중적분

증명 일변수의 정리 6.1의 리만 판정법의 증명과 같다. \(f\)가 적분 가능하면 상적분과 하적분의 공통값을 \(I\)라고 두고, \[ U(f,P_1)<I+\frac{\varepsilon}{2}, \qquad L(f,P_2)>I-\frac{\varepsilon}{2} \] 인 두 분할을 택한다. 두 분할의 공통세분 \(P\)에 대하여 상합은 증가하지 않고 하합은 감소하지 않으므로 \[ U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon \] 이다.

역으로 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 이러한 분할이 존재하면 \[ 0\le \overline{\int_R}f-\underline{\int_R}f \le U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon \] 이므로 상적분과 하적분이 같다.

증명 \(E=\varnothing\)이면 자명하다. 이제 \(E\ne\varnothing\)이라고 하자. \(E\)를 포함하는 직사각형 \(R\)을 택하고 \(f\)의 영연장을 \(\widetilde f\)라고 하자. \(E\)가 컴팩트이고 \(f\)가 연속이므로 \[ M=\max_{x\in E}|f(x)| \] 가 존재한다. \(M=0\)이면 자명하므로 \(M>0\)이라고 하자.

임의의 \(\varepsilon>0\)을 택한다. \(\chi_E\)가 적분 가능하므로 정리 10.1에 의해 어떤 분할 \(P_0\)가 존재하여 \[ U(\chi_E,P_0)-L(\chi_E,P_0) < \frac{\varepsilon}{4M} \] 이다. 또한 \(f\)는 컴팩트 집합 \(E\)에서 균등연속이므로 어떤 \(\delta>0\)가 존재하여 \(x,y\in E\), \(\lVert x-y\rVert<\delta\)이면 \[ |f(x)-f(y)| < \frac{\varepsilon}{2|R|} \] 이다. \(P_0\)를 더 세분하여 모든 부분직사각형의 지름이 \(\delta\)보다 작은 분할 \(P\)를 만든다.

분할 \(P\)의 부분직사각형 \(S\)를 생각하자. \(S\subseteq E\)이면 \(S\)에서 \(\widetilde f\)의 진동은 \(\varepsilon/(2|R|)\)보다 작고, \(S\cap E=\varnothing\)이면 진동은 \(0\)이다. 나머지 부분직사각형, 즉 \(E\)와 \(R\setminus E\)를 모두 만나는 부분직사각형에서의 진동은 \(2M\) 이하이다. 이러한 부분직사각형들의 부피의 합은 \[ U(\chi_E,P)-L(\chi_E,P) \] 와 같다. 따라서 \[ \begin{aligned} U(\widetilde f,P)-L(\widetilde f,P) &\le \frac{\varepsilon}{2|R|}|R| +2M\bigl(U(\chi_E,P)-L(\chi_E,P)\bigr)\\ &< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \end{aligned} \] 정리 10.1에 의해 \(\widetilde f\)는 \(R\)에서 적분 가능하다.

증명 직사각형에서 먼저 합에 대한 선형성을 보이자. 두 함수에 대해 각각 리만 판정법을 만족시키는 분할의 공통세분 \(P\)를 택한다. 각 부분직사각형 \(S\)에서 \[ \operatorname{osc}_S(f+g) \le \operatorname{osc}_S(f)+\operatorname{osc}_S(g) \] 이므로 \(f+g\)도 적분 가능하다. 또한 같은 분할에서 \[ L(f,P)+L(g,P) \le L(f+g,P) \le U(f+g,P) \le U(f,P)+U(g,P). \] 공통세분을 택할 때 \(f\)와 \(g\)의 상합과 하합을 각각의 적분값에 임의로 가깝게 만들 수 있으므로 \[ \int_R(f+g) = \int_Rf+\int_Rg. \] 상수배에 대해서는 \(\alpha\ge0\)이면 상한과 하한이 \(\alpha\)배 되고, \(\alpha<0\)이면 상한과 하한의 역할이 바뀌므로 \[ \int_R\alpha f = \alpha\int_Rf. \] 따라서 첫 번째 명제가 성립한다. 일반 영역에서는 영연장에 이 결과를 적용하면 된다.

단조성은 \(f\le g\)이면 모든 분할에서 \(L(f,P)\le L(g,P)\), \(U(f,P)\le U(g,P)\)인 데서 따른다. 절댓값 부등식은 \[ -|f|\le f\le |f| \] 와 선형성, 단조성을 적용하면 얻는다.

이제 \(A\)가 조르단 측도 \(0\)이고 \(h\)가 \(A\)에서 유계라고 하자. \(|h|\le M\)인 \(M>0\)을 택한다. \(\chi_A\)의 적분값이 \(0\)이므로 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 \[ U(\chi_A,P) < \frac{\varepsilon}{2M} \] 인 분할 \(P\)를 택할 수 있다. \(A\)를 만나지 않는 부분직사각형에서는 \(h\)의 영연장이 \(0\)이고, \(A\)를 만나는 부분직사각형에서의 진동은 \(2M\) 이하이므로 \[ U(\widetilde h,P)-L(\widetilde h,P) \le 2M U(\chi_A,P) < \varepsilon. \] 따라서 \(h\)는 \(A\)에서 적분 가능하다. 또한 \[ -M\chi_A \le \widetilde h \le M\chi_A \] 이므로 단조성에 의해 \(\int_Ah=0\)이다. 집합 \(B\subseteq E\)에 대하여 \(f|_B\)의 영연장을 \(\widetilde f_B\)라고 쓰면 \[ \widetilde f_E = \widetilde f_{E_1} + \widetilde f_{E_2} - \widetilde f_{E_1\cap E_2}. \] 교집합의 적분은 \(0\)이므로 선형성을 적용하면 영역의 가법성을 얻는다.

마지막으로 분할을 벡터 \(a\)만큼 평행이동하면 각 부분직사각형의 부피와 그 위에서의 상한·하한이 그대로 보존된다. 따라서 상합과 하합이 일치하고 평행이동 불변성을 얻는다.

증명 \(|E|=0\)이면 정리 10.3에 의해 \(\int_E f=0\)이므로 임의의 \(c\in E\)에 대하여 등식이 성립한다.

이제 \(|E|>0\)이라고 하자. 정리 4.7의 최대 최소 정리에 의해 \(f\)는 \(E\)에서 최솟값 \(m\)과 최댓값 \(M\)을 가진다. 단조성에 의해 \[ m|E| \le \int_E f \le M|E|. \] 따라서 \[ m \le \frac1{|E|}\int_E f \le M. \] 연속함수는 연결집합을 연결집합으로 보내므로 \(f(E)\)는 \(m\)과 \(M\)을 포함하는 구간이다. 따라서 어떤 \(c\in E\)에 대하여 \[ f(c) = \frac1{|E|}\int_E f \] 이고, 바라는 등식을 얻는다.

증명 첫 번째 명제를 보이면 두 번째 명제는 \(x\)와 \(y\)의 역할을 바꾸어 얻을 수 있다. \([a,b]\)의 분할을 \[ a=x_0<\cdots<x_m=b, \] \([c,d]\)의 분할을 \[ c=y_0<\cdots<y_n=d \] 라고 하고 \[ I_i=[x_{i-1},x_i], \qquad J_j=[y_{j-1},y_j] \] 라고 하자. 부분직사각형 \(I_i\times J_j\)에서 \(f\)의 하한과 상한을 각각 \(m_{ij}\), \(M_{ij}\)라고 하자.

고정된 \(x\in I_i\)에 대하여 \[ m_{ij} \le f(x,y) \le M_{ij} \qquad (y\in J_j) \] 이므로 일변수 적분의 단조성과 구간 가법성에 의해 \[ \sum_{j=1}^n m_{ij}|J_j| \le F(x) \le \sum_{j=1}^n M_{ij}|J_j|. \] 따라서 \(I_i\)에서 \(F\)의 하한과 상한을 각각 \(m_i^F\), \(M_i^F\)라고 하면 \[ \sum_jm_{ij}|J_j| \le m_i^F \le M_i^F \le \sum_jM_{ij}|J_j|. \] 양변에 \(|I_i|\)를 곱하여 \(i\)에 대해 합하면 \[ L(f,P) \le L(F,P_x) \le U(F,P_x) \le U(f,P), \] 그리고 특히 \[ U(F,P_x)-L(F,P_x) \le U(f,P)-L(f,P) \] 를 얻는다.

\(f\)가 리만 적분 가능하므로 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 \[ U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon \] 인 곱분할 \(P=P_x\times P_y\)를 택할 수 있다. 위 부등식에 의해 \(F\)도 리만 적분 가능하다. 또한 \(\iint_R f\)와 \(\int_a^bF\)는 모두 \([L(f,P),U(f,P)]\) 안에 있으므로 두 값의 차이는 \(\varepsilon\)보다 작다. \(\varepsilon>0\)이 임의이므로 \[ \iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y)\,dy \right)dx. \tag{10.2} \] 같은 논리로 \[ \iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y)\,dx \right)dy. \tag{10.3} \] 를 얻는다.

증명 첫 번째 경우를 보이자. \(E\)를 포함하는 직사각형 \(R=[a,b]\times[c,d]\)를 택하고 \(f\)의 영연장을 \(\widetilde f\)라고 하자. 정리 10.2에 의해 \(\widetilde f\)는 \(R\)에서 리만 적분 가능하다.

고정된 \(x\in[a,b]\)에 대하여 \(y\mapsto\widetilde f(x,y)\)는 \([\phi(x),\psi(x)]\)에서 연속이고 그 바깥에서는 \(0\)이다. 따라서 많아야 두 점에서만 불연속일 수 있으므로 일변수 리만 적분이 존재하고 \[ \int_c^d\widetilde f(x,y)\,dy = \int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)\,dy. \] 정리 10.5를 적용하면 \[ \int_E f = \iint_R\widetilde f(x,y)\,dA = \int_a^b \left( \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,y)\,dy \right)dx. \] 두 번째 경우는 \(x\)와 \(y\)의 역할을 바꾸면 된다.

증명 \[ I_A = \int_{-A}^A e^{-x^2}\,dx \] 라고 하자. \(I_A\)는 \(A\)에 대해 단조증가한다. 푸비니 정리에 의해 \[ I_A^2 = \iint_{[-A,A]^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA. \] 반지름이 \(A\)인 원판을 \(D_A\)라고 하면 \[ D_A \subseteq [-A,A]^2 \subseteq D_{\sqrt2A}. \] 극좌표와 변수변환 정리를 사용하면 \[ \iint_{D_R} e^{-(x^2+y^2)}\,dA = 2\pi \int_0^R e^{-r^2}r\,dr = \pi(1-e^{-R^2}). \] 따라서 \[ \pi(1-e^{-A^2}) \le I_A^2 \le \pi(1-e^{-2A^2}). \] \(A\to\infty\)로 보내면 샌드위치 정리에 의해 \(I_A^2\to\pi\)이고 \(I_A>0\)이므로 \(I_A\to\sqrt\pi\)이다.

증명 부분적분하면 \[ \begin{aligned} \Gamma(s+1) &= \int_0^\infty t^s e^{-t}\,dt\\ &= \left[-t^se^{-t}\right]_0^\infty + s\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt\\ &= s\Gamma(s). \end{aligned} \] 경계항은 \(t\to0^+\)와 \(t\to\infty\)에서 모두 \(0\)이다. \(\Gamma(1)=1\)과 점화식을 반복하면 \(\Gamma(n+1)=n!\)을 얻는다. 마지막으로 \(t=x^2\)로 치환하면 \[ \Gamma\left(\frac12\right) = 2\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt\pi \] 이다.

증명 \([1/m,m]^2\) 위에서는 정리 10.5를 적용할 수 있다. \(m\to\infty\)로 보내고 정의 10.11을 사용하면 \[ \Gamma(p)\Gamma(q) = \int_0^\infty \int_0^\infty x^{p-1}y^{q-1}e^{-(x+y)} \,dy\,dx. \] 양의 사분면에서 \[ r=x+y, \qquad u=\frac{x}{x+y} \] 로 두면 \[ x=ru, \qquad y=r(1-u) \] 이고 야코비 행렬식의 절댓값은 \(r\)이다. 따라서 변수변환 정리를 컴팩트 부분영역에 적용한 뒤 증가하는 극한을 취하면 \[ \begin{aligned} \Gamma(p)\Gamma(q) &= \int_0^\infty \int_0^1 r^{p+q-1}e^{-r} u^{p-1}(1-u)^{q-1} \,du\,dr\\ &= \Gamma(p+q)\,\mathrm B(p,q). \end{aligned} \] 양변을 \(\Gamma(p+q)>0\)로 나누면 바라는 식을 얻는다.