앞 장들에서는 수열의 수렴과 함수의 극한, 미분, 적분을 살펴보았다. 이 장에서는 수열의 부분합을 다시 하나의 수열로 보아 무한급수를 정의하고, 수열의 수렴 이론과 여러 수렴 판정법을 전개한다. 특별한 언급이 없으면 이 장의 수열은 실수열로 가정한다.
무한급수의 수렴과 발산
수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \[ S_N=\sum_{n=1}^N a_n \] 을 \(N\)번째 부분합(partial sum)이라고 부른다. 기호 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n \] 을 \(\{a_n\}\)의 무한급수(infinite series)라고 부른다. 부분합 수열 \(\{S_N\}\)이 수렴하면 이 무한급수가 수렴한다(converge)고 말하고, 그 극한을 급수의 합이라고 부른다. 즉 \(S_N\to S\)이면 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S \] 으로 쓴다. 부분합 수열이 수렴하지 않으면 급수가 발산한다고 말한다. 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)을 간단히 \(\sum a_n\)으로 나타내기도 한다.
항번호가 반드시 \(1\)부터 시작할 필요는 없다. 예를 들어 \[ \sum_{n=2}^{\infty}a_n,\quad \sum_{k=0}^{\infty}b_k,\quad \sum_{j=4}^{\infty}c_j \] 도 모두 같은 방식으로 정의한다. 유한개의 항을 더하거나 빼는 것은 급수의 수렴 여부에 영향을 주지 않는다.
가장 기본적인 예는 기하급수이다.
정리 7.1. (기하급수)
실수 \(r\)에 대하여 기하급수 \(\sum_{n=0}^{\infty}r^n\)은 \(|r|<1\)일 때 그리고 그때에만 수렴한다. 이 경우 \[ \sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac1{1-r}. \]
증명 \(r\ne1\)일 때 \(N\)번째 부분합은 \[ 1+r+\cdots+r^N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r} \] 이다. \(|r|<1\)이면 \(r^{N+1}\to0\)이므로 부분합은 \(1/(1-r)\)로 수렴한다. 반대로 \(|r|\ge1\)이면 일반항 \(r^n\)이 \(0\)으로 수렴하지 않으므로 급수는 수렴할 수 없다.
급수가 수렴하면 일반항은 반드시 \(0\)으로 수렴한다. 실제로 \(S_n=\sum_{k=1}^n a_k\)라고 하면 \[ a_n=S_n-S_{n-1}\longrightarrow S-S=0. \] 그러나 역은 일반적으로 참이 아니다. 예를 들어 \(1/n\to0\)이지만 조화급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}1/n\)은 뒤의 \(p\)-급수 판정에서 발산함을 확인한다.
실수열의 코시 판정법을 부분합 수열에 적용하면 다음을 얻는다.
정리 7.2. (무한급수의 코시 판정법)
무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)이 수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 어떤 자연수 \(N\)이 존재하여 \(m>n\ge N\)이면 \[ \left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right|<\varepsilon \] 인 것이다.
증명 부분합을 \(S_n=\sum_{k=1}^n a_k\)라고 하면 \[ S_m-S_n=\sum_{k=n+1}^m a_k. \] 따라서 위 조건은 부분합 수열 \(\{S_n\}\)이 코시 수열이라는 조건과 정확히 같다. 실수열이 코시 수열이기 위한 필요충분조건은 그 수열이 수렴하는 것이므로, 바라는 결론을 얻는다.
무한급수 \(\sum|a_n|\)이 수렴할 때 “\(\sum a_n\)이 절대수렴한다(converges absolutely)”라고 말한다. 또한 \(\sum a_n\)이 수렴하지만 절대수렴하지 않을 때 “\(\sum a_n\)이 조건수렴한다(converges conditionally)”라고 말한다.
정리 7.3. (절대수렴과 수렴)
절대수렴하는 무한급수는 수렴한다.
증명 \(\sum|a_n|\)이 수렴한다고 하자. 코시 판정법에 의하여 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대해 충분히 큰 \(m>n\)이면 \[ \sum_{k=n+1}^m|a_k|<\varepsilon. \] 따라서 \[ \left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| \le\sum_{k=n+1}^m|a_k| <\varepsilon. \] 정리 7.2에 의해 \(\sum a_n\)은 수렴한다.
역은 성립하지 않는다. 예를 들어 교대조화급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n\)은 뒤의 교대급수 판정법으로 수렴하지만 절대수렴하지 않음을 확인할 수 있다.
문제 7.1. 무한급수 \(\sum a_n\)이 절대수렴하고 그 합이 \(S\)라고 하자. \(R_N=S-\sum_{n=1}^N a_n\)이라고 할 때 \[ |R_N|\le\sum_{n=N+1}^{\infty}|a_n| \] 임을 보이고, 이를 이용하여 \(R_N\to0\)임을 다시 확인하시오.
무한급수의 수렴 판정법
무한급수가 수렴하는지 여부를 판별하는 공식을 판정법(test)이라고 부른다.
비교 판정법
무한급수 \(\sum a_n\)의 모든 항이 \(0\) 이상일 때, 즉 \(a_n\ge0\)일 때 \(\sum a_n\)을 양항급수라고 부른다. 양항급수의 부분합 수열은 단조증가한다. 따라서 단조수렴 정리에 의해 양항급수가 수렴하기 위한 필요충분조건은 부분합 수열이 위로 유계인 것이다.
정리 7.4. (양항급수의 비교 판정법)
충분히 큰 모든 \(n\)에 대하여 \(0\le a_n\le b_n\)이라고 하자. 만약 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)도 수렴한다.
증명 유한개의 처음 항은 수렴 여부에 영향을 주지 않으므로 모든 \(n\)에 대하여 \(0\le a_n\le b_n\)이라고 가정해도 된다. 부분합을 각각 \(A_n\), \(B_n\)이라고 하면 \(0\le A_n\le B_n\)이다. \(\{B_n\}\)이 수렴하므로 위로 유계이고, 따라서 단조증가수열 \(\{A_n\}\)도 위로 유계이다. 단조수렴 정리에 의해 \(\{A_n\}\)이 수렴한다.
이 정리의 대우를 사용하면, 충분히 큰 \(n\)에서 \(0\le b_n\le a_n\)이고 \(\sum b_n\)이 발산할 때 \(\sum a_n\)도 발산함을 알 수 있다.
정리 7.5. (양항급수의 극한비교 판정법)
임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n\ge0\), \(b_n>0\)이고 \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L \] 이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(0<L<\infty\)이면 두 무한급수는 함께 수렴하거나 함께 발산한다.
- \(L=0\)이고 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)도 수렴한다.
- \(L=\infty\)이고 \(\sum b_n\)이 발산하면 \(\sum a_n\)도 발산한다.
증명 먼저 \(0<L<\infty\)라고 하자. 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \[ \frac L2<\frac{a_n}{b_n}<\frac{3L}{2} \] 이므로 \[ \frac L2 b_n<a_n<\frac{3L}{2}b_n. \] 비교 판정법을 양방향으로 적용하면 두 급수의 수렴성이 같다.
\(L=0\)이면 충분히 큰 \(n\)에서 \(a_n/b_n<1\), 즉 \(a_n<b_n\)이므로 \(\sum b_n\)의 수렴으로부터 \(\sum a_n\)의 수렴을 얻는다. 마지막으로 \(L=\infty\)이면 충분히 큰 \(n\)에서 \(a_n>b_n\)이다. 이때 \(\sum a_n\)이 수렴한다고 가정하면 비교 판정법에 의해 \(\sum b_n\)도 수렴하여 가정에 모순이다.
두 수열을 직접 비교하는 대신 함수의 적분과 비교할 수도 있다.
정리 7.6. (적분 판정법)
함수 \(f\)가 \([1,\infty)\)에서 감소하고 \(f(x)\ge0\)이며 \(a_n=f(n)\)이라고 하자. 이때 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)과 이상적분 \(\int_1^\infty f(x)\,dx\)는 함께 수렴하거나 함께 발산한다.
증명 \(f\)가 감소하므로 자연수 \(n\ge1\)에 대하여 \[ f(n+1)\le\int_n^{n+1}f(x)\,dx\le f(n) \] 이다. 따라서 모든 자연수 \(N\)에 대하여 \[ \int_1^{N+1}f(x)\,dx \le\sum_{n=1}^N f(n) \le f(1)+\int_1^N f(x)\,dx. \] 이상적분이 수렴하면 오른쪽 부등식에 의해 양항급수의 부분합이 위로 유계이므로 급수가 수렴한다. 반대로 급수가 수렴하면 왼쪽 부등식에 의해 \(\int_1^{N+1}f\)가 위로 유계이다. 이 적분값들은 \(N\)에 대해 단조증가하므로 극한이 존재하고, 따라서 이상적분이 수렴한다.
정리 7.7. (\(p\)-급수 판정법)
실수 \(p\)에 대하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} \] 는 \(p>1\)일 때 그리고 그때에만 수렴한다.
증명 \(p>0\)일 때 \(f(x)=x^{-p}\)는 \([1,\infty)\)에서 감소하고 음이 아니다. 적분 판정법과 \[ \int_1^\infty x^{-p}\,dx \] 의 수렴 여부를 비교하면 \(p>1\)일 때 정확히 수렴한다. \(p\le0\)이면 일반항 \(1/n^p\)가 \(0\)으로 수렴하지 않으므로 급수는 발산한다.
문제 7.2. \(\{a_n\}\)이 감소하는 수열이고 \(a_n\ge0\)이라고 하자. 이때 두 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n,\quad \sum_{k=0}^{\infty}2^k a_{2^k} \] 는 함께 수렴하거나 함께 발산함을 보이시오. 이 판정법을 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)이라고 부른다.
문제 7.3. 다음 무한급수를 판정하시오.
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac n{3^n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^3-n+1}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+n}{n^3-2n+2}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n\ln n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n(\ln n)^2}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\)
비 판정법과 제곱근 판정법
무한급수를 판정할 때 다른 무한급수와 비교하는 것이 아니라 자신의 인접한 항과 비교하는 방법이 있다.
정리 7.8. (비 판정법)
수열 \(\{a_n\}\)이 충분히 큰 \(n\)에서 \(a_n\ne0\)이고 \[ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L\in[0,\infty] \] 이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(L<1\)이면 \(\sum a_n\)이 절대수렴한다.
- \(L>1\) 또는 \(L=\infty\)이면 \(\sum a_n\)이 발산한다.
- \(L=1\)이면 이 판정법만으로는 \(\sum a_n\)의 수렴 여부를 결정할 수 없다.
증명 \(L<1\)이라고 하자. \(L<r<1\)인 \(r\)을 택하면 충분히 큰 \(n\)에서 \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<r. \] 따라서 어떤 \(N\)과 상수 \(C>0\)에 대하여 \(|a_{N+k}|\le Cr^k\)이다. 정리 7.1과 비교 판정법에 의해 \(\sum|a_n|\)이 수렴한다.
\(L>1\)이면 \(1<r<L\)인 \(r\)을 택할 수 있고, \(L=\infty\)인 경우에도 임의의 \(r>1\)을 택할 수 있다. 충분히 큰 \(n\)에서 \[ |a_{n+1}|>r|a_n| \] 이므로 \(a_n\)은 \(0\)으로 수렴하지 않는다. 따라서 급수는 발산한다.
마지막으로 \(\sum1/n\)과 \(\sum1/n^2\)에서는 모두 위 비의 극한이 \(1\)이지만, 첫 급수는 발산하고 둘째 급수는 수렴한다. 따라서 \(L=1\)인 경우에는 결론을 내릴 수 없다.
3장에서는 유계수열에 대해 상극한을 정의했다. 제곱근 판정법에서는 비음수 수열 \(c_n\)에 대하여 같은 꼬리 상한의 정의를 사용하되, 값 \(+\infty\)도 허용한다. 즉 \[ \varlimsup_{n\to\infty}c_n =\inf_{N\ge1}\sup_{n\ge N}c_n\in[0,\infty]. \]
정리 7.9. (제곱근 판정법)
수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \[ L=\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\in[0,\infty] \] 라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(L<1\)이면 \(\sum a_n\)이 절대수렴한다.
- \(L>1\) 또는 \(L=\infty\)이면 \(\sum a_n\)이 발산한다.
- \(L=1\)이면 이 판정법만으로는 \(\sum a_n\)의 수렴 여부를 결정할 수 없다.
증명 \(L<1\)이라고 하자. \(L<r<1\)인 \(r\)을 택하면 상극한의 정의에 의해 충분히 큰 \(n\)에서 \[ \sqrt[n]{|a_n|}<r, \] 즉 \(|a_n|<r^n\)이다. 따라서 기하급수와 비교하면 \(\sum|a_n|\)이 수렴한다.
\(L>1\)이면 \(1<r<L\)인 \(r\)을 택할 수 있고, \(L=\infty\)이면 임의의 \(r>1\)을 택할 수 있다. 상극한의 정의에 의해 \[ \sqrt[n]{|a_n|}>r \] 인 \(n\)이 무한히 많다. 따라서 그런 \(n\)에 대해 \(|a_n|>r^n>1\)이므로 \(a_n\not\to0\)이고 급수는 발산한다.
\(\sum1/n\)과 \(\sum1/n^2\)에서는 모두 \(n\)제곱근의 극한이 \(1\)이므로 \(L=1\)이지만 수렴성은 서로 다르다.
교대급수 판정법
수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 모든 항이 \(0\) 이상인 수열 \(\{u_n\}\)이 존재하여 \(a_n=(-1)^n u_n\) 또는 \(a_n=(-1)^{n+1}u_n\)꼴로 나타낼 수 있을 때, \(\{a_n\}\)을 교대수열(alternating sequence)이라고 부르고 무한급수 \(\sum a_n\)을 교대급수(alternating series)라고 부른다.
정리 7.10. (교대급수 판정법)
수열 \(\{u_n\}\)이 \(u_n\ge u_{n+1}\ge0\)을 만족한다고 하자. 이때 무한급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n \] 이 수렴하기 위한 필요충분조건은 \(u_n\to0\)인 것이다.
증명 급수가 수렴하면 일반항 \((-1)^n u_n\)이 \(0\)으로 수렴하므로 \(u_n\to0\)이다.
역으로 \(u_n\to0\)이라고 하자. 부분합을 \[ s_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k u_k \] 라고 하자. \(u_n\)의 단조성에 의해 \(\{s_{2n-1}\}\)은 단조증가하고 \(\{s_{2n}\}\)은 단조감소하며 \[ s_{2n-1}\le s_{2n} \] 이다. 따라서 홀수 번째 부분합 수열은 위로 유계이고 짝수 번째 부분합 수열은 아래로 유계이므로 둘 다 수렴한다. 또한 \[ s_{2n}-s_{2n-1}=u_{2n}\longrightarrow0 \] 이므로 두 부분수열의 극한은 같다. 따라서 전체 부분합 수열 \(\{s_n\}\)이 수렴한다.
문제 7.4. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 \(x\)의 값을 구하시오.
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n x^n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac n{n+1}x^n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}x^n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n5^n}x^n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)(n+2)}x^{2n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(\ln(n+1))^2}x^{n+1}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{1+n^3}x^n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}(x-4)^n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{5^n}(3x-2)^n\)
문제 7.5. 수열 \(\{u_n\}\)이 \(u_n\ge u_{n+1}\ge0\)이고 \(u_n\to0\)이라고 하자. 또한 교대급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n\)의 합을 \(S\)라고 하자. 이때 다음을 증명하시오. \[ \left|\sum_{k=1}^n(-1)^k u_k-S\right|\le u_{n+1}. \]
그 밖의 판정법
다양한 무한급수를 판정하는 고급 판정법을 살펴보자.
정리 7.11. (라비 판정법)
수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_n>0\)을 만족하고 \[ \lim_{n\to\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=L\in[-\infty,\infty] \] 이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(L>1\)이면 무한급수 \(\sum a_n\)이 수렴한다.
- \(L<1\)이면 무한급수 \(\sum a_n\)이 발산한다.
- \(L=1\)이면 이 판정법만으로는 \(\sum a_n\)의 수렴 여부를 결정할 수 없다.
증명 먼저 \(L>1\)이라고 하자. \(1<s<r<L\)인 실수 \(s,r\)을 택한다. 충분히 큰 \(n\)에서 \[ \frac{a_{n+1}}{a_n}<1-\frac rn. \] \(b_n=n^{-s}\)라고 하자. 문제 5.19의 실수 지수 베르누이 부등식을 \(x=-1/(n+1)\)에 적용하면 \[ \frac{b_{n+1}}{b_n} =\left(1-\frac1{n+1}\right)^s \ge1-\frac{s}{n+1}. \] 또한 \(r>s\)이므로 충분히 큰 \(n\)에서 \[ 1-\frac rn<1-\frac{s}{n+1}\le\frac{b_{n+1}}{b_n}. \] 따라서 \(a_n/b_n\)은 결국 감소하므로 어떤 \(C>0\)에 대하여 \(a_n\le Cn^{-s}\)이다. \(s>1\)이고 정리 7.7에 의해 \(\sum a_n\)은 수렴한다.
이제 \(L<1\)이라고 하자. \(L<r<s<1\)이면서 \(0<r<s\)인 \(r,s\)을 택할 수 있다. 충분히 큰 \(n\)에서 \[ \frac{a_{n+1}}{a_n}>1-\frac rn. \] 다시 \(b_n=n^{-s}\)라고 하면 \(0<s<1\)이므로 실수 지수 베르누이 부등식에 의해 \[ \frac{b_{n+1}}{b_n} =\left(1-\frac1{n+1}\right)^s \le1-\frac{s}{n+1}. \] \(s>r\)이므로 충분히 큰 \(n\)에서 \[ 1-\frac rn>1-\frac{s}{n+1}\ge\frac{b_{n+1}}{b_n}. \] 따라서 \(a_n/b_n\)은 결국 증가하고 어떤 \(C>0\)에 대하여 \(a_n\ge Cn^{-s}\)이다. \(s<1\)이므로 \(\sum n^{-s}\)가 발산하며, 비교 판정법에 의해 \(\sum a_n\)도 발산한다.
마지막으로 \(a_n=1/n\)과 \(a_n=1/[n(\ln n)^2]\) (\(n\ge2\))에서는 모두 라비 판정법의 극한이 \(1\)이다. 앞 급수는 발산하고 뒤 급수는 적분 판정법으로 수렴하므로 \(L=1\)인 경우에는 결론을 내릴 수 없다.
다음 정리는 두 수열의 곱의 무한급수를 판정하는 유용한 방법이다.
정리 7.12. (디리클레 판정법)
\(\{a_n\}\)이 단조이고 \(a_n\to0\)이며, \(\sum b_n\)의 부분합이 유계이면 \(\sum a_n b_n\)이 수렴한다.
증명 \(\{a_n\}\)이 단조감소하는 경우를 먼저 보자. 이때 \(a_n\to0\)이므로 \(a_n\ge0\)이다. \(B_n=\sum_{k=1}^n b_k\), \(B_0=0\)이라고 하고 \(|B_n|\le M\)인 \(M>0\)을 택한다. 그러면 \[ \begin{aligned} \sum_{k=n}^m a_kb_k &=\sum_{k=n}^m a_k(B_k-B_{k-1})\\ &=a_mB_m-a_nB_{n-1} +\sum_{k=n}^{m-1}(a_k-a_{k+1})B_k. \end{aligned} \] 위 등식을 아벨의 부분합 공식이라고 부른다. 따라서 \[ \begin{aligned} \left|\sum_{k=n}^m a_kb_k\right| &\le M\left(a_m+a_n+\sum_{k=n}^{m-1}(a_k-a_{k+1})\right)\\ &=M(a_m+a_n+a_n-a_m)=2Ma_n. \end{aligned} \] \(a_n\to0\)이므로 정리 7.2에 의해 \(\sum a_nb_n\)은 수렴한다.
\(\{a_n\}\)이 단조증가하여 \(0\)으로 수렴하는 경우에는 \(\{-a_n\}\)이 단조감소하여 \(0\)으로 수렴하므로 앞의 결과를 \(-a_n\)에 적용하면 된다.
두 수열의 곱의 무한급수를 판정하는 또 다른 방법이 있다.
정리 7.13. (아벨 판정법)
\(\{a_n\}\)이 단조이고 유계이며 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n b_n\)이 수렴한다.
증명 \(\{a_n\}\)이 단조유계이므로 어떤 실수 \(a\)에 대하여 \(a_n\to a\)이다. 따라서 \[ \sum a_nb_n=a\sum b_n+\sum(a_n-a)b_n. \] 첫 번째 급수는 수렴한다. 또한 \(\{a_n-a\}\)은 단조이고 \(0\)으로 수렴하며, \(\sum b_n\)이 수렴하므로 그 부분합은 유계이다. 디리클레 판정법에 의해 두 번째 급수도 수렴한다.
무한급수의 재배열
무한급수의 항들의 순서를 바꾸는 것을 재배열(rearrangement)이라고 부른다. 더 정확히 말하면 자연수 전체의 집합 \(\mathbb N\)에서 자신으로의 일대일대응 \[ \sigma\colon\mathbb N\to\mathbb N \] 에 대하여 \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)} \] 을 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)의 재배열 급수라고 부른다.
유한합에서는 항의 순서를 바꾸어도 합이 변하지 않지만, 무한급수에서는 재배열이 수렴성과 합에 영향을 줄 수 있다. 절대수렴하는 급수에서는 이러한 문제가 생기지 않는다.
정리 7.14. (절대수렴 급수의 재배열)
무한급수 \(\sum a_n\)이 절대수렴하면 임의의 재배열 급수 \(\sum a_{\sigma(n)}\)도 절대수렴하고, 본래의 급수와 같은 합을 가진다.
증명 \(\sum|a_n|\)의 합을 \(A\)라고 하자. 임의의 \(N\)에 대하여 \[ \sum_{n=1}^N|a_{\sigma(n)}|\le A \] 이므로 재배열된 절댓값 급수의 부분합은 단조증가하고 위로 유계이다. 따라서 \(\sum|a_{\sigma(n)}|\)은 수렴한다.
이제 \(S=\sum a_n\)이라고 하자. 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 \[ \sum_{n=N+1}^{\infty}|a_n|<\frac{\varepsilon}{2} \] 이 되도록 \(N\)을 택한다. 그리고 \[ M=\max\{\sigma^{-1}(1),\ldots,\sigma^{-1}(N)\} \] 이라고 하자. \(m\ge M\)이면 원래 급수의 처음 \(N\)개 항이 재배열 급수의 처음 \(m\)개 항 안에 모두 들어 있으므로 \[ \left|\sum_{n=1}^m a_{\sigma(n)}-\sum_{n=1}^N a_n\right| \le\sum_{n=N+1}^{\infty}|a_n|<\frac{\varepsilon}{2}. \] 또한 \[ \left|S-\sum_{n=1}^N a_n\right|<\frac{\varepsilon}{2}. \] 따라서 충분히 큰 \(m\)에서 \[ \left|\sum_{n=1}^m a_{\sigma(n)}-S\right|<\varepsilon, \] 즉 재배열 급수의 합도 \(S\)이다.
조건수렴하는 급수의 경우 상황이 다르다. 다음은 급수의 재배열에 관한 놀라운 결과이다.
정리 7.15. (리만 재배열 정리)
실수급수 \(\sum a_n\)이 조건수렴하면, 임의의 실수 \(L\)에 대하여 \(\sum a_{\sigma(n)}=L\)이 되도록 하는 재배열 \(\sigma\)가 존재한다. 또한 급수가 \(+\infty\) 또는 \(-\infty\)로 발산하도록 하는 재배열도 존재한다.
증명 \[ p_n=\max\{a_n,0\},\quad q_n=\max\{-a_n,0\} \] 이라고 두자. 그러면 \(a_n=p_n-q_n\), \(|a_n|=p_n+q_n\)이다. 부분합을 각각 \(P_N=\sum_{n=1}^N p_n\), \(Q_N=\sum_{n=1}^N q_n\)이라고 하면 \[ P_N-Q_N\longrightarrow\sum a_n, \] 한편 \(P_N+Q_N\)은 위로 유계가 아니다. 만약 \(P_N\)과 \(Q_N\) 가운데 하나가 위로 유계라면 그것은 단조증가수열이므로 수렴하고, \(P_N-Q_N\)의 수렴성 때문에 다른 하나도 수렴한다. 그러면 \(P_N+Q_N\)도 수렴하여 절대수렴하게 되므로 모순이다. 따라서 \[ \sum p_n=\sum q_n=\infty. \]
양의 항들을 원래 순서대로 \(u_1,u_2,\ldots\), 음의 항들의 절댓값을 원래 순서대로 \(v_1,v_2,\ldots\)라고 하자. 조건수렴급수의 일반항은 \(0\)으로 수렴하므로 \(u_j\to0\), \(v_j\to0\)이다.
실수 \(L\)이 주어졌다고 하자. 현재 부분합이 \(L\) 이하이면 아직 사용하지 않은 양의 항을 차례로 더하여 처음으로 \(L\)을 초과할 때까지 진행하고, 현재 부분합이 \(L\) 이상이면 아직 사용하지 않은 음의 항을 차례로 더하여 처음으로 \(L\)보다 작아질 때까지 진행한다. 이 두 단계를 반복한다. \(\sum u_j=\sum v_j=\infty\)이므로 각 단계는 유한 번의 덧셈 뒤에 끝나고 과정을 무한히 계속할 수 있다.
양의 항을 더해 \(L\)을 처음 초과한 순간의 초과량은 마지막에 더한 양의 항보다 작고, 음의 항을 더해 \(L\) 아래로 처음 내려간 순간의 부족량은 마지막에 더한 \(v_j\)보다 작다. 이 항들은 \(0\)으로 수렴하므로 각 전환점의 부분합은 \(L\)로 수렴한다. 각 블록 안의 부분합은 두 전환점 사이에서 단조롭게 움직이므로 전체 부분합도 \(L\)로 수렴한다. 양의 항과 음의 항의 첨자는 매 단계 앞으로 진행하므로 \(0\)이 아닌 모든 항이 사용된다. \(0\)인 항이 있으면 이 과정 사이에 차례로 삽입하면 된다. 따라서 이는 실제 재배열이다.
\(+\infty\)로 발산하는 재배열도 비슷하게 만든다. \(k\)번째 단계에서 아직 사용하지 않은 양의 항을 적어도 하나 사용하고 부분합이 \(k\)를 넘을 때까지 더한 뒤, 아직 사용하지 않은 음의 항 하나를 더한다. \(v_k\to0\)이므로 충분히 큰 \(k\)에서는 이 음의 항을 더한 뒤에도 부분합이 \(k-1\)보다 크다. 따라서 전체 부분합은 \(+\infty\)로 간다. 매 단계 음의 항을 하나씩 사용하므로 모든 음의 항도 결국 사용된다. \(-\infty\)의 경우에는 양의 항과 음의 항의 역할을 바꾸면 된다.
문제 7.6. 교대조화급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}n \] 을 재배열하여 그 합이 \(0\)이 되도록 하는 재배열을 구성하시오.
문제 7.7. 무한급수 \(\sum a_n\)이 절대수렴할 때, \(\{a_n\}\)의 임의의 재배열수열 \(\{b_n\}\)에 대하여 \(\sum a_nb_n\)이 수렴함을 보이시오.
문제 7.8. 무한급수 \(\sum a_n\)이 조건수렴한다고 하자. 적당한 재배열 \(\sum a_{\sigma(n)}\)을 구성하여 그 부분합 수열이 \(+\infty\)로 가는 부분수열과 \(-\infty\)로 가는 부분수열을 모두 가지도록 하시오.
문제 7.9. 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1=1\), \(a_{n+1}=\sin a_n\)을 만족시킬 때 무한급수 \(\sum a_n\)이 수렴하는지 판별하시오.
문제 7.10. 자연상수 \(e\)를 무한급수로 나타내려고 한다. 다음 물음에 답하시오.
- 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \[ \left(1+\frac1n\right)^n\le\sum_{k=0}^n\frac1{k!} \] 임을 보이시오.
- \(m<n\)일 때 \[ \left(1+\frac1n\right)^n \ge 1+1+\sum_{k=2}^m\frac1{k!} \left(1-\frac1n\right) \left(1-\frac2n\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \] 임을 보이시오.
- \[ e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!} \] 임을 보이시오.
문제 7.11. 자연상수 \(e\)가 무리수임을 보이려고 한다. \(e=p/q\)이고 \(p\)와 \(q\)가 서로소인 자연수라고 가정하자. 그리고 \[ b_q=\sum_{k=0}^q\frac1{k!} \] 이라고 하자. 다음 물음에 답하시오.
- 부등식 \[ 0<e-b_q <\frac1{(q+1)!}\left(1+\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)^2}+\cdots\right) =\frac1{q!q} \] 이 성립함을 보이시오.
- \(0<q!(e-b_q)<1/q\le1\)임을 보이시오.
- \(q!e\)와 \(q!b_q\)가 모두 정수임을 이용하여 모순을 유도하고, \(e\)가 무리수임을 보이시오.
문제 7.12. 수열 \(\{a_n\}\)의 모든 항이 양수이고 \(a_n\to0\)이라고 하자. 다음 물음에 답하시오.
- 무한급수 \(\sum\sin a_n\)이 수렴하기 위한 필요충분조건은 무한급수 \(\sum a_n\)이 수렴하는 것임을 보이시오.
- \(\{a_n\}\)의 모든 항이 양수라는 조건을 제외해도 (1)이 성립하는지 판별하시오.