이 장에서는 실함수의 미분 가능성과 관련된 중요한 정리들을 살펴본다. 미분의 기하학적 의미로부터 시작하여 평균값 정리, 테일러 정리 등 해석학의 주요 정리를 살펴본다.
미분 가능성
\(X\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이고 \(c\in X\cap X'\)이라고 하자. 함수 \(f: X \to \mathbb{R}\)이 점 \(c\)에서 미분 가능하다(differentiable)는 것은 다음 극한이 존재하는 것을 뜻한다. \[f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h}.\] 이 극한값 \(f'(c)\)를 \(c\)에서 \(f\)의 미분계수(derivative)라고 부른다.
함수 \(f\)가 \(c\)에서 미분 가능하다는 것을 다르게 표현하면, 다음을 만족시키는 실수 \(L\)과 함수 \(r(h)\)가 존재하는 것이다. \[f(c + h) = f(c) + Lh + r(h), \quad \lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{h} = 0 .\] 이때 \(L = f'(c)\)가 된다.
\(f\)가 \(c\)에서 미분 가능할 때, 직선 \(y = f'(c)(x - c)+f(c)\)를 \(c\)에서 \(f\)의 접선(tangent line)이라고 부른다.
함수 \(f:X\rightarrow \mathbb{R}\)의 정의역의 점 중에서 \(f\)가 미분 가능한 점의 집합을 \(D\)라고 하자. 그러면 \(f ' \)은 \(D\)의 점 \(x\)를 \( f' (x)\)에 대응시키는 함수이다. 이러한 관점에서 \(f '\)을 \(f\)의 도함수(derivative function)라고 부른다.
문제 5.1. 미분계수와 도함수의 차이를 설명하시오.
정리 5.1. (미분 가능성과 연속성의 관계)
함수 \(f\)가 점 \(c\)에서 미분 가능하면, \(f\)는 점 \(c\)에서 연속이다.
증명
\(f\)가 \(c\)에서 미분 가능하면 \[ \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} \left[ f(c) + \frac{f(x) - f(c)}{x - c}(x - c) \right] = f(c) + f'(c) \cdot 0 = f(c) \] 이다. 따라서 \(f\)는 \(c\)에서 연속이다.
그러나 연속인 함수가 모두 미분 가능한 것은 아니다. 예를 들어, \(f(x) = |x|\)는 \(x = 0\)에서 연속이지만 미분 가능하지 않다.
실함수의 극한에서 좌극한과 우극한을 정의한 것처럼, 미분계수도 한방향 미분계수를 정의할 수 있다.
- 좌미분계수: \(\displaystyle f'_-(c) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(c + h) - f(c)}{h}\)
- 우미분계수: \(\displaystyle f'_+(c) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(c + h) - f(c)}{h}\)
닫힌구간의 끝점에서는 한방향 미분계수로 미분을 정의한다. 즉 함수 \(f:[a,\,b] \rightarrow \mathbb{R}\)에 대하여, \(f'(a)\)와 \(f'(b)\)는 각각 우미분계수와 좌미분계수로 정의된다.
구간 내부의 점에서 함수가 미분 가능할 필요충분조건은 좌미분계수와 우미분계수가 모두 존재하고 두 미분계수가 일치하는 것이다. [좌미분계수와 도함수의 좌극한은 서로 다를 수 있다.]
함수 \(f\)가 점 \(c\)에서 미분 가능하면 \(f\)는 \(c\)에서 연속이다. 그러나 \(f'\)은 \(c\)에서 연속이 아닐 수 있다. 예를 들어 \[f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x} & \;\text{if }\, x \neq 0, \\[6pt] 0 & \;\text{if }\, x = 0 \end{cases}\] 이라고 정의된 함수 \(f\)는 모든 점에서 미분 가능하지만 \(f'\)은 \(x = 0\)에서 불연속이다.
\(a\)와 \(b\)가 상수이고 \(f\)와 \(g\)가 미분 가능한 함수일 때 다음이 성립한다.
- 선형성: \((af + bg)' = af' + bg'\)
- 곱의 법칙: \((fg)' = f'g + fg'\)
- 몫의 법칙: \((f/g)' = (f'g - fg')/g^2\) (단, \(g \neq 0\))
- 연쇄법칙: \((g \circ f)' = (g' \circ f) \cdot f'\)
특히 다항함수 \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x^1 + a_0 \)의 도함수는 다음과 같다. \[f' (x) = na_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1 .\]
문제 5.2. 미분의 선형성과 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙을 증명하시오.
문제 5.3. \(n\)이 자연수이고 \(f(x)=x^n\)일 때 \(f ' (x) = nx^{n-1}\)임을 보이시오. (단, \(n=1\)이고 \(x=0\)일 때 \(f'(0)=0^0\)이 되는데, 이 경우에 한하여 \(0^0 = 1\)로 계산한다.)
문제 5.4. \(m\)이 \(0\)이 아닌 정수이고 \(f(x)=x^m\)일 때 \(f ' (x) = mx^{m-1}\)임을 보이시오.
문제 5.5. 미분의 정의를 사용하여 다음과 같이 정의된 함수 \(f\)의 도함수를 구하시오.
- \(f(x)=\sin x\)
- \(f(x)=\cos x\)
- \(f(x)=\tan x\) (단, \(x\neq\frac{2k+1}{2}\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\))
- \(f(x)=\sec x\) (단, \(x\neq\frac{2k+1}{2}\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\))
- \(f(x)=\csc x\) (단, \(x\neq k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\))
- \(f(x)=\cot x\) (단, \(x\neq k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\))
평균값 정리와 그 따름정리
평균값 정리는 도함수의 핵심적인 성질을 나타내며, 도함수를 활용하는 정리를 증명할 때 자주 사용된다.
정리 5.2. (극값에 대한 페르마의 정리)
\(c\)가 구간 \(I\)의 내점이고 함수 \(f\)가 \(I\)에서 정의되어 있으며 \(f\)가 \(c\)에서 극값을 가지고 미분 가능하면 \(f'(c) = 0\)이다.
증명
\(f\)가 \(c\)에서 극댓값을 가진다고 하자. 그러면 \(\delta>0\)이 존재하여, \( | x-c | < \delta\)일 때 \(f(x) \le f(c)\)가 성립한다. 즉 \(|h|<\delta\)일 때 \(f(c+h)-f(c)\le 0\)이다. 그러므로 \[\begin{aligned} f_- ' (c) &= \lim_{h\rightarrow 0-} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0,\\[6pt] f_+ ' (c) &= \lim_{h\rightarrow 0+} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0 \end{aligned}\] 이다. 그런데 \(f\)가 \(c\)에서 미분 가능하므로 \(f'(c) = f_- ' (c) = f_+ ' (c)\)이다. 그러므로 \(f'(c)=0\)이다.
정리 5.3. (롤의 정리)
함수 \(f\)가 \([a,\, b]\)에서 연속이고 \((a,\, b)\)에서 미분 가능하며 \(f(a) = f(b)\)이면, 어떤 \(c \in (a,\, b)\)에 대해 \(f'(c) = 0\)이다.
증명
만약 \(f\)가 상수함수이면 \((a,\,b)\)의 모든 점에서 \(f' = 0\)이다. \(f\)가 상수함수가 아닌 경우 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 최댓값과 최솟값을 가진다. \(f\)가 최댓값 또는 최솟값이 되는 점 \(c\)가 \((a,\,b)\)에 존재한다. 이때 극값에 대한 페르마의 정리(정리 5.2)에 의하여 \(f'(c)=0\)이다.
정리 5.4. (라그랑주 평균값 정리)
함수 \(f\)가 \([a,\, b]\)에서 연속이고 \((a,\, b)\)에서 미분 가능하면, 적당한 \(c \in (a,\, b)\)에 대하여 다음이 성립한다. \[f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} .\]
증명
구간 \([a,\,b]\) 위에서 함수 \(g\)를 \[g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\] 라고 정의하면 \(g(a) = g(b) = f(a)\)이다. 롤의 정리를 \(g\)에 적용하면 바라는 결론을 얻는다.
평균값 정리의 기하학적 의미는 곡선 위의 어떤 점에서 접선의 기울기가 할선의 기울기와 같다는 것이다.
문제 5.6. 평균값 정리를 사용하여 임의의 실수 \(x\), \(y\)에 대하여 부등식 \(|\sin x - \sin y| \leq |x - y|\)가 성립함을 증명하시오.
정리 5.5. (코시의 평균값 정리)
함수 \(f\)와 \(g\)가 \([a,\, b]\)에서 연속이고 \((a,\, b)\)에서 미분 가능하며 \(g'(x) \neq 0\)이면, 적당한 \(c \in (a,\, b)\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} .\]
증명
먼저 \(g(b) \neq g(a)\)임을 확인하자. 만약 \(g(b) = g(a)\)라면 롤의 정리에 의해 어떤 \(c \in (a,\, b)\)에서 \(g'(c) = 0\)이 되는데, 이는 가정에 모순이다.
이제 함수 \(h\)를 다음과 같이 정의하자. \[h(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot g(x).\]
그러면 \(h\)는 \([a,\, b]\)에서 연속이고 \((a,\, b)\)에서 미분 가능하다. 또한 \[h(a) = f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot g(a), \quad h(b) = f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot g(b) \] 이므로 \(h(a) = h(b)\)이다. \(h\)에 롤의 정리를 적용하면, 어떤 \(c \in (a,\, b)\)에 대해 \(h'(c) = 0\)이다. 즉, \[f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot g'(c) = 0.\] 여기서 \(g'(c) \neq 0\)이므로 \[\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\] 를 얻는다.
평균값 정리를 사용하여 함숫값의 변화와 관련된 유용한 공식을 유도할 수 있다.
정리 5.6. (함수의 증감에 대한 일계도함수 판정법)
함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 미분 가능하다고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(I\)의 모든 점에서 \(f'(x) = 0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 상수함수이다.
- \(I\)의 모든 점에서 \(f'(x) > 0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 순증가하는 함수이다.
- \(I\)의 모든 점에서 \(f'(x) < 0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 순감소하는 함수이다.
문제 5.7. 정리 5.6을 증명하시오.
문제 5.8. 함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 미분 가능하다고 하자. 양수 \(M\)이 존재하여, \(I\)의 모든 점에서 \(|f'(x)| \leq M\)이면, \(f\)는 \(I\)에서 립시츠 연속임을 보이시오.
테일러 정리
함수 \(f\)가 점 \(a\)의 근방에서 미분 가능하고, 도함수 \(f '\)이 \(a\)에서 미분 가능할 때 \(a\)에서 \(f'\)의 미분계수를 \(f''(a)\) 또는 \(\frac{d^2}{dx^2}f(a)\)로 나타낸다. 마찬가지로 자연수 \(n\)에 대하여, \(f\)가 \(a\)의 근방에서 \(n-1\)번 미분 가능하고 \(f\)를 \(n-1\)번 미분한 함수가 \(a\)에서 미분 가능할 때, \(a\)에서 \(f\)의 \(n-1\)계도함수의 미분계수를 \(a\)에서 \(f\)의 \(n\)계미분계수라고 부르고 다음과 같이 나타낸다. \[f^{(n)}(a) \quad \text{또는} \quad \frac{d^n}{dx^n}f(a).\] 점 \(a\)에서 \(f\)의 \(n\)계미분계수가 존재할 때 "\(f\)가 \(a\)에서 \(n\)번 미분 가능하다"라고 표현한다.
\(f\)의 정의역의 점 \(x\)를 \(x\)에서 \(f\)의 \(n\)계 미분계수에 대응시키는 함수를 \(f\)의 \(n\)계도함수라고 부르고 \(f^{(n)}\)으로 나타낸다.
구간 \(I\)의 모든 점에서 \(f\)가 미분 가능하고 \(f'\)이 연속일 때, "\(f\)는 \(I\)에서 \(C^1\)이다" 또는 "\(f\)는 \(I\)에서 연속적으로 미분 가능하다(continuously differentiable)"라고 말한다. ["연속적으로 미분 가능하다"라는 말이 "임의 횟수로 미분 가능하다"라는 뜻이 아니다. 이러한 혼동을 피하려면 "연속인 도함수를 가진다"라는 표현을 사용하는 편이 낫다.] 또한 구간 \(I\)의 모든 점에서 \(f\)의 \(n\)계도함수가 존재하고 \(f^{(n)}\)이 연속일 때, "\(f\)는 \(I\)에서 \(C^n\)이다"라고 말한다. 만약 임의의 자연수 \(n\)에 대하여, \(f\)가 \(I\)에서 \(C^n\)이면, "\(f\)는 \(I\)에서 \(C^{\infty}\)이다"라고 말한다.
\(n\)이 자연수일 때, 점 \(a\)의 근방에서 \(n\)번 미분 가능한 함수 \(f\)에 대하여, \(a\) 근처에서 다항함수를 사용하여 \(f\)의 근사함수를 만들 수 있다.
정의 5.1. (테일러 다항식)
함수 \(f\)가 점 \(a\)에서 \(n\)번 이상 미분 가능하다고 하자. 이때 점 \(a\)에서 함수 \(f\)의 \(n\)차 테일러 다항식(Taylor polynomial)을 다음과 같이 정의한다. \[P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k .\]
많은 경우에 \(P_n (x)\)의 차수가 클수록, 그리고 \(x\)가 \(a\)에 가까울수록, \(P_n(x)\)의 값이 \(f(x)\)의 값에 가까워진다. 이러한 상황에서 \(P_n (x)\)의 값을 \(f(x)\)의 근삿값으로 사용하려면 두 값이 얼마나 가까운지를 가늠할 수 있는 공식이 필요하다.
정리 5.7. (테일러 정리)
함수 \(f\)가 \([a,\, b]\)에서 \(n\)번 미분 가능하고 \((a,\, b)\)에서 \((n+1)\)번 미분 가능하면, 적당한 \(c \in (a,\, b)\)에 대하여 다음이 성립한다. \[f(b) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b - a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b - a)^{n+1} .\] 여기서 우변의 마지막 항을 라그랑주 나머지(Lagrange remainder)라고 부른다.
증명
\(a\)에서 \(f\)의 \(n\)차 테일러 다항식을 다음과 같이 나타내자. \[P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k .\] 나머지 \(R_n(x) = f(x) - P_n(x)\)에 대하여 다음을 만족시키는 상수 \(M\)이 유일하게 존재한다. \[f(b) = P_n(b) + M(b - a)^{n+1}.\] 이제 함수 \(g\)를 다음과 같이 정의한다. \[g(t) = f(t) - P_n(t) - M(t - a)^{n+1}, \quad t \in [a,\, b].\]
그러면 \(g\)는 다음과 같은 성질을 가진다.
- \(g(a) = f(a) - P_n(a) = 0\) (테일러 다항식의 정의에 의해)
- \(g(b) = f(b) - P_n(b) - M(b - a)^{n+1} = 0\) (\(M\)의 정의에 의해)
- \(g\)는 \([a,\, b]\)에서 \(n\)번 미분 가능하고 \((a,\, b)\)에서 \((n+1)\)번 미분 가능하다.
또한 \(k = 0,\, 1,\, \cdots,\, n\)에 대해 \(g^{(k)}(a) = 0\)임을 확인할 수 있다. 왜냐하면 \(P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)\)이고 \((t - a)^{n+1}\)의 \(k\)계 도함수가 \(t = a\)에서 0이 되기 때문이다.
이제 롤의 정리를 반복하여 적용하자. 즉 \(g(a) = g(b) = 0\)이므로, 어떤 \(c_1 \in (a,\, b)\)에서 \(g'(c_1) = 0\)이다. 다음으로 \(g'(a) = g'(c_1) = 0\)이므로, 어떤 \(c_2 \in (a,\, c_1)\)에서 \(g''(c_2) = 0\)이다. 이 과정을 계속하면, 어떤 \(c \in (a,\, b)\)에서 \(g^{(n+1)}(c) = 0\)이다.
\(g^{(n+1)}(t) = f^{(n+1)}(t) - M(n+1)!\)이므로, \(g^{(n+1)}(c) = 0\)으로부터 다음 식을 얻는다. \[M = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}.\] 따라서 \[f(b) = P_n(b) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b - a)^{n+1}\] 을 얻는다.
테일러 정리에서 나머지는 라그랑주의 나머지 외에도 다음과 같은 형태가 존재한다.
- 코시 나머지: \(\displaystyle R_n = \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(b - c)^n(b - a)\).
- 적분으로 표현한 나머지: \(\displaystyle R_n = \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(b - t)^n dt\).
문제 5.9. 함수 \(f(x) = e^x\)의 \(0\)에서의 \(n\)차 테일러 다항식을 사용하여 \(x=1\)에서 \(e\)의 근삿값을 구할 때, 오차가 \(\frac{3}{(n+1)!}\)보다 작음을 보이시오.
함수의 극값과 볼록성
함수 \(f\)가 점 \(c\)에서 국소극댓값(local maximum)을 가진다는 것은, 어떤 \(\delta > 0\)이 존재하여 \(x\in B(c,\,\delta )\)인 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x) \leq f(c)\)인 것이다. 국소극솟값(local minimum)도 비슷하게 정의된다. 국소극댓값과 국소극솟값을 간단히 극댓값과 극솟값이라고 부르기도 한다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 국소극값 또는 극값이라고 부른다.
극값을 판정하는 방법은 다음과 같은 것들이 있다.
정리 5.8. (극값에 대한 일계도함수 판정법)
함수 \(f\)가 \(c\)를 내점으로 갖는 구간에서 미분 가능하고 \(f'(c) = 0\)이며, \(x\)의 값이 \(c\)를 통과할 때 \(f'(x)\)의 부호가 바뀌면, \(f\)는 \(c\)에서 극값을 가진다.
정리 5.9. (극값에 대한 이계도함수 판정법)
함수 \(f\)가 \(c\)를 내점으로 갖는 구간에서 미분 가능하고 \(c\)에서 두 번 미분 가능하며 \(f'(c) = 0\)이라고 하자.
- \(f''(c) > 0\)이면 \(f\)는 \(c\)에서 극솟값을 가진다.
- \(f''(c) < 0\)이면 \(f\)는 \(c\)에서 극댓값을 가진다.
- \(f''(c) = 0\)이면 \(f\)가 \(c\)에서 극값을 가지는지 여부를 판정할 수 없다.
문제 5.10. 극값에 대한 일계도함수 판정법(정리 5.8)과 이계도함수 판정법(정리 5.9)을 증명하시오.
문제 5.11. 함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)의 극값을 구하고, 각 극값이 극댓값인지 극솟값인지 판정하시오.
문제 5.12. 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(1+x \le e^x\)임을 보이시오. (여기서 \(e\)는 자연상수이다.)
문제 5.13. 다음을 증명하시오.
- \(x \ge -1\)이고 \(r\ge 1\)일 때 \((1+x)^r \ge 1+rx\)이다.
- \(x\ge -1\)이고 \(0\le r\le 1\)일 때 \((1+x)^r \le 1+rx\)이다.
이 부등식을 베르누이 부등식이라고 부른다.
구간 \(I\)에서 정의된 함수 \(f\)가 \(I\)에서 볼록하다(convex)는 것은, 임의의 \(x,\, y \in I\)와 \(t \in [0,\, 1]\)에 대해 다음이 성립하는 것을 의미한다. \[f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y).\tag{5.1}\] 만약 부등호를 반대로 바꾼 조건이 성립하면 "\(f\)가 \(I\)에서 오목하다(concave)"라고 말한다.
부등식 (5.1)은 \(I\)의 임의의 서로 다른 두 점 \(x\), \(y\)에 대하여, \(f\)의 그래프 위의 두 점 \((x,\,f(x))\)와 \((y,\,f(y))\)을 이은 선분이 \(f\)의 그래프보다 아래쪽에 있지 않다는 것을 의미한다.
정리 5.10.
함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 두 번 미분 가능하다고 하자.
- 만약 \(I\)에서 \(f'' \geq 0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 볼록하다.
- 만약 \(I\)에서 \(f'' \leq 0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 오목하다.
증명
(1)만 증명하면 충분하다. ((2)는 (1)에서 \(f\)를 \(-f\)로 바꾸면 된다.)
\(I\)에서 \(f'' \geq 0\)이라고 하자. \(x < y\)인 임의의 \(x,\, y \in I\)와 \(t \in (0,\, 1)\)에 대해 \[z = tx + (1-t)y\] 라고 놓자. 그러면 \(x < z < y\)이다. 테일러 정리(정리 5.7)를 사용하여 점 \(z\)에서 테일러 1차 다항식을 구하면, 다음을 만족시키는 두 점 \(c_1 \in (x,\, z)\)와 \(c_2 \in (z,\, y)\)가 존재한다. \[\begin{aligned} f(x) &= f(z) + f'(z)(x - z) + \frac{f''(c_1)}{2}(x - z)^2 ,\\[6pt] f(y) &= f(z) + f'(z)(y - z) + \frac{f''(c_2)}{2}(y - z)^2 . \end{aligned}\] \(f'' \geq 0\)이므로 \(f''(c_1) \geq 0\)이고 \(f''(c_2) \geq 0\)이다. 따라서 \[\begin{aligned} f(x) &\geq f(z) + f'(z)(x - z),\\[6pt] f(y) &\geq f(z) + f'(z)(y - z) \end{aligned}\] 이다. 두 부등식에 각각 \(t\)와 \((1-t)\)를 곱하여 더하면 다음 부등식을 얻는다. \[\begin{aligned} tf(x) + (1-t)f(y) &\geq f(z) + f'(z)[t(x - z) + (1-t)(y - z)] \\[6pt] &= f(z) + f'(z)[tx + (1-t)y - z] \\[6pt] &= f(z) + f'(z) \cdot 0 \\[6pt] &= f(z) = f(tx + (1-t)y). \end{aligned}\] 따라서 \(f\)는 볼록하다.
문제 5.14. \(I\)가 공집합이 아닌 열린구간이고 \(f\)가 \(I\)에서 볼록한 함수라고 하자. 이때 \(f\)가 \(I\)에서 연속임을 보이시오.
문제 5.15. 함수 \(f\)가 열린구간 \(I\)에서 미분 가능한 함수라고 하자. 이때 \(f\)가 \(I\)에서 볼록함수일 필요충분조건은 \(f'\)이 \(I\)에서 단조증가함수인 것임을 보이시오.
정리 5.11. (옌센 부등식)
함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 볼록한 함수이고 \(i=1,\,2,\,\cdots,\,n\)에 대하여 \(x_i\in I\), \(\lambda_i \geq 0\)이며 \(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1\)이면 다음이 성립한다. \[f\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i) .\]
증명
수학적 귀납법으로 증명하자. 우선 \(n = 2\)일 때는 볼록함수의 정의에 의해 자명하다.
다음으로 \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하고, \(n = k+1\)일 때를 보이자.
\(\lambda_1,\, \ldots,\, \lambda_{k+1} \geq 0\)이고 \(\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i = 1\)이라고 하자. \(\lambda_{k+1} = 1\)인 경우는 자명하므로, \(\lambda_{k+1} < 1\)이라고 가정하자. \(\mu_i = \frac{\lambda_i}{1 - \lambda_{k+1}}\) (\(i = 1,\, \ldots,\, k\))라고 정의하면, \(\sum_{i=1}^{k} \mu_i = 1\)이다. 귀납적 가정에 의해 다음이 성립한다. \[f\left(\sum_{i=1}^{k} \mu_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^{k} \mu_i f(x_i).\] 이제 \(y = \sum_{i=1}^{k} \mu_i x_i\)라고 놓으면 다음과 같은 등식을 얻는다. \[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i x_i &= \sum_{i=1}^{k} \lambda_i x_i + \lambda_{k+1} x_{k+1} \\[6pt] &= (1 - \lambda_{k+1}) \sum_{i=1}^{k} \mu_i x_i + \lambda_{k+1} x_{k+1} \\[6pt] &= (1 - \lambda_{k+1}) y + \lambda_{k+1} x_{k+1}. \end{aligned}\] 볼록함수의 정의에 의해 다음을 얻는다. \[\begin{aligned} f\left(\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i x_i\right) &= f((1 - \lambda_{k+1}) y + \lambda_{k+1} x_{k+1}) \\[6pt] &\leq (1 - \lambda_{k+1}) f(y) + \lambda_{k+1} f(x_{k+1}) \\[6pt] &\leq (1 - \lambda_{k+1}) \sum_{i=1}^{k} \mu_i f(x_i) + \lambda_{k+1} f(x_{k+1}) \\[6pt] &= \sum_{i=1}^{k} \lambda_i f(x_i) + \lambda_{k+1} f(x_{k+1}) = \sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i f(x_i). \end{aligned}\] 그러므로 수학적 귀납법에 의하여 바라는 결론을 얻는다.
함수 \(f\)가 \(c\)를 내점으로 갖는 구간 \(I\)에서 정의되어 있다고 하자. 만약 \(f''(c) = 0\)이고 \(x\)가 \(c\)를 통과할 때 \(f''(x)\)의 부호가 바뀌면, \((c,\,f(c))\)를 \(f\)의 그래프의 변곡점(inflection point)이라고 부른다.
독특한 정리들
함수가 구간에서 일대일대응이고 미분 가능할 때 그 역함수의 미분 가능성을 생각할 수 있다.
정리 5.12. (역함수 정리 (1차원))
함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 연속이고, 순증가하거나 순감소하면, 역함수 \(f^{-1}\)이 존재한다. 또한 \(c\in I\)이고 \(f'(c) \neq 0\)이면 \[(f^{-1})'(f(c)) = \frac{1}{f'(c)}\] 이 성립한다.
증명
일반성을 잃지 않고 \(f\)가 순증가한다고 가정하자.
\(f\)가 구간 \(I\)에서 연속이고 순증가하므로, \(f: I \to f(I)\)는 일대일대응이다. 사잇값 정리에 의해 \(f(I)\)는 구간이고, 따라서 역함수 \(f^{-1}: f(I) \to I\)가 존재한다.
\(c\in K\subseteq I\)인 컴팩트 근방 \(K\)를 택하면 \(f(K)\)는 \(f(c)\)의 컴팩트 근방이며, \(f\)는 \(K\)에서 \(f(K)\)로의 일대일대응이다. 그러므로 \(f^{-1}\)는 \(f(K)\)에서 연속이다.
이제 역함수의 미분 가능성을 증명하자. \(f'(c) \neq 0\)이라고 하자. \(d = f(c)\)라고 놓고, \(k \to 0\)일 때 \[\frac{f^{-1}(d + k) - f^{-1}(d)}{k}\] 의 극한을 구하자. \(h = f^{-1}(d + k) - f^{-1}(d)\)라고 놓으면, \(f^{-1}\)의 연속성에 의해 \(k \to 0\)일 때 \(h \to 0\)이다. 또한 \[f(c + h) = f(f^{-1}(d + k)) = d + k = f(c) + k\] 이다. 따라서 \(k = f(c + h) - f(c)\)이고, \[\frac{f^{-1}(d + k) - f^{-1}(d)}{k} = \frac{h}{f(c + h) - f(c)} = \frac{1}{\frac{f(c + h) - f(c)}{h}}\] 이다. \(h \to 0\)일 때 위 식의 마지막 식이 \(\frac{1}{f'(c)}\)로 수렴하므로 \[(f^{-1})'(f(c)) = \frac{1}{f'(c)}\] 을 얻는다.
문제 5.16. \(r\)이 \(0\)아닌 유리수이고 \(x>0\)에 대하여 \(f(x)=x^r\)이라고 할 때 \(f'(x)=rx^{r-1}\)임을 보이시오.
문제 5.17. 미분의 정의를 사용하여 다음과 같이 정의된 함수 \(f\)의 도함수를 구하시오.
- \(f(x)=e^x\)
- \(f(x)=\ln x\) (단, \(x>0\).)
- \(f(x)=a^x\) (단, \(a>0\), \(a\ne 1\).)
- \(f(x)=\log_a x\) (단, \(a>0\), \(a\ne 1\), \(x>0\).)
문제 5.18. \(a > 0\), \(a\ne 1\)이고 \(x\)가 실수일 때, \(a^x = e^{x\ln a}\)가 성립함을 보이시오.
문제 5.19. \(\alpha\)가 무리수이고 \(x>0\)에 대하여 \(f(x)=x^\alpha\)이라고 할 때 \(f'(x) = \alpha x^{\alpha -1}\)임을 보이시오.
문제 5.20. 역함수 정리(정리 5.12)를 사용하여 다음 함수의 도함수를 구하시오.
- \(f(x)=\sin^{-1} x\) (단, \(-1 < x < 1\), \(-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}\).)
- \(f(x)=\cos^{-1} x\) (단, \(-1 < x < 1\), \(0 < y < \pi\).)
- \(f(x)=\tan^{-1} x\) (단, \(x\in\mathbb{R}\), \(-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}\).)
문제 5.21. 함수 \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(3^n x)}{2^n}\)가 연속이지만 어떤 점에서도 미분 가능하지 않음을 보이시오. (이 함수를 바이어슈트라스 함수라고 부른다.)
함수 \(f\)가 미분 가능하더라도 \(f'\)은 연속이 아닐 수 있다. 그럼에도 불구하고 도함수는 다음과 같이 사잇값 성질을 가진다.
정리 5.13. (다르부의 정리)
\(f\)가 \([a,\, b]\)에서 미분 가능하고 \(f'(a) \neq f'(b)\)이면, \(f'(a)\)와 \(f'(b)\) 사이의 모든 값이 \(f'\)의 치역에 포함된다.
증명
일반성을 잃지 않고 \(f'(a) < k < f'(b)\)라고 하자.
\(g(x) = f(x) - kx\)라고 하자. \(g'(x) = f'(x) - k\)이므로 \[g'(a) = f'(a) - k < 0, \quad g'(b) = f'(b) - k > 0\] 이다. \(g'(a) < 0\)이므로, 충분히 작은 \(h > 0\)에 대해 \[\frac{g(a + h) - g(a)}{h} < 0\] 이다. 따라서 \(g(a + h) < g(a)\)이다. 마찬가지로 \(g'(b) > 0\)이므로 충분히 작은 \(h > 0\)에 대해 \(g(b - h) < g(b)\)이다. \(g\)가 컴팩트 집합 \([a,\, b]\)에서 연속이므로 이 집합에서 최솟값을 가진다. \(g\)는 \(a\)나 \(b\)에서 최솟값을 갖지 않으므로, 어떤 \(c \in (a,\, b)\)에 대하여 \(g(c)\)가 최솟값이 된다. 페르마의 정리(정리 5.2)에 의해 \(g'(c) = 0\)이다. 따라서 \(f'(c) = k\)이다.
함수의 극한이 부정형일 때, 도함수를 사용하여 극한을 구하는 유용한 공식이 있다.
정리 5.14. (로피탈의 정리)
함수 \(f\)가 \(a\)를 원소로 갖는 구간에서 정의되어 있고, \[\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0\tag{5.2}\] 이라고 하자. 만약 극한 \[\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\] 가 존재하면, \(x\rightarrow a\)일 때 \(f(x)/g(x)\)의 극한도 존재하고, 그 극한값은 다음과 같다. \[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\tag{5.3}\] 극한 (5.2)와 (5.3)에서 공통적으로 \(x\rightarrow a\)를 좌극한이나 우극한으로 바꾸거나, 또는 \(x\rightarrow \pm\infty\)로 바꾸어도 정리가 성립한다.
증명 개요 여기서는 \(0/0\) 꼴의 경우에 대한 증명만 살펴보자.
우선 \(f(a) = g(a) = 0\)으로 정의한다. \(a\)에서의 극한값은 함숫값에 영향을 받지 않으므로, 이와 같이 함숫값을 재정의하여도 된다. 다음으로 \(x\ne a\)일 때, 코시의 평균값 정리를 적용하면 \[\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}\] 인 \(c_x\)가 존재한다. \(x \to a\)일 때 \(c_x \to a\)이므로 바라는 결론을 얻는다.
문제 5.22. 다음 극한을 구하시오.
- \(\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2}{e^x}\)
- \(\lim_{x\rightarrow 0+} x\ln x\)
- \(\lim_{x\rightarrow 0+} (1+3x)^{\frac{1}{x}}\)
- \(\lim_{x\rightarrow 1} (\ln x)^{1-x}\)
문제 5.23. 함수 \(f\)가 \(\mathbb{R}\)에서 미분 가능하고 \(A\)가 실수이며 \(\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)+f'(x))=A\)이면 \(\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)=A\)임을 증명하시오.