‘추상적이다’라는 말은 흔히 어렵고 막연하다는 인상을 준다. 그러나 수학적 추상화는 모호함을 만드는 과정이 아니라, 대상에서 어떤 차이를 무시하고 어떤 성질과 관계를 남길지 정확하게 결정하는 과정이다. 서로 전혀 달라 보이는 대상들이 하나의 구조로 묶이고, 특정한 사례에서 발견된 증명이 더 넓은 세계로 옮겨 가는 데에도 추상화가 작용한다. 이 연재는 수학적 추상화를 조금 더 깊이 살펴보고 싶은 사람들과 관련된 정보와 생각을 나누기 위해 작성했다. 추상화가 단순히 ‘어려운 …
이 페이지는 해석학 강의노트의 온라인 페이지입니다. “해석학 강의노트”는 거리공간에서의 극한, 무한급수와 실해석적 함수, 일변수함수와 다변수함수 미적분, 벡터장 적분 정리를 담고 있습니다. 미적분학에서 다룬 내용은 솎아내고, 가볍게 볼 수 있도록 구성하였습니다. 이 노트의 내용은 독자가 미적분학을 공부했다는 가정 하에 해석학의 핵심 아이디어와 주요 정리를 중심으로 전개됩니다. 이 노트가 해석학의 모든 내용을 담고 있는 것은 아니기에, 상세한 증명이나 다양한 예제가 필요한 경우 참고문헌의 교재를 참조하기 바랍니다. …
이 페이지는 2025학년도 가을학기 ‘공리적 집합론과 수리논리학’ 수업 강의노트의 온라인 페이지입니다. “집합과 수리논리 첫걸음”은 집합론과 수리논리학의 핵심 개념을 입문 수준에서 개괄적으로 소개하는 강의노트입니다. 수업에서 활용하는 목적으로 작성된 강의노트로서 학습을 위한 길잡이 역할을 하는 자료이며, 집합론과 수리논리학 교재를 완전히 대체하는 자료는 아닙니다. 따라서 이 자료를 살펴보다가 더 상세한 내용이 궁금하거나 엄밀한 증명이 필요하다면, 관련 전공 서적을 참조하기 바랍니다. 1장부터 10장까지는 Pinter의 책[1]과 Lin의 책[2]을 참조하고, …
복소수를 처음 공부할 때 도움이 되도록 복소수의 사칙계산과 관련된 예제와 풀이를 모았습니다. 모든 예제와 풀이에서 \(\mathbf{i}\)는 허수단위를 나타냅니다. 각 문항에서 괄호 안에 있는 번호는 세종과학예술영재학교 수학Ⅰ 교과서에 실린 문항 번호입니다. 예제 1. \( a = 3+ \sqrt{3} \mathbf{i} ,\) \(b = 3-\sqrt{3} \mathbf{i} \)일 때, \(a^3 – a^2 b – ab^2 + b^3 \)의 값을 구하시오. (유제 2.21) 풀이 \(a^3 – a^2 b – …
미적분학을 공부하다 보면 수렴하는 극한을 증명하는 예를 자주 볼 수 있다. 반면에 발산하는 극한을 증명하는 예는 상대적으로 자주 볼 수 없다. 이 포스트에서는 발산하는 극한을 증명하는 예를 살펴보자. 이 포스트에서 말하는 ‘함수’는 모두 공역이 실수 집합인 함수를 나타낸다. 무한대로 발산하는 극한 함수 \(f\)가 점 \(c\)의 근처에서 정의되었다고 하자. (엄밀히 말하면, 점 \(c\)가 \(f\)의 정의역의 집적점이라고 하자.) 만약 임의의 양수 \(M\)에 대하여, 양수 \(\delta\)가 존재하여, …
동형의 의미 다음과 같은 집합 \(\mathbb{Z}_3\)을 생각해 보자. \(\mathbb{Z}_3 = \left\{ 0 ,\,\, 1,\,\,2 \right\}\) 이 집합 위에서 덧셈과 곱셈을 새롭게 정의해 보자. 즉 \(m\)과 \(n\)이 \(\mathbb{Z}_3\)의 원소일 때, 새로운 합 \(m+n\)을 \(m\)과 \(n\)의 합을 \(3\)으로 나눈 나머지로, 새로운 곱 \(mn\)을 \(m\)과 \(n\)의 곱을 \(3\)으로 나눈 나머지로 정의하자. 이와 같은 합과 곱을 표로 나타내면 다음 그림과 같다. 이와 같이 새롭게 정의된 합과 곱을 가진 …
다음과 같은 문제를 생각해 보자. 세 점을 지나는 그래프를 갖는 이차함수 \(a_1 ,\) \(a_2 ,\) \(a_3\)이 서로 다른 실수이고, \(b_1 ,\) \(b_2 ,\) \(b_3\)이 실수일 때, 그래프가 세 점 \((a_1 ,\, b_1 ),\) \((a_2 ,\, b_2 ),\) \((a_3 ,\, b_3 )\)을 모두 지나는 이차함수의 식을 어떻게 구할 것인가? 만약 이차함수의 식을 \(y = ax^2 + bx + c \)라고 둔다면, 위 문제는 다음 연립일차방정식에서 …
\(V\)와 \(W\)가 집합이고 \(f\)와 \(g\)가 \(V\)로부터 \(W\)로의 함수라고 하자. 정의역 \(V\)에 속하는 몇 개의 점 \(x\)에 대하여 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다고 하더라도, \(V\) 전체에서 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다는 보장은 없다. 그러나 함수가 벡터공간 사이에서 정의되어 있는 선형변환인 경우에는, 정의역의 기저 원소에 대해서 두 함수의 함숫값이 일치하면 두 함수는 완전히 같은 함수가 된다. 즉 다음 정리가 성립한다. 보조정리 1. \(V\)와 \(W\)가 벡터공간이고 \(B = \left\{ …
이란의 전통 월별 상환금 계산 방법 글쓴이: 페이만 밀란파(Peyman Milanfar) 옮긴이: 이슬비(designeralice＠daum.net) 최근에 나는 대출 금액의 월별 상환금을 추정하는 매우 빠르고 효과적인 방법을 배웠다. 이 방법은 아버지께서 가르쳐 주셨는데, 아버지께서는 19세기 이란에서 무역을 하셨던 할아버지로부터 배우셨다고 한다. 이 공식이 처음 만들어진 기원은 미스테리이지만, 이 방법은 이란을 포함한 많은 지역에서 사용되고 있다. 아버지께서 알려주신 공식은 다음과 같다. \((\text{월별 상환금}) = \frac{1}{(\text{월수})} [(\text{원금}) + (\text{이자})].\) 여기서 …
무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. \(\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \sin \frac{n+1}{n^2 – 5n + 4} \right ). \) \(n \rightarrow 0\)일 때 사인 함수 안에 있는 분수식이 \(0\)에 수렴하고, \(x=0\) 근처에서 \(\sin x\)는 \(x\)와 비슷하게 움직이므로, 위 무한급수에서 사인을 그냥 없애고 판정해도 될 것 같다. 즉 위 무한급수의 수렴 여부는 \(\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \frac{n+1}{n^2 -5n +4} …