이 장에서는 거듭제곱급수의 성질을 살펴보고, 함수를 테일러 급수로 표현하는 방법을 살펴본다.
함수열의 균등수렴
각 항이 함수로 이루어진 수열을 함수열(sequence of functions)이라고 부른다. \(\{f_n\}\)이 집합 \(I\)에서 정의된 실함수의 함수열이고 \(f\colon I\to\mathbb R\)라고 하자. 임의의 \(x\in I\)에 대하여 \[ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) \] 이면 \(I\)에서 \(\{f_n\}\)이 \(f\)에 점별수렴한다(converges pointwise)고 한다. 이때 \(f\)를 점별극한함수(pointwise limit function) 또는 간단히 극한함수(limit function)라고 부르고 \(f_n\to f\)로 나타낸다.
문제 8.1. \(f_n(x)=x^n\)일 때 \([0,1]\)에서 함수열 \(\{f_n\}\)의 극한함수를 구하시오.
문제 8.2. 수열 \(\{x_n\}\)이 모든 유리수를 한 번씩 취하는 수열이라고 하자. 함수 \(f_n\colon\mathbb R\to\mathbb R\)를 \[ f_n(x)= \begin{cases} 1 & \text{if }\;x\in\{x_1,x_2,\ldots,x_n\},\\[5pt] 0 & \text{if }\;x\notin\{x_1,x_2,\ldots,x_n\} \end{cases} \] 이라고 정의할 때 \(\{f_n\}\)의 극한함수를 구하시오. 또한 각 \(f_n\)은 모든 닫힌 유계구간에서 리만 적분 가능하지만 극한함수는 그렇지 않음을 확인하시오.
점별수렴만으로는 연속성, 적분, 미분과 극한의 순서를 바꿀 수 없다. 실제로 모든 \(f_n\)이 연속이어도 극한함수는 연속이 아닐 수 있고, 모든 \(f_n\)이 적분 가능해도 극한함수는 적분 가능하지 않을 수 있으며, 모든 \(f_n\)이 미분 가능해도 극한함수는 미분 가능하지 않을 수 있다. 이러한 문제를 보완하기 위해 균등수렴을 정의한다.
함수열 \(\{f_n\}\)이 \(I\)에서 함수 \(f\)에 균등수렴한다(converges uniformly)는 것은 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n>N\)이고 \(x\in I\)이면 \[ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \] 이 성립하는 것을 뜻한다. 이것을 \(f_n\rightrightarrows f\)로 나타낸다. 정의에서 바로 알 수 있듯이 균등수렴하면 점별수렴한다.
\(I\)에서 유계인 함수 \(g\)에 대하여 \[ \|g\|_\infty=\sup_{x\in I}|g(x)| \] 라고 정의하면, \(f_n-f\)가 유계인 경우에는 \(f_n\rightrightarrows f\)이기 위한 필요충분조건이 \(\|f_n-f\|_\infty\to0\)인 것이다.
문제 8.3. 구간 \((0,1]\)에서 다음 함수열의 점별극한을 구하고 균등수렴 여부를 판정하시오.
- \(f_n(x)=\dfrac{1}{n+x}\)
- \(f_n(x)=\dfrac{\sin nx}{n}\)
- \(f_n(x)=nx(1-x)^n\)
- \(f_n(x)=\dfrac{1}{nx+1}\)
- \(f_n(x)=\dfrac1x+\dfrac{nx}{e^{nx}}\)
- \(f_n(x)=2nxe^{-nx^2}\)
실수열과 마찬가지로 균등수렴도 코시 조건으로 판정할 수 있다.
정리 8.1. (균등수렴의 코시 판정법)
실함수의 함수열 \(\{f_n\}\)이 \(I\)에서 균등수렴할 필요충분조건은 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(m,n>N\)이고 \(x\in I\)이면 \[ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon \] 이 성립하는 것이다.
증명 \(f_n\rightrightarrows f\)이면 충분히 큰 \(m,n\)에 대하여 \[ |f_n(x)-f_m(x)| \le |f_n(x)-f(x)|+|f_m(x)-f(x)| <\varepsilon \] 이 모든 \(x\in I\)에서 성립하므로 코시 조건을 만족시킨다.
역으로 균등 코시 조건을 가정하자. 각 \(x\in I\)를 고정하면 \(\{f_n(x)\}\)은 실수의 코시 수열이므로 실수계의 완비성에 의해 어떤 \(f(x)\in\mathbb R\)로 수렴한다. 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 \(m,n>N\)이면 모든 \(x\in I\)에서 \(|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon/2\)가 되도록 \(N\)을 택하자. \(m\to\infty\)로 보내면 \[ |f_n(x)-f(x)|\le\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon \] 이 모든 \(x\in I\)와 \(n>N\)에 대하여 성립한다. 따라서 \(f_n\rightrightarrows f\)이다.
점별수렴에 비하여 균등수렴은 다음과 같은 더 좋은 성질을 가진다.
정리 8.2. (균등수렴과 연속성의 관계)
모든 \(f_n\)이 \(I\)에서 연속이고 \(f_n\rightrightarrows f\)이면 \(f\)도 \(I\)에서 연속이다.
증명 점 \(c\in I\)와 \(\varepsilon>0\)을 택하자. 균등수렴에 의해 자연수 \(N\)이 존재하여 모든 \(x\in I\)에 대하여 \[ |f_{N+1}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3} \] 이다. \(f_{N+1}\)이 \(c\)에서 연속이므로 어떤 \(\delta>0\)가 존재하여 \(x\in I\)이고 \(|x-c|<\delta\)이면 \[ |f_{N+1}(x)-f_{N+1}(c)|<\frac{\varepsilon}{3} \] 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} |f(x)-f(c)| &\le |f(x)-f_{N+1}(x)| +|f_{N+1}(x)-f_{N+1}(c)| +|f_{N+1}(c)-f(c)|\\ &<\varepsilon. \end{aligned} \] 그러므로 \(f\)는 \(c\)에서 연속이다.
문제 8.4. 구간 \([0,1]\)에서 \[ f_n(x)= \begin{cases} n & \text{if }\;0<x<\dfrac1n,\\[5pt] 0 & \text{if }\;x=0\text{ or }x\ge\dfrac1n \end{cases} \] 이라고 정의하자. \(\{f_n\}\)의 극한함수는 적분 가능하지만 \[ \lim_{n\to\infty}\int_0^1f_n(x)\,dx \] 와 극한함수의 적분이 일치하지 않음을 보이시오.
정리 8.3. (균등수렴과 적분의 관계)
\(a<b\)이고 모든 \(f_n\)이 \([a,b]\)에서 리만 적분 가능하다고 하자. 만약 \(f_n\rightrightarrows f\)이면 \(f\)도 \([a,b]\)에서 리만 적분 가능하고 \[ \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx =\int_a^b f(x)\,dx.\tag{8.1} \]
증명 먼저 \(f\)의 적분 가능성을 보이자. \(\varepsilon>0\)을 택한다. 균등수렴에 의해 어떤 \(N\)에 대하여 모든 \(x\in[a,b]\)에서 \[ |f_{N+1}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{4(b-a)} \] 이다. \(f_{N+1}\)이 적분 가능하므로 어떤 분할 \(P\)에 대하여 \[ U(f_{N+1},P)-L(f_{N+1},P)<\frac{\varepsilon}{2} \] 이다. 각 소구간에서 \(f\)의 상한과 하한은 각각 \(f_{N+1}\)의 상한과 하한에서 \(\varepsilon/[4(b-a)]\)만큼밖에 벗어나지 않으므로 \[ U(f,P)-L(f,P) <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \] 리만 판정법에 의해 \(f\)는 적분 가능하다.
이제 임의의 \(\varepsilon>0\)을 택하자. 충분히 큰 \(n\)에 대하여 모든 \(x\in[a,b]\)에서 \[ |f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{b-a} \] 이므로 적분의 절댓값 부등식에 의해 \[ \left|\int_a^b f_n(x)\,dx-\int_a^b f(x)\,dx\right| \le\int_a^b|f_n(x)-f(x)|\,dx <\varepsilon. \] 따라서 적분과 극한의 순서를 바꿀 수 있다.
정리 8.4. (균등수렴과 미분의 관계)
\(a<b\)이고 모든 \(f_n\)이 \([a,b]\)에서 \(C^1\)이라고 하자. 어떤 \(x_0\in[a,b]\)에서 실수열 \(\{f_n(x_0)\}\)이 수렴하고, 함수열 \(\{f_n'\}\)이 \([a,b]\)에서 균등수렴한다고 하자. 그러면 \(\{f_n\}\)은 \([a,b]\)에서 어떤 함수 \(f\)에 균등수렴하고, \(f\)는 미분 가능하며 \[ f'(x)=\lim_{n\to\infty}f_n'(x) \] 가 성립한다.
증명 \(f_n'\rightrightarrows g\)라고 하자. \(\{f_n(x_0)\}\)이 코시 수열이고 \(\{f_n'\}\)이 균등 코시이므로, 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 충분히 큰 \(m,n\)이면 \[ |f_m(x_0)-f_n(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}.\tag{8.2} \] 또한 모든 \(t\in[a,b]\)에서 \[ |f_m'(t)-f_n'(t)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}.\tag{8.3} \] 미적분의 기본정리를 적용하면 임의의 \(x\in[a,b]\)에 대하여 \[ f_m(x)-f_n(x) =f_m(x_0)-f_n(x_0) +\int_{x_0}^{x}(f_m'(t)-f_n'(t))\,dt.\tag{8.4} \] 따라서 \[ |f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon.\tag{8.5} \] 균등 코시 판정법에 의해 \(f_n\rightrightarrows f\)인 함수 \(f\)가 존재한다.
각 \(f_n'\)이 연속이고 \(f_n'\rightrightarrows g\)이므로 정리 8.2에 의해 \(g\)는 연속이다. 또한 \[ f_n(x)-f_n(x_0)=\int_{x_0}^{x}f_n'(t)\,dt \] 에서 \(n\to\infty\)로 보내고 정리 8.3을 적용하면 \[ f(x)-f(x_0)=\int_{x_0}^{x}g(t)\,dt. \] 미적분의 기본정리에 의해 \(f'=g\)이다.
함수열이 단조라면 다음과 같은 유용한 성질을 가진다.
정리 8.5. (디니 정리)
함수열 \(\{f_n\}\)의 모든 항이 컴팩트 공간 \(K\)에서 연속이고 실숫값을 갖는 함수라고 하자. 또한 임의의 \(x\in K\)와 임의의 \(n\)에 대하여 \(f_n(x)\le f_{n+1}(x)\)라고 하자. 만약 \(K\)에서 \(\{f_n\}\)이 연속함수 \(f\)로 점별수렴하면, \(K\)에서 \(\{f_n\}\)은 \(f\)로 균등수렴한다.
증명 \(g_n(x)=f(x)-f_n(x)\)라고 하자. 각 \(g_n\)은 연속함수의 차이므로 연속이다. 또한 \(f_n\le f_{n+1}\)이므로 \(g_{n+1}(x)\le g_n(x)\)이다. 점별수렴과 단조성에 의해 \[ 0\le g_{n+1}(x)\le g_n(x) \] 이고 각 \(x\in K\)에서 \(g_n(x)\to0\)이다.
\(\varepsilon>0\)이라고 하자. 각 \(x\in K\)에 대해 어떤 자연수 \(N_x\)가 존재하여 \[ g_{N_x}(x)<\frac{\varepsilon}{2} \] 이다. \(g_{N_x}\)가 \(x\)에서 연속이므로 \(x\)의 열린근방 \(U_x\)가 존재하여 모든 \(y\in U_x\)에 대해 \[ g_{N_x}(y)<\frac{3\varepsilon}{4} \] 이다. \(\{U_x\mid x\in K\}\)는 \(K\)의 열린덮개이고 \(K\)가 컴팩트이므로 \[ K\subseteq U_{x_1}\cup\cdots\cup U_{x_m} \] 인 유한부분덮개가 존재한다. \(N=\max\{N_{x_1},\ldots,N_{x_m}\}\)이라고 하자.
\(y\in K\)이고 \(n>N\)이면 \(y\in U_{x_i}\)인 어떤 \(i\)가 존재한다. 따라서 \[ 0\le g_n(y)\le g_N(y)\le g_{N_{x_i}}(y) <\frac{3\varepsilon}{4} <\varepsilon. \] 즉 모든 \(y\in K\)에서 \(|f_n(y)-f(y)|<\varepsilon\)이므로 \(\{f_n\}\)은 \(f\)로 균등수렴한다.
거듭제곱급수
함수열 \(\{f_n\}\)의 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}f_n\)을 함수급수(series of functions)라고 부른다. 함수급수의 점별수렴과 균등수렴은 부분합 함수열의 수렴으로 정의한다.
정리 8.6. (바이어슈트라스 \(M\)-판정법)
\(I\)에서 정의된 함수열 \(\{f_n\}\)과 음이 아닌 실수열 \(\{M_n\}\)이 임의의 \(n\)과 \(x\in I\)에 대하여 \[ |f_n(x)|\le M_n \] 을 만족시킨다고 하자. 만약 \(\sum M_n\)이 수렴하면 \(\sum f_n\)은 \(I\)에서 균등수렴한다.
증명 \(m<n\)에 대하여 \[ \sup_{x\in I}\left|\sum_{k=m}^{n}f_k(x)\right| \le\sum_{k=m}^{n}M_k. \] 수렴급수 \(\sum M_n\)의 코시 판정법에 의해 우변은 \(m,n\to\infty\)일 때 \(0\)으로 갈 수 있다. 따라서 부분합 함수열은 균등 코시 조건을 만족시키고, 정리 8.1에 의해 균등수렴한다.
수열 \(\{a_n\}\)과 실수 \(c\)에 대하여 \[ \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n\tag{8.6} \] 꼴의 급수를 거듭제곱급수(power series) 또는 멱급수라고 부르고, \(c\)를 그 중심이라고 부른다.
거듭제곱급수의 수렴 범위는 다음 공식으로 완전히 결정된다. 여기서는 비음수 수열의 상극한에 \(+\infty\)도 허용한다.
정리 8.7. (코시-아다마르 공식)
거듭제곱급수 \(\sum a_n(x-c)^n\)에 대하여 \[ \rho=\varlimsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}\in[0,\infty] \] 라고 하자. 다음과 같이 \(R\in[0,\infty]\)를 정한다. \[ R= \begin{cases} 1/\rho & \text{if }\;0<\rho<\infty,\\[5pt] \infty & \text{if }\;\rho=0,\\[5pt] 0 & \text{if }\;\rho=\infty. \end{cases} \] 그러면 \(|x-c|<R\)이면 급수는 절대수렴하고, \(|x-c|>R\)이면 발산한다. 이 \(R\)을 수렴반지름(radius of convergence)이라고 부른다.
증명 \(u_n=a_n(x-c)^n\)이라고 하면 \[ \varlimsup_{n\to\infty}|u_n|^{1/n} =|x-c|\rho \] 이다. \(|x-c|\rho<1\)이면 제곱근 판정법에 의해 \(\sum u_n\)은 절대수렴한다. 반대로 \(|x-c|\rho>1\)이면 제곱근 판정법에 의해 급수는 발산한다. \(\rho=0\)과 \(\rho=\infty\)인 경우도 같은 해석으로 얻는다.
따라서 수렴하는 \(x\)들의 집합은 중심 \(c\)를 포함하는 구간이다. \(0<R<\infty\)이면 \(|x-c|<R\)에서 항상 절대수렴하고 \(|x-c|>R\)에서 발산하며, 두 끝점 \(c-R\), \(c+R\)에서의 수렴 여부만 별도로 확인하면 된다. 이에 따라 수렴구간은 \[ [c-R,c+R],\quad (c-R,c+R),\quad [c-R,c+R),\quad (c-R,c+R] \] 중 하나이다. \(R=0\)이면 중심에서만 수렴하고, \(R=\infty\)이면 모든 실수에서 수렴한다.
문제 8.5. 다음 거듭제곱급수의 수렴구간을 구하시오.
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{\sqrt n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n!\,x^n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{2^n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n2^n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^nx^n}{n4^n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2+1}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{\ln(n+1)}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+3)^{2n}}{5^n}\)
다음 정리는 거듭제곱급수의 균등수렴과 관련된 매우 유용한 결과를 제공한다.
정리 8.8. (아벨의 정리)
\(R>0\)이고 거듭제곱급수 \(\sum a_n(x-c)^n\)이 \(x=c+R\)에서 수렴하면 이 급수는 \([c,c+R]\)에서 균등수렴한다. 마찬가지로 \(x=c-R\)에서 수렴하면 \([c-R,c]\)에서 균등수렴한다.
증명 오른쪽 끝점의 경우만 보이면 충분하다. 변수 \(x-c\)를 다시 \(x\)로 쓰면 \(c=0\)이라 가정할 수 있다. \(b_n=a_nR^n\)이라고 하면 \(\sum b_n\)이 수렴한다. \(0\le x\le R\)에서 \(t=x/R\)로 놓으면 \(0\le t\le1\)이고 \(\sum b_nt^n\)의 균등수렴을 보이면 된다.
임의의 \(\varepsilon>0\)을 택하자. \(\sum b_n\)의 코시 판정법에 의해 자연수 \(N_0\)가 존재하여 \(N>M>N_0\)이면 \[ \left|\sum_{n=M+1}^{N}b_n\right| <\frac{\varepsilon}{2} \] 이다. \(C_n=\sum_{k=M+1}^{n}b_k\)라고 하면 \(|C_n|<\varepsilon/2\)이다. 아벨의 부분합 공식에 의해 \(0\le t<1\)일 때 \[ \begin{aligned} \left|\sum_{n=M+1}^{N}b_nt^n\right| &=\left|C_Nt^N+\sum_{n=M+1}^{N-1}C_n(t^n-t^{n+1})\right|\\ &\le\frac{\varepsilon}{2}t^N +\frac{\varepsilon}{2}(1-t)\sum_{n=M+1}^{N-1}t^n\\ &<\varepsilon. \end{aligned} \] \(t=1\)에서도 처음의 코시 부등식이 성립한다. 따라서 부분합 함수열은 \([0,1]\)에서 균등 코시이고 정리 8.1에 의해 균등수렴한다. 왼쪽 끝점은 \(x-c\)를 \(-(x-c)\)로 바꾸면 같은 방법으로 얻는다.
균등수렴의 성질과 아벨의 정리를 이용하면 거듭제곱급수를 유한합과 거의 같은 방식으로 미분하고 적분할 수 있다.
정리 8.9. (거듭제곱급수의 기본성질)
거듭제곱급수 \[ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n \] 의 수렴반지름이 \(R\in(0,\infty]\)이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
- 수렴구간에 포함되는 모든 컴팩트 집합에서 급수는 균등수렴한다.
- \(|x-c|<R\)에서 \[ F'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-c)^{n-1} \] 이고, 오른쪽의 도함수 급수도 수렴반지름 \(R\)을 가진다.
- \(a<b\)가 수렴구간의 점이면 \[ \int_a^bF(x)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_a^b(x-c)^n\,dx. \]
증명 먼저 \(0<r<R\)라고 하자. \(r<s<R\)인 \(s\)를 택하면 \(\sum|a_n|s^n\)은 수렴한다. \(|x-c|\le r\)에서 \[ |a_n(x-c)^n| \le |a_n|r^n \le |a_n|s^n \] 이므로 바이어슈트라스 \(M\)-판정법에 의해 \([c-r,c+r]\)에서 균등수렴한다. 수렴구간의 끝점이 포함되는 경우에는 정리 8.8을 함께 적용하면 그 끝점까지 균등수렴한다. 따라서 수렴구간 안의 모든 컴팩트 집합에서 균등수렴한다.
도함수 급수의 수렴반지름을 보자. \(n^{1/n}\to1\)이므로 \[ \varlimsup_{n\to\infty}(n|a_n|)^{1/n} =\varlimsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}. \] 코시-아다마르 공식에 의해 \(\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-c)^n\), 따라서 \(\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-c)^{n-1}\)도 원래 급수와 같은 수렴반지름 \(R\)을 가진다. 임의의 \(r<R\)에 대하여 부분합 \[ F_N(x)=\sum_{n=0}^Na_n(x-c)^n \] 과 그 도함수 \(F_N'\)를 \([c-r,c+r]\)에서 생각하자. 앞에서 보인 균등수렴에 의해 \(F_N'\)도 이 구간에서 균등수렴하고 \(F_N(c)=a_0\)이다. 정리 8.4에 의해 \(F'=\lim F_N'\)이고 항별미분 공식이 성립한다.
마지막으로 \([a,b]\)가 수렴구간에 포함되면 첫 번째 명제에 의해 부분합이 \([a,b]\)에서 균등수렴한다. 정리 8.3을 적용하면 항별적분 공식을 얻는다.
문제 8.6. 함수급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} \] 에 대하여 다음을 보이시오.
- 임의의 \(0<r<1\)에 대하여 \([-r,r]\)에서 균등수렴한다.
- \([0,1)\)에서는 균등수렴하지 않는다.
문제 8.7. 실수열 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)에 대하여 \[ \varlimsup_{n\to\infty}|a_n+b_n|^{1/n} \le \max\left\{ \varlimsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}, \varlimsup_{n\to\infty}|b_n|^{1/n} \right\} \] 임을 보이시오. 이를 이용하여 두 거듭제곱급수의 수렴반지름이 각각 \(R_1,R_2\)이면 두 급수를 항별로 더한 급수의 수렴반지름은 적어도 \(\min\{R_1,R_2\}\)임을 보이시오.
문제 8.8. 무한등비급수와 항별미분을 이용하여 \(|x|<1\)에서 \[ \frac1{(1-x)^2} =\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}, \quad \frac{x}{(1-x)^2} =\sum_{n=1}^{\infty}nx^n \] 임을 보이시오.
문제 8.9. 항별적분을 이용하여 \(|x|<1\)에서 \[ \ln\frac{1+x}{1-x} =2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \] 임을 보이시오.
테일러 급수와 해석적 함수
정의 5.8의 테일러 다항식에서 점 \(c\)에서 \(n\)번 미분 가능한 함수의 테일러 다항식을 정의하였다. 같은 식을 다시 쓰면 \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k.\tag{8.7} \] 함수 \(f\)가 \(c\)에서 임의 횟수로 미분 가능할 때 형식적인 무한급수 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n \] 을 \(c\)를 중심으로 한 \(f\)의 테일러 급수(Taylor series)라고 부른다. \(c=0\)이면 맥클라린 급수(Maclaurin series)라고 부른다. 테일러 급수가 실제로 \(f(x)\)에 수렴하는지는 별도의 문제이며, 정리 5.9의 테일러 정리의 나머지가 \(n\to\infty\)일 때 \(0\)으로 가는지를 확인해야 한다.
다음은 자주 사용하는 전개이다. 실수 \(\alpha\)와 자연수 \(n\ge1\)에 대하여 \[ \binom{\alpha}{0}=1,\quad \binom{\alpha}{n} =\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} \] 로 둔다.
정리 8.10. (기본적인 거듭제곱급수 전개)
다음 등식이 각 표시된 범위에서 성립한다. \[ \begin{aligned} e^x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} && (x\in\mathbb R),\\[4pt] \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} && (x\in\mathbb R),\\[4pt] \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} && (x\in\mathbb R),\\[4pt] \frac1{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^n && (|x|<1),\\[4pt] \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} && (-1<x\le1),\\[4pt] (1+x)^\alpha&=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n && (|x|<1). \end{aligned} \]
증명 \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\)에는 정리 5.9를 적용한다. \(x<0\)인 경우에는 \(t\mapsto f(-t)\)에 같은 정리를 적용하면 중심이 \(0\)인 동일한 나머지 공식을 얻는다. 고정된 \(x\)에 대하여 지수함수의 나머지는 어떤 \(\xi\)가 \(0\)과 \(x\) 사이에 존재하여 \[ |R_n(x)| \le e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \] 이고, 비 판정법에 의해 우변은 \(0\)으로 수렴한다. 사인과 코사인의 모든 도함수의 절댓값은 \(1\) 이하이므로 나머지는 \(|x|^{n+1}/(n+1)!\) 이하이다. 따라서 처음 세 전개를 얻는다.
네 번째 식은 정리 7.1의 기하급수 공식이다. \(|x|<1\)에서 \[ \frac1{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^n \] 을 \(0\)에서 \(x\)까지 항별적분하면 \[ \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \] 을 얻는다. \(x=1\)에서는 교대급수 판정법과 정리 8.8을 적용하면 같은 등식이 성립한다.
마지막으로 \[ S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n \] 이라고 하자. \(\alpha\)가 음이 아닌 정수이면 이 급수는 유한합이고, 그렇지 않으면 연속항의 계수비가 절댓값으로 \(1\)에 수렴하므로 수렴반지름은 \(1\)이다. \(|x|<1\)에서 항별미분을 할 수 있고 \[ (n+1)\binom{\alpha}{n+1} =(\alpha-n)\binom{\alpha}{n} \] 이므로 \[ (1+x)S'(x)=\alpha S(x). \] 따라서 \[ \frac{d}{dx}\bigl((1+x)^{-\alpha}S(x)\bigr)=0. \] \(S(0)=1\)이므로 \(S(x)=(1+x)^\alpha\)이다.
함수 \(f\)가 점 \(c\)의 어떤 열린근방에서 \(c\)를 중심으로 한 자신의 테일러 급수와 일치할 때 \(f\)가 \(c\)에서 실해석적이다(real analytic)라고 한다. 열린구간 \(I\)의 모든 점에서 실해석적이면 \(f\)가 \(I\)에서 실해석적이라고 한다.
임의 횟수로 미분 가능하다는 조건만으로는 실해석성을 얻을 수 없다. 다음 예가 이를 보여 준다.
정리 8.11. (매끄럽지만 해석적이지 않은 함수)
함수 \[ f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^2} & \text{if }\;x\ne0,\\[5pt] 0 & \text{if }\;x=0 \end{cases} \] 은 \(\mathbb R\)에서 \(C^\infty\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(f^{(n)}(0)=0\)이지만, \(0\)에서 실해석적이지 않다.
증명 먼저 모든 실수 \(m>0\)에 대하여 \[ \lim_{x\to0}|x|^{-m}e^{-1/x^2}=0 \] 임을 보자. \(t=1/x^2\)로 놓고 \(N>m/2\)인 자연수 \(N\)을 택하면 \(e^t\ge t^N/N!\)이므로 \[ t^{m/2}e^{-t} \le N!\,t^{m/2-N} \to0. \] \(x\ne0\)에서 \(f^{(n)}(x)\)는 어떤 다항식 \(P_n\)에 대하여 \[ f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2} \] 꼴이다. 이를 귀납적으로 미분하면 같은 형태가 유지된다. 위 극한을 사용하면 각 단계에서 \[ \lim_{h\to0}\frac{f^{(n)}(h)-f^{(n)}(0)}{h}=0 \] 이므로 모든 \(n\)에 대하여 \(f^{(n)}(0)=0\)이다. 같은 극한은 \(f^{(n)}(x)\to0=f^{(n)}(0)\)도 보여 주므로 모든 도함수는 \(0\)에서 연속이다. 따라서 \(f\in C^\infty\)이고 \(0\)에서의 테일러 급수는 항등적으로 \(0\)이지만 \(x\ne0\)이면 \(f(x)>0\)이므로 \(f\)는 \(0\)에서 실해석적이지 않다.
실해석적 함수의 중요한 특징은 한 점 근처의 거듭제곱급수 정보가 함수 자체를 강하게 결정한다는 점이다.
정리 8.12. (실해석함수의 항등정리)
열린구간 \(I\)에서 실해석적인 함수 \(f\)의 영점들이 \(I\) 안에 집적점을 가지면 \(f\)는 \(I\)에서 항등적으로 \(0\)이다. 따라서 \(f\)가 항등적으로 \(0\)이 아니면 모든 영점은 고립되어 있다.
증명 서로 다른 영점 \(x_n\)이 \(c\in I\)로 수렴한다고 하자. 연속성에 의해 \(f(c)=0\)이다. 롤의 정리를 반복하여 적용하면 각 자연수 \(k\)에 대하여 \(c\)로 수렴하는 \(f^{(k)}\)의 영점 수열을 얻을 수 있고, 따라서 연속성에 의해 \(f^{(k)}(c)=0\)이다. \(f\)가 \(c\)에서 실해석적이므로 \(c\)의 어떤 근방에서 \(f=0\)이다.
이제 \[ A=\{x\in I\mid x\text{의 어떤 근방에서 }f=0\} \] 라고 하자. 앞의 논의에서 \(A\ne\varnothing\)이고 정의상 \(A\)는 열려 있다. \(x_j\in A\)이고 \(x_j\to x\in I\)이면 모든 \(k\)에 대하여 \(f^{(k)}(x_j)=0\)이고, 도함수의 연속성에 의해 \(f^{(k)}(x)=0\)이다. \(f\)가 \(x\)에서 실해석적이므로 \(x\in A\)이다. 따라서 \(A\)는 \(I\)에서 닫혀 있다. 구간 \(I\)가 연결되어 있으므로 \(A=I\)이다.
실해석적 함수의 합이 실해석적이라는 사실은 정의에서 바로 따른다. 곱의 경우는 문제 8.14에서 코시 곱을 이용하여 확인한다. 합성도 실해석성을 보존하지만, 합성급수의 절대수렴과 재배열을 다루는 증명은 여기서는 생략한다. 또한 복소해석학에서는 실해석적 함수의 국소적 복소 확장과 거듭제곱급수의 수렴반지름을 복소 특이점과 연결하여 설명한다. 예를 들어 \[ \frac1{1+x^2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n} \quad(|x|<1) \] 의 수렴반지름이 \(1\)인 현상은 복소평면에서 \(\pm i\)가 분모의 영점이라는 사실과 관련된다. 이 관점은 복소해석학에서 다룬다.
문제 8.10. 함수 \(f\)가 점 \(c\)에서 실해석적일 때, \(c\)를 중심으로 하고 \(c\)의 어떤 근방에서 \(f\)에 수렴하는 거듭제곱급수가 유일함을 보이시오.
문제 8.11. 함수 \[ f(x)=\frac1{(1-x)^2} \] 의 맥클라린 급수를 구하고 수렴반지름을 구하시오.
문제 8.12. 구간 \([-1,1]\)에서 \(f(x)=\tan^{-1}x\)라고 하자. 다음 물음에 답하시오.
- 무한등비급수의 합을 사용하여 \(-1<x<1\)에서 \(\dfrac1{1+x^2}\)을 거듭제곱급수로 나타내시오.
- \(f'(x)\)를 구하고 (1)의 결과로부터 \(-1<x<1\)에서 \(f'(x)\)를 거듭제곱급수로 나타내시오.
- 항별적분을 사용하여 \(-1<x<1\)에서 \[ \tan^{-1}x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1} \] 임을 보이시오.
- 아벨의 정리를 사용하여 \[ \frac{\pi}{4} =1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots \] 임을 보이시오. 이 공식을 원주율에 대한 라이프니츠 공식이라고 부른다.
문제 8.13. 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n} \] 이 수렴함을 보이시오. (삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 \(\sum_{k=1}^N\sin k\)가 \(N\)과 무관하게 유계임을 보인 뒤 디리클레 판정법을 적용한다.)
문제 8.14. 거듭제곱급수 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)과 \(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\)이 \((-R,R)\)에서 수렴한다고 하자. \(n\ge0\)에 대하여 \[ c_n=\sum_{j=0}^{n}a_jb_{n-j} \] 라고 하자. 임의의 \(x\in(-R,R)\)에 대하여 \(\sum c_nx^n\)이 절대수렴하고 \[ \left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right) =\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n \] 임을 보이시오. 우변을 두 거듭제곱급수의 코시 곱(Cauchy product)이라고 부른다.