이 장에서는 무한급수의 뜻과 여러 가지 판정법을 살펴본다.
무한급수의 수렴과 발산
수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 부분합 \[S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n\] 에 \(N\rightarrow\infty\)인 극한을 취했을 때, 그 극한을 \(\left\{a_n\right\}\)의 무한급수(infinite series)라고 부르고 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)으로 나타낸다. 즉 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\rightarrow\infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \] 이다. 이 극한이 존재하면 "무한급수가 수렴한다(converge)"라고 말하고, 그 극한값을 급수의 합이라고 부른다. 무한급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)을 간단히 \(\sum a_n\)으로 나타내기도 한다.
무한급수를 정의할 때 수열의 항번호가 반드시 \(1\)부터 시작하는 것은 아니다. 예를 들어, 다음은 모두 무한급수이다. \[\sum_{n=2}^{\infty} a_n ,\quad \sum_{k=0}^{\infty} b_k ,\quad \sum_{j=4}^{\infty} c_j .\]
\(\left\{a_n \right\}\)의 무한급수가 수렴하고 그 합이 \(S\)이면 \[\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \left\{ \left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right) - \left( \sum_{k=1}^{n-1} a_k\right)\right\} = \sum_{k=1}^\infty a_k - \sum_{k=1}^\infty a_k = S-S = 0\] 이므로 \(a_n \to 0\)이다. 그러나 일반적으로 역은 참이 아니다. 예를 들면, \(\frac{1}{n}\rightarrow 0\)이지만 조화급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)은 발산한다.
실수열이 수렴하기 위한 필요충분조건이 코시 수열인 것처럼 무한급수에서도 코시 조건을 사용할 수 있다. 즉 무한급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)이 수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(m > n > N\)일 때 \(\left\lvert\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right\rvert < \varepsilon\)인 것이다. 이와 같은 조건을 무한급수에 대한 코시 판정법이라고 부른다.
무한급수 \(\sum |a_n|\)이 수렴할 때 "무한급수 \(\sum a_n\)이 절대수렴한다(converges absolutely)"라고 말한다. 또한 무한급수가 수렴하지만 절대수렴하지 않을 때, "무한급수가 조건수렴한다(converges conditionally)"라고 말한다.
절대수렴하는 급수는 수렴한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 교대조화급수 \(\sum (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\)은 수렴하지만 절대수렴하지는 않는다.
문제 7.1. 무한급수 \(\sum \left\lvert a_n \right\rvert\)이 수렴하면 무한급수 \(\sum a_n\)도 수렴함을 증명하시오.
무한급수의 수렴 판정법
무한급수가 수렴하는지 여부를 판별하는 공식을 판정법(test)이라고 부른다.
비교 판정법
무한급수 \(\sum a_n\)의 모든 항이 \(0\) 이상일 때, 즉 \(a_n \ge 0\)일 때 \(\sum a_n\)을 양항급수라고 부른다. 양항급수의 부분합 수열 \(\sum_{k=1}^n a_k\)는 단조증가하는 수열이 된다. 그러므로 단조수렴 정리에 의하여 양항급수가 수렴하기 위한 필요충분조건은 부분합 수열이 유계인 것이다.
이러한 성질을 사용하여 두 양항급수를 비교하는 판정법을 유도할 수 있다.
정리 7.1. (양항급수의 비교 판정법)
임의의 \(n\)에 대하여 \(0\le a_n \le b_n\)이라고 하자. 만약 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)도 수렴한다.
증명
\(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)의 부분합을 각각 \(A_n\), \(B_n\)이라고 하자. 그러면 \(\left\{ A_n \right\}\)은 단조증가하는 수열이고 \(a_n\le b_n\)이므로 \(A_n \le B_n\)이다. \(\left\{ B_n \right\}\)이 수렴하므로 \(\left\{ B_n \right\}\)은 유계이다. 그러므로 \(\left\{ A_n \right\}\)도 유계이다.
비슷한 방법으로, 두 양항급수의 항의 비의 극한을 사용하는 방법이 있다.
정리 7.2. (양항급수의 극한비교 판정법)
임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \ge 0\), \(b_n > 0\)이고, \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L\)이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(0 < L < \infty\)이면 두 무한급수가 함께 수렴하거나 함께 발산한다.
- \(L = 0\)이고 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)도 수렴한다.
- \(L = \infty\)이고 \(\sum b_n\)이 발산하면 \(\sum a_n\)도 발산한다.
증명
\(0 < L < \infty\)인 경우를 증명하자. \(\varepsilon = L/2\)라고 하자. 그러면 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n>N\)일 때 \[\frac{1}{2}L = L-\varepsilon < \frac{a_n}{b_n} < L+\varepsilon = \frac{3}{2}L\] 이 성립한다. 이 부등식을 변형하면 \[Lb_n <2a_n < 3Lb_n\] 이므로 비교 판정법(정리 7.1)에 의하여 바라는 결론을 얻는다.
두 수열을 비교하는 것이 아니라 수열과 함수를 비교하는 방법이 있다.
정리 7.3. (적분 판정법)
함수 \(f\)가 \([1,\, \infty)\)에서 감소하고, 이 구간에서 \(f(x) \ge 0\)이며 \(a_n = f(n)\)이라고 하자. 이때 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)과 이상적분 \(\int_1^{\infty} f(x) dx\)는 함께 수렴하거나 함께 발산한다.
증명
\(b_n = \int_{n}^{n+1} f(x)dx\)라고 하자. 그러면 \(0\le b_{n+1} \le a_{n+1} \le b_n\)이므로 비교 판정법(정리 7.1)에 의하여 바라는 결론을 얻는다.
적분 판정법을 사용하면 \(\sum \frac{1}{n^p}\)을 판정할 수 있다. 이 무한급수는 \(p>1\)일 때 수렴하고 \(p\le 1\)일 때 발산한다. 이와 같은 무한급수 \(\sum \frac{1}{n^p}\)을 \(p\)-급수라고 부르고, 이 판정법을 \(p\)-급수 판정법이라고 부른다.
문제 7.2. \(\left\{ a_n \right\}\)이 감소하는 수열이고 \(a_n \ge 0\)이라고 하자. 이때 두 무한급수 \(\sum a_n\)과 \(\sum 2^n a_{2^n}\)은 함께 수렴하거나 함께 발산함을 보이시오. 이 판정법을 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)이라고 부른다.
문제 7.3. 다음 무한급수를 판정하시오.
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^3 -n+1}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 +n}{n^3 -2n+2}\)
- \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}\)
- \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^2}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}\)
비 판정법과 제곱근 판정법
무한급수를 판정할 때 다른 무한급수와 비교하는 것이 아니라 자신의 인접한 항과 비교하는 방법이 있다.
정리 7.4. (비 판정법)
수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \ne 0\)이라고 하자. 그리고 \(\lim_{n \to \infty} \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert = L\)이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(L < 1\)이면 \(\sum a_n\)이 절대수렴한다.
- \(L > 1\) 또는 \(L = \infty\)이면 \(\sum a_n\)이 발산한다.
- \(L = 1\)이면 이 판정법으로 \(\sum a_n\)을 판정할 수 없다.
증명
\(L<1\)인 경우를 살펴보자. \(\varepsilon = (1-L)/2\), \(r=L+\varepsilon\)이라고 하면, 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n\ge N\)일 때 \[\left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert < L+\varepsilon =r < 1\] 즉 \(\lvert a_{n+1} \rvert < r\lvert a_n \rvert\)이 성립한다. 그러므로 자연수 \(k\)에 대하여 \[\lvert a_{N+k}\rvert < r^k \lvert a_N \rvert\] 이 성립한다. 이때 \(\sum_k r^k \lvert a_N \rvert\) 이 수렴하므로 비교 판정법(정리 7.1)에 의하여 \(\sum_k \lvert a_{N+k}\rvert\)도 수렴한다.
다음으로 \(L>1\) 또는 \(L=\infty\)인 경우, 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n>N\)일 때 \(\lvert a_{n+1} \rvert \ge \lvert a_n \rvert\)이다. 그러므로 \(\left\{a_n \right\}\)이 \(0\)으로 수렴하지 않는다.
이와 비슷하게, 제곱근을 사용하는 방법이 있다.
정리 7.5. (제곱근 판정법)
수열 \(\left\{ a_n \right\}\)에 대하여 \(\displaystyle\varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left\lvert a_n \right\rvert} = L\)이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(L < 1\)이면 \(\sum a_n\)이 절대수렴한다.
- \(L > 1\) 또는 \(L = \infty\)이면 \(\sum a_n\)이 발산한다.
- \(L = 1\)이면 이 판정법으로 \(\sum a_n\)을 판정할 수 없다.
증명
\(L<1\)인 경우를 살펴보자. \(\varepsilon = (1-L)/2\), \(r=L+\varepsilon\)이라고 하면, 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n\ge N\)일 때 \[\sqrt[n]{\left\lvert a_n \right\rvert} < L+\varepsilon = r < 1\] 즉 \(\left\lvert a_n \right\rvert < r^n\)이다. 여기서 \(\sum_n r^n\)이 수렴하므로 비교 판정법(정리 7.1)에 의하여 \(\sum_n \lvert a_n \rvert\)도 수렴한다.
다음으로 \(L>1\) 또는 \(L=\infty\)인 경우, \(\sqrt[n]{\lvert a_n \rvert} > 1\)인 항 \(a_n\)이 무한히 많으므로 \(\left\{ a_n \right\}\)은 \(0\)으로 수렴하지 않는다.
교대급수 판정법
수열 \(\left\{ a_n \right\}\)에 대하여 모든 항이 \(0\) 이상인 수열 \(\left\{ u_n \right\}\)이 존재하여 \(a_n = (-1)^n u_n \) 또는 \(a_n = (-1)^{n+1} u_n\)꼴로 나타낼 수 있을 때, \(\left\{ a_n \right\}\)을 교대수열(alternating sequence)이라고 부르고 무한급수 \(\sum a_n\)을 교대급수(alternating series)라고 부른다.
정리 7.6. (교대급수 판정법)
수열 \(\left\{u_n \right\}\)이 감소하는 양항수열이라고 하자. 즉 임의의 \(n\)에 대하여 \(u_n \ge u_{n+1} \ge 0\)이라고 하자. 이때 무한급수 \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n u_n \)이 수렴하기 위한 필요충분조건은 \(u_n \rightarrow 0\)인 것이다.
증명
\(\sum (-1)^n u_n\)이 수렴하는 경우 \(u_n \rightarrow 0\)임은 이미 증명하였다. 그러므로 역을 증명하자.
\(u_n \rightarrow 0\)이라고 하자. 그리고 \(s_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^k u_k\)라고 하자. 그러면 \(\left\{ s_{2n-1}\right\}\)은 단조증가하고 \(\left\{ s_{2n}\right\}\)은 단조감소한다. 그런데 \(s_{2n-1} \le s_{2n}\)이므로, 단조수렴 정리에 의하여 \(\left\{ s_{2n-1}\right\}\)과 \(\left\{ s_{2n}\right\}\)이 모두 수렴한다. \(u_n \rightarrow 0\)이므로 \(\left\{ s_{2n-1}\right\}\)과 \(\left\{ s_{2n}\right\}\)의 극한이 동일하다.
문제 7.4. 다음 무한급수가 수렴하도록 하는 \(x\)의 값을 구하시오.
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}x^n\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}x^n\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}x^n\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n5^n}x^n\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}x^{2n}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln(n+1))^2}x^{n+1}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^3}x^n\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}(x-4)^n\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n}(3x-2)^n\)
문제 7.5. 수열 \(\left\{u_n \right\}\)이 감소하고 \(0\)에 수렴하는 수열이라고 하자. 또한 교대급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n\)의 합을 \(S\)라고 하자. 이때 다음을 증명하시오. \[\left\lvert \,\sum_{k=1}^n (-1)^k u_k - S \,\right\rvert \le \left\lvert u_{n+1} \right\rvert. \]
그 밖의 판정법
다양한 무한급수를 판정하는 고급 판정법을 살펴보자.
정리 7.7. (라비 판정법)
수열 \(\left\{ a_n \right\}\)에 대하여, \(a_n > 0\)이라고 하자. 그리고 \[\lim_{n \to \infty} n\left(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = L\] 이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(L > 1\)이면 무한급수 \(\sum a_n\)이 수렴한다.
- \(L < 1\)이면 무한급수 \(\sum a_n\)이 발산한다.
- \(L = 1\)이면 이 판정법으로 \(\sum a_n\)을 판정할 수 없다.
증명
\(L > 1\)인 경우를 살펴보자. \(L > r > 1\)인 \(r\)을 선택하자. 그러면 충분히 큰 \(n\)에 대해 \[n\left(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}\right) > r\] 이므로 \(\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 - \frac{r}{n}\)이다. \(n = N,\, N+1,\, \ldots,\, m-1\)일 때, 이 부등식을 변마다 곱하면 \[\frac{a_m}{a_N} < \prod_{n=N}^{m-1} \left(1 - \frac{r}{n}\right)\] 을 얻는다. 우변의 곱을 정리하면 \[\prod_{n=N}^{m-1} \left(1 - \frac{r}{n}\right) = \prod_{n=N}^{m-1} \frac{n-r}{n} = \frac{\Gamma(N)\Gamma(m-r)}{\Gamma(m)\Gamma(N-r)}\] 이다. 여기서 감마함수의 성질(스탈링 근사)을 사용하면 이 값이 대략 \(Cm^{-r}\) 형태임을 알 수 있다.
따라서 충분히 큰 \(n\)에 대해 \(|a_n| \leq \frac{C}{n^r}\)이고, \(r > 1\)이므로 비교 판정법에 의해 \(\sum a_n\)이 수렴한다.
다음으로 \(L < 1\)인 경우를 살펴보자. \(L < r < 1\)인 \(r\)을 선택하자. 그러면 충분히 큰 \(n\)에 대해 \[n\left(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}\right) < r\] 이므로 \(\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 - \frac{r}{n}\)이다. 앞에서와 유사한 방법으로 \(|a_n| \geq \frac{C}{n^r}\)를 얻는다. \(r < 1\)이므로 \(\sum \frac{1}{n^r}\)이 발산하고, 따라서 \(\sum a_n\)도 발산한다.
\(L = 1\)일 때는 \(\sum \frac{1}{n}\)과 \(\sum \frac{1}{n^2}\) 모두 이 조건을 만족시키지만 하나는 발산하고 하나는 수렴하므로, 이 방법으로 판정이 불가능하다.
다음 정리는 두 수열의 곱의 무한급수를 판정하는 유용한 방법이다.
정리 7.8. (디리클레 판정법)
\(\{a_n\}\)이 단조이고 \(a_n \to 0\)이며, \(\sum b_n\)의 부분합이 유계이면 \(\sum a_n b_n\)이 수렴한다.
증명
\(\left\{ a_n \right\}\)이 단조감소하는 경우만 살펴봐도 충분하다.
\(\sum b_n\)의 부분합을 \(B_n = \sum_{k=1}^n b_k\)라고 하자. \(\sum b_n\)의 부분합이 유계이므로 \(M > 0\)이 존재하여 모든 \(n\)에서 \(|B_n| \leq M\)이다. \(B_0 = 0\)으로 정의하면 \[\sum_{k=n}^m a_k b_k = \sum_{k=n}^m a_k (B_k - B_{k-1}) = a_m B_m - a_{n-1} B_{n-1} + \sum_{k=n}^{m-1} B_k(a_k - a_{k+1})\] 을 얻는다. (이 등식을 아벨의 부분합 공식이라고 부른다.)
\(\{a_n\}\)이 단조감소하므로 다음을 얻는다. \[\left|\sum_{k=n}^m a_k b_k\right| \leq |a_m||B_m| + |a_{n-1}||B_{n-1}| + \sum_{k=n}^{m-1} |B_k|(a_k - a_{k+1}).\] \(|B_k| \leq M\)이고 \(a_k - a_{k+1} \geq 0\)이므로 \[\left|\sum_{k=n}^m a_k b_k\right| \leq M\left(|a_m| + |a_{n-1}| + \sum_{k=n}^{m-1} (a_k - a_{k+1})\right)\] 이다. 여기서 \[\sum_{k=n}^{m-1} (a_k - a_{k+1}) = a_n - a_m\] 이므로 다음 부등식을 얻는다. \[\left|\sum_{k=n}^m a_k b_k\right| \leq M(|a_m| + |a_{n-1}| + |a_n| + |a_m|) \leq 2M(|a_{n-1}| + |a_m|).\] \(a_n \to 0\)이므로, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 충분히 큰 \(N\)을 선택하면 \(m > n > N\)일 때 \[\left|\sum_{k=n}^m a_k b_k\right| < \varepsilon\] 이다. 그러므로 코시 판정법에 의해 \(\sum a_n b_n\)이 수렴한다.
두 수열의 곱의 무한급수를 판정하는 또 다른 유용한 방법이 있다.
정리 7.9. (아벨 판정법)
\(\{a_n\}\)이 단조이고 유계이며 \(\sum b_n\) 수렴하면 \(\sum a_n b_n\)이 수렴한다.
증명
\(\sum b_n\)이 수렴하면 부분합 \(B_n\)이 유계이고, \(\{a_n\}\)이 단조유계이면 수렴하므로 \(a_n \to a\)인 \(a\)가 존재한다. 그러면 \(\sum a_n b_n = a\sum b_n + \sum (a_n - a)b_n\)으로 쓸 수 있고, 우변의 두 번째 무한급수는 디리클레 판정법의 조건을 만족시킨다.
무한급수의 재배열
무한급수의 항들의 순서를 바꾸는 것을 재배열(rearrangement)이라고 부른다. 더 정확히 말하면, 자연수 전체의 집합 \(\mathbb{N}\)에서 자신으로의 일대일대응 \(\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\)에 대하여 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)}\] 을 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 재배열 급수라고 부른다.
유한합에서는 항의 순서를 바꾸어도 합이 변하지 않지만, 무한급수에서는 일반적으로 재배열이 무한급수의 수렴성과 합에 영향을 줄 수 있다. 그러나 절대수렴하는 급수는 재배열하더라도 수렴성과 합이 변하지 않는다.
정리 7.10. (절대수렴 급수의 재배열)
무한급수 \(\sum a_n\)이 절대수렴하면, 임의의 재배열 급수 \(\sum a_{\sigma(n)}\)도 절대수렴하고, 본래의 무한급수와 같은 합을 가진다.
증명
\(\sum a_n\)이 절대수렴한다고 하자. 즉 \(\sum |a_n|\)이 수렴한다고 하자.
먼저 \(\sum |a_{\sigma(n)}|\)이 수렴함을 보이자. \(\sum_{n=1}^N |a_{\sigma(n)}|\)의 부분합을 생각하면, \(\sigma\)가 일대일대응이므로 이 부분합은 원래 급수의 어떤 유한개 항들의 절댓값의 합보다 작거나 같다. 따라서 부분합이 유계이고, 양항급수이므로 수렴한다.
다음으로 재배열 급수의 합이 이전 급수와 일치함을 보이자. \(S = \sum a_n\), \(S' = \sum a_{\sigma(n)}\)이라고 하자. 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여, 절대수렴성에 의해 충분히 큰 \(N\)을 선택하면 \[\sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| < \varepsilon\] 이 성립한다. \(M = \max\{\sigma^{-1}(1),\, \sigma^{-1}(2),\, \ldots,\, \sigma^{-1}(N)\}\)이라고 하자. 그러면 \(m > M\)일 때, \(\{a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_N\}\)의 모든 항이 \(\{a_{\sigma(1)},\, a_{\sigma(2)},\, \ldots,\, a_{\sigma(m)}\}\)에 포함된다. \[\left|\sum_{n=1}^m a_{\sigma(n)} - \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| < \varepsilon\] 이므로, \(m \to \infty\)일 때 \(S' = S\)를 얻는다.
조건수렴하는 급수의 경우 상황이 다르다. 다음은 급수의 재배열에 관한 놀라운 결과이다.
정리 7.11. (리만 재배열 정리)
무한급수 \(\sum a_n\)이 조건수렴하면, 임의의 실수 \(L\)에 대하여 \(\sum a_{\sigma(n)} = L\)이 되도록 하는 재배열 \(\sigma\)가 존재한다. 또한 이 무한급수가 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하도록 재배열할 수도 있다.
증명
양수인 항과 음수인 항을 분리하여 생각하자.
\(p_n = \max\{a_n,\, 0\}\), \(q_n = \max\{-a_n,\, 0\}\)이라고 정의하자. 그러면 \(a_n = p_n - q_n\)이고 \(|a_n| = p_n + q_n\)이다. \(\sum a_n\)이 수렴하고 \(\sum |a_n|\)이 발산하므로, \(\sum p_n\)과 \(\sum q_n\) 모두 발산한다. 왜냐하면, 만약 둘 다 수렴하면 \(\sum |a_n| = \sum(p_n + q_n)\)도 수렴하게 되어 모순이기 때문이다.
임의의 실수 \(L\)이 주어졌을 때, 다음과 같이 재배열을 구성한다.
- 양의 항들을 처음부터 더해가며 합이 처음으로 \(L\)을 초과할 때까지 더한다.
- 그 다음 음의 항들을 더해가며 합이 처음으로 \(L\)보다 작아질 때까지 더한다.
- 다시 양의 항들을 더해가며 합이 \(L\)을 초과할 때까지 더한다.
- 이 과정을 반복한다.
\(\sum p_n = \infty\), \(\sum q_n = \infty\)이므로 위 과정을 무한히 계속할 수 있다.
\(a_n \to 0\)이므로 \(p_n \to 0\), \(q_n \to 0\)이다. 따라서 각 단계에서 \(L\)과의 차이가 \(0\)으로 수렴하게 되고, 결국 재배열된 급수의 부분합이 \(L\)로 수렴한다.
문제 7.6. 교대조화급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\)을 재배열하여 그 합이 \(0\)이 되도록 하는 재배열을 구성하시오.
문제 7.7. 무한급수 \(\sum a_n\)이 절대수렴할 때, \(\{a_n\}\)의 임의의 재배열수열 \(\{b_n\}\)에 대하여 \(\sum a_n b_n\)이 수렴함을 보이시오.
문제 7.8. 무한급수 \(\sum a_n\)이 조건수렴하면, 양의 항들의 합과 음의 항들의 합이 모두 발산함을 증명하시오.
문제 7.9. 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 \(a_1 = 1\), \(a_{n+1}=\sin a_n\)을 만족시킬 때 무한급수 \(\sum a_n\)이 수렴하는지 판별하시오.
문제 7.10. 자연상수 \(e\)를 무한급수로 나타내려고 한다. 다음 물음에 답하시오.
- 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \le \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\)임을 보이시오.
- \(m < n\)일 때 \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ge 1+1+\sum_{k=2}^{m} \frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\)임을 보이시오.
- \(e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\)임을 보이시오.
문제 7.11. 자연상수 \(e\)가 무리수임을 보이려고 한다. \(e=\frac{p}{q}\)이고 \(p\)와 \(q\)가 서로소인 자연수라고 가정하자. 그리고 \(b_q=\sum_{k=0}^q \frac{1}{k!}\)이라고 하자. 다음 물음에 답하시오.
- \(q\)가 충분히 큰 자연수일 때 \(e-b_q < \frac{1}{(q+1)!}\left( 1+\frac{1}{q+1} + \frac{1}{(q+1)^2}+\frac{1}{(q+1)^3}\right) = \frac{1}{q!q}\)임을 보이시오.
- \(q\)가 충분히 큰 자연수일 때 \(q! (e-b_q ) < \frac{1}{q} \le 1\)임을 보이시오.
- 위 (1), (2)의 결과를 사용하여 모순을 유도하고, \(e\)가 무리수임을 보이시오.
문제 7.12. 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 양수이고 \(a_n \rightarrow 0\)이라고 하자. 다음 물음에 답하시오.
- 무한급수 \(\sum \sin a_n\)이 수렴할 필요충분조건은 무한급수 \(\sum a_n\)이 수렴하는 것임을 보이시오.
- \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 양수라는 조건을 제외해도 (1)이 성립하는지 판별하시오.