4.11. 함수 \(g:\mathbb{R}\times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)이 다음과 같이 정의되어 있을 때, \(g\)가 연속함수임을 보이시오.
- \(g(x,\,y) = x+y\)
- \(g(x,\,y) = xy\)
- \(g(x,\,y) = \lvert x-y \rvert\)
문제 4.12. \(X\)가 거리공간이고 \(f\)와 \(g\)가 \(X\)로부터 \(\mathbb{R}\)로의 연속함수라고 하자. 이때 \(x\mapsto (f(x),\,g(x))\)가 \(X\)로부터 \(\mathbb{R}^2\)로의 연속함수임을 보이시오. 또한 문제 4.10와 문제 4.11의 결과를 사용하여 \(f+g\)와 \(fg\)가 연속함수임을 보이시오.
문제 4.13. \(X\)가 거리함수 \(d\)를 가진 거리공간이고 \(X\times X\)가 유클리드 곱거리 공간이라고 하자. 이때 \(g(x,\,y) = d(x,\,y)\)라고 정의된 함수 \(g:X\times X \rightarrow \mathbb{R}\)이 연속함수임을 보이시오. 만약 \(X\times X\)에 유클리드 곱거리가 아닌 다른 곱거리가 주어져 있다면 결과가 어떻게 달라지는지 논하시오.
문제 4.14. \(X\)와 \(Y\)가 컴팩트 거리공간이고 함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 일대일대응이며 연속함수라고 하자. 이때 역함수 \(f^{-1} : Y \rightarrow X\)가 연속함수임을 보이시오.
특히 \(Y\subseteq\mathbb{R}\)일 때 다음 정리가 유용하다.
정리 4.5. (최대 최소 정리)
\(f:X\rightarrow \mathbb{R}\)이 연속함수이고 \(K\)가 \(X\)의 컴팩트 부분집합이라고 하자. 그러면 \(f\)는 \(K\)에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
증명
함수 \(f: K \to \mathbb{R}\)이 연속함수이고 \(K\)가 컴팩트이면 \(f(K)\)도 컴팩트이다. \(\mathbb{R}\)의 컴팩트 부분집합은 닫혀있고 유계이다. 그러므로 \(f(K)\)의 상한과 하한이 존재하고, \(f(K)\)가 닫힌집합이므로 \(f(K)\)의 상한과 하한이 \(f(K)\)에 속한다.
거리공간 \(X\)가 연결되어 있다(connected)는 것은, \(X\)를 두 개의 비어있지 않은 열린집합의 분리된 합집합으로 나타낼 수 없는 것이다. 즉, \(X = U \cup V\)이고 \(U \cap V = \varnothing\)인 비어있지 않은 열린집합 \(U,\, V\)가 존재하지 않는다.
문제 4.15. 거리공간 \(X\)가 연결된 공간일 필요충분조건은 \(X\)에서 열려있으면서 동시에 닫혀있는 집합이 \(\varnothing\)과 \(X\) 뿐인 것임을 보이시오.
거리공간 \(X\)가 경로연결되어 있다(path-connected)는 것은, 임의의 두 점 \(x,\, y \in X\)에 대해 연속함수 \(\gamma: [0,\, 1] \to X\)가 존재하여 \(\gamma(0) = x\)이고 \(\gamma(1) = y\)인 것이다.
문제 4.16. 거리공간 \(X\)가 경로연결된 공간이면 \(X\)는 연결된 공간임을 보이시오.
문제 4.17. \(\mathbb{R}^2\)의 두 부분집합 \(A\), \(B\)를 다음과 같이 정의하자. \[A = \left\{ (0,\,y) \mid y\in\mathbb{R}\right\},\quad B = \left\{ (x,\,y) \,\Bigg\vert\, y=\sin\frac{1}{x} ,\, x>0\right\}.\] 이때 \(A\cup B\)는 연결된 집합이지만 경로연결된 집합은 아님을 보이시오.
정리 4.6. (\(\mathbb{R}\)에서 연결된 집합의 형태)
\(\mathbb{R}\)의 부분집합이 연결되어 있을 필요충분조건은 구간인 것이다.
연결성은 연속함수에 의해 보존된다. 즉, \(f: X \to Y\)가 연속이고 \(X\)가 연결되어 있으면 \(f(X)\)도 연결되어 있다. 이로부터 사잇값 정리가 따라온다.
정리 4.7. (사잇값 정리)
함수 \(f: X \to \mathbb{R}\)이 연속함수이고 \(X\)가 연결된 집합이면 \(f(X)\)는 구간이다.
문제 4.18. 정리 4.6을 증명하시오.
문제 4.19. 함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 연속함수이고 \(X\)가 연결된 집합일 때 \(f(X)\)도 연결된 집합임을 보이시오. 또한 이 성질을 사용하여 정리 4.7을 증명하시오.
점 \(x \in X\)를 원소로 갖는 가장 큰 연결된 부분집합을 \(x\)의 연결성분(connected component)이라고 부른다. 마찬가지로 \(x\)의 경로연결성분(path component)을 정의할 수 있다.
문제 4.20. \(f: [0,\, 1] \to [0,\, 1]\)이 연속이면 고정점을 가짐을 보이시오. 즉 \(f(p)=p\)인 점 \(p\)가 \([0,\,1]\)에 존재함을 보이시오.
문제 4.21. 함수 \(f: (0,\, 1] \to \mathbb{R}\)을 \(f(x) = \sin \frac{1}{x}\)로 정의할 때, 이 함수가 \([0,\, 1]\)로 연속적으로 확장될 수 없음을 보이시오.
문제 4.22. \((X,\, d)\)가 완비거리공간이고 \(f: X \to X\)가 연속함수라고 하자. 만약 \(0 \leq k < 1\)인 \(k\)가 존재하여 임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \[d(f(x),\, f(y)) \leq k \cdot d(x,\, y)\] 를 만족시키면, \(f\)가 유일한 고정점을 가짐을 보이시오. 즉 \(f(p)=p\)인 점 \(p\in X\)가 유일하게 존재함을 보이시오. 이와 같은 성질을 바나흐의 고정점 정리(fixed point theorem)라고 부른다.
문제 4.23. \(I\)가 \(\mathbb{R}\)의 닫힌구간이고 함수 \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\)이 주어졌다고 하자. 이때 \(f\)가 \(I\)에서 연속일 필요충분조건은 \(f\)의 그래프 \(\left\{ (x,\,y)\mid y=f(x)\right\}\)가 \(\mathbb{R}^2\)에서 연결된 닫힌집합인 것임을 증명하시오. 이 성질을 닫힌 그래프 정리(closed graph theorem)라고 부른다.
균등연속성
함수 \(f: X \to Y\)가 \(X\)에서 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\delta > 0\)가 존재하여, \(d_X(x,\, y) < \delta\)인 모든 \(x,\, y \in X\)에 대해 \(d_Y(f(x),\, f(y)) < \varepsilon\)인 것을 뜻한다.
균등연속함수는 연속함수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
- \(f(x) = x^2\)은 \(\mathbb{R}\)에서 연속이지만 균등연속이 아니다.
- \(f(x) = \sin x\)는 \(\mathbb{R}\)에서 균등연속이다.
- \(f(x) = \frac{1}{x}\)은 \((0,\, 1]\)에서 연속이지만 균등연속이 아니다.
- \(f(x) = \frac{1}{x}\)은 \([2,\, 5]\)에서 균등연속이다.
정리 4.8. (균등연속에 대한 칸토어의 정리)
\(X\)와 \(Y\)가 거리공간이고 \(f:X\rightarrow Y\)가 연속함수라고 하자. 만약 \(X\)가 컴팩트 공간이면 \(f\)는 \(X\)에서 균등연속이다.
증명
\(f\)가 \(X\)에서 균등연속이 아니라고 가정하자. 그러면 \(\varepsilon_0 > 0\)이 존재하여, 모든 \(\delta = \frac{1}{n}\)에 대하여 \(d_X(x_n,\, y_n) < \frac{1}{n}\)이지만 \(d_Y(f(x_n),\, f(y_n)) \geq \varepsilon_0\)인 점 \(x_n\), \(y_n\)이 존재한다. \(X\)가 컴팩트 공간이므로 \(\{x_n\}\)의 수렴하는 부분수열 \(\{x_{n_k}\}\)가 존재한다. \(x_{n_k} \to a\)라고 하자. \(d_X(x_{n_k},\, y_{n_k}) \to 0\)이므로 \(y_{n_k} \to a\)이다. \(f\)가 연속함수이므로 \(f(x_{n_k}) \to f(a)\)이고 \(f(y_{n_k}) \to f(a)\)이다. 따라서 \(d_Y(f(x_{n_k}),\, f(y_{n_k})) \to 0\)인데, 이것은 모순이다.
균등연속함수는 다음과 같은 성질을 가진다.
- \(f:X\rightarrow Y\)가 \(X\)에서 균등연속인 함수이고 \(\left\{ x_n \right\}\)이 \(X\)의 코시 수열이면 \(\left\{ f(x_n)\right\}\)은 \(Y\)의 코시 수열이다.
- \(E\)가 \(X\)의 조밀한 부분집합이고 \(f:X\rightarrow Y\)가 \(E\)에서 균등연속이면, \(f\)는 \(X\)에서 균등연속인 함수로 유일하게 확장된다.
- 균등연속인 함수의 합성은 균등연속함수이다.
문제 4.24. 함수 \(f(x) = x^2\)이 \(\mathbb{R}\)에서 균등연속이 아님을 증명하시오.
문제 4.25. 균등연속함수의 수열 \(\{f_n\}\)이 함수 \(f\)로 균등수렴하면 \(f\)도 균등연속임을 보이시오.
여러 가지 연속성
균등연속 외에도 해석학에서 자주 등장하는 연속의 개념이 몇 가지 있다.
립시츠 연속
함수 \(f: X \to Y\)가 립시츠 연속(Lipschitz continuous)이라는 것은, 어떤 상수 \(L \geq 0\)이 존재하여 임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \[d_Y(f(x),\, f(y)) \leq L \cdot d_X(x,\, y)\] 가 성립하는 것이다. 이와 같은 조건을 만족시키는 가장 작은 \(L\)의 값을 \(f\)의 립시츠 상수라고 부른다. 특히 \(L < 1\)인 경우 \(f\)를 축소사상(contraction mapping)이라고 부른다.
\(\alpha\)-횔더 연속
함수 \(f: X \to Y\)가 \(\alpha\)-횔더 연속(α-Hölder continuous)이라는 것은, 어떤 상수 \(C \geq 0\)과 \(0 < \alpha \leq 1\)인 \(\alpha\)가 존재하여 임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \[d_Y(f(x),\, f(y)) \leq C \cdot d_X(x,\, y)^\alpha\] 이 성립하는 것이다. 여기서 특별히 \(\alpha = 1\)일 때가 립시츠 연속이다.
립시츠 연속인 함수와 그렇지 않은 함수의 예를 살펴보자.
- \(f(x) = \sqrt{x}\)는 \([0,\, 1]\)에서 \(\frac{1}{2}\)-횔더 연속이지만 립시츠 연속이 아니다.
- 미분 가능하고 도함수가 유계인 함수는 립시츠 연속이다.
- \(x\ne 0\)일 때 \(f(x) = x \sin\frac{1}{x}\)이고 \(f(0) = 0\)으로 정의된 함수 \(f\)는 \([0,\, 1]\)에서 균등연속이지만 립시츠 연속이 아니다.
절대연속
적분 이론과 깊이 관련 있는 연속성 개념으로 절대연속(absolutely continuous)이 있다. 구간 \([a,\, b]\)에서 실함수 \(f\)가 절대연속이라는 것은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\delta > 0\)가 존재하여, 겹치지 않는 구간들 \((a_i,\, b_i)\)의 길이의 합이 \(\delta\)보다 작을 때마다 \(\sum |f(b_i) - f(a_i)| < \varepsilon\)인 것이다.
문제 4.26. \(f: [0,\, 1] \to \mathbb{R}\)이 미분 가능하고, 양수 \(M\)이 존재하여 임의의 \(x\)에 대하여 \(|f'(x)| \leq M\)을 만족시키면, \(f\)가 립시츠 연속임을 보이시오.
문제 4.27. 상반연속(upper continuity)과 하반연속(lower continuity)의 개념을 조사하고, 이 연속의 개념이 이 글의 앞에서 살펴본 연속의 개념과 어떠한 관계가 있는지 밝히시오.
문제 4.28. \(X\)와 \(Y\)가 거리공간이고 \(A\subseteq X\)이며 \(f:X\rightarrow Y\)가 연속함수라고 하자. 이때 \(f(\overline{A})\subseteq\overline{f(A)}\)임을 보이시오. (이 성질은 연속함수의 값이 정의역의 조밀한 부분집합 위에서의 함숫값에 의하여 완전히 결정됨을 의미한다.)
문제 4.29. 위상공간 사이에서 정의된 함수의 연속성의 정의를 조사하시오. 또한 위상동형의 정의를 조사하시오.
문제 4.30. \(C[a,\,b]\)가 \([a,\,b]\)로부터 \(\mathbb{R}\)로의 연속함수의 모임이라고 하자. 이때 \(C[a,\,b]\)의 원소의 개수가 \(\mathbb{R}\)의 원소의 개수와 같음을 보이시오.
문제 4.31. 함수 \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)이 모든 실수 \(s\), \(t\)에 대하여 \(f(s+t)=f(s)+f(t)\)를 만족시킨다고 하자. 다음 물음에 답하시오.
- \(f\)가 연속인 점이 하나 이상 존재한다고 하자. 이때 실수 \(a\)가 존재하여 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x)=ax\)임을 보이시오.
- \(f\)가 연속인 점이 하나도 존재하지 않을 수 있는가?