이 페이지는 2025학년도 가을학기 ‘공리적 집합론과 수리논리학’ 수업 강의노트의 온라인 페이지입니다. “집합과 수리논리 첫걸음”은 집합론과 수리논리학의 핵심 개념을 입문 수준에서 개괄적으로 소개하는 강의노트입니다. 수업에서 활용하는 목적으로 작성된 강의노트로서 학습을 위한 길잡이 역할을 하는 자료이며, 집합론과 수리논리학 교재를 완전히 대체하는 자료는 아닙니다. 따라서 이 자료를 살펴보다가 더 상세한 내용이 궁금하거나 엄밀한 증명이 필요하다면, 관련 전공 서적을 참조하기 바랍니다. 1장부터 10장까지는 Pinter의 책[1]과 Lin의 책[2]을 참조하고, …
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Sets and Logic
집합을 공부할 때 도움이 되도록 집합의 성질을 증명하는 예제와 풀이를 모았습니다. 모든 예제와 풀이에서 \(U\)는 공집합이 아닌 전체집합을 나타내며, \(A,\) \(B,\) \(C\)는 \(U\)의 부분집합을 나타냅니다. 또한 \(\varnothing\)은 공집합을 나타내며, \(P(A)\)는 \(A\)의 멱집합을 나타냅니다. \(C\)가 윗첨자로 쓰였을 때는 여집합을 나타냅니다. 예제 1. 공집합이 임의의 집합의 부분집합임을 증명하시오. 풀이 \(\varnothing\)이 공집합이고 \(A\)가 임의의 집합이라고 하자. 이제 임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음 조건부 명제가 참임을 보여야 한다. …
This set of exercises is retrieved from the second chapter of Linear Algebra by Robert J. Valenza. Note that these solutions are not fully elaborated; You have to fill the descriptions by yourself. Problem 1.1 Find the sets \(S,\) \(T\) and \(U\) and functions \(f: S \rightarrow T\) and \(g: T \rightarrow U\) such that \(g \circ f\) is injective, but \(g\) is not …
문제. \(\mathbb{N}\)이 모든 자연수의 집합이라고 하자. 이때, \(\mathbb{N}\)으로부터 \(\mathbb{N}\)으로의 함수, 즉 정의역과 공역이 모두 \(\mathbb{N}\)인 함수의 개수가 실수의 개수와 같음을 보이시오. 풀이. 표기를 편하게 하기 위하여 정의역이 \(A\)이고 공역이 \(B\)인 함수의 모임을 \(B^A\)로 나타낸다. 1단계. 정의역이 \(\mathbb{N}\)이고 공역이 \(E = \left\{ 0,\,1 \right\}\)인 함수의 개수를 세어 보자. 즉 \(E^\mathbb{N}\)의 원소의 개수를 생각해 보자. \(f\in E^\mathbb{N}\)라고 하자. 그러면 각 자연수 \(n\)에 대하여 함숫값 \(f(n)\)은 \(0\) …