이 장에서는 리만 적분의 엄밀한 정의와 그 성질을 살펴본다. 적분 가능성의 조건, 미적분의 기본정리, 그리고 이상적분까지 살펴본다.
리만 적분의 정의
이 절에서는 \(a<b\)인 실수 \(a\), \(b\)를 고정한다. 구간 \([a,\,b]\)의 유한부분집합 \(P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\)이 \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\] 를 만족시킬 때, \(P\)를 \([a,b]\)의 분할(partition)이라고 부른다. 또한 각 구간 \[[x_0,x_1],\,[x_1,x_2],\,\ldots,\,[x_{n-1},x_n]\] 을 \(P\)에 의하여 만들어진 소구간 또는 성분구간이라고 부른다. 소구간의 길이 중에서 가장 큰 값을 \(P\)의 분할의 노름(norm of a partition)이라고 부르며, \(\lVert P\rVert\)로 나타낸다. 즉 \[\lVert P\rVert=\max_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1}).\] 만약 \(P\)와 \(Q\)가 \([a,b]\)의 분할이고 \(P\subseteq Q\)이면, \(Q\)를 \(P\)의 세련분할(refinement)이라고 부른다. 또한 \(P\), \(Q\), \(R\)이 \([a,b]\)의 분할이고 \(P\cup Q\subseteq R\)이면 \(R\)을 \(P\)와 \(Q\)의 공통세련분할이라고 부른다.
구간 \([a,b]\)에서 유계인 함수 \(f\colon[a,b]\to\mathbb R\)과 \([a,b]\)의 분할 \(P\)에 대하여 \[\begin{aligned} m_i&=\inf\{f(x)\mid x_{i-1}\le x\le x_i\},\\[3pt] M_i&=\sup\{f(x)\mid x_{i-1}\le x\le x_i\} \end{aligned}\] 라고 하자. 이때 \(P\)에 대한 \(f\)의 리만 상합(upper Riemann sum)과 리만 하합(lower Riemann sum)을 다음과 같이 정의한다. \[U(f,P)=\sum_{i=1}^nM_i(x_i-x_{i-1}),\quad L(f,P)=\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1}).\] 함수 \(f\)와 구간 \([a,b]\)가 고정되어 있을 때, 상합의 값과 하합의 값은 분할 \(P\)에 따라 달라질 수 있다.
문제 6.1. 함수 \(f\)가 구간 \([a,b]\)에서 유계이고, \(P\)와 \(Q\)가 \([a,b]\)의 분할이라고 하자. 다음을 보이시오.
- \(L(f,P)\le U(f,P)\)
- \(Q\)가 \(P\)의 세련분할일 때 \(L(f,P)\le L(f,Q)\)이고 \(U(f,P)\ge U(f,Q)\)이다.
- \(L(f,P)\le U(f,Q)\)
함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 유계이고 \(P\)가 \([a,b]\)의 분할일 때 \(P\)에 대한 \(f\)의 상합과 하합은 각각 유계이다. 특히 \([a,b]\)의 임의의 분할 \(P\), \(Q\)에 대하여 \(L(f,P)\le U(f,Q)\)이다. 그러므로 상적분(upper integral)과 하적분(lower integral)을 다음과 같이 정의한다. \[\begin{aligned} \overline{\int_a^b}f&=\inf\left\{U(f,P)\mid P\text{는 }[a,b]\text{의 분할}\right\},\\ \underline{\int_a^b}f&=\sup\left\{L(f,P)\mid P\text{는 }[a,b]\text{의 분할}\right\}. \end{aligned}\] 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 리만 적분 가능하다(Riemann integrable)는 것은 \([a,b]\)에서 \(f\)가 유계이고 \(f\)의 상적분과 하적분이 같은 것이다. 이 공통값을 \[\int_a^b f(x)\,dx\] 로 나타낸다. 이 값을 간단히 \(\int_a^b f\)로 나타내기도 한다.
리만 적분의 정의와 상한의 성질에 의하여 다음 정리를 얻는다.
정리 6.1. (적분 가능성에 대한 리만 판정법)
함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하기 위한 필요충분조건은, 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대해 분할 \(P\)가 존재하여 \(U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon\)을 만족시키는 것이다.
증명 \(f\)가 적분 가능하고 적분값을 \(I\)라고 하자. 상적분과 하적분의 정의에 의하여 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대해 분할 \(P\), \(Q\)가 존재하여 \[ U(f,P)<I+\frac{\varepsilon}{2},\quad L(f,Q)>I-\frac{\varepsilon}{2} \] 가 성립한다. \(R=P\cup Q\)는 \(P\)와 \(Q\)의 공통세련분할이므로 \[ U(f,R)-L(f,R) \le U(f,P)-L(f,Q)<\varepsilon \] 이다.
반대로 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대해 \(U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon\)인 분할 \(P\)가 존재한다고 하자. 하적분과 상적분을 각각 \(\underline I\), \(\overline I\)라고 쓰면 모든 분할 \(P\)에 대하여 \[ L(f,P)\le\underline I\le\overline I\le U(f,P) \] 이므로 \[ 0\le\overline I-\underline I\le U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon. \] \(\varepsilon\)이 임의적이므로 \(\overline I=\underline I\)이고, 따라서 \(f\)는 리만 적분 가능하다.
문제 6.2. 적분의 정의를 사용하여 구간 \([0,1]\)에서 함수 \(f(x)=x^2\)의 적분을 계산하시오.
문제 6.3. 함수 \(D\colon[0,1]\to\mathbb R\)를 \[ D(x)= \begin{cases} 1 & \text{if }\;x\in\mathbb Q,\\[5pt] 0 & \text{if }\;x\notin\mathbb Q \end{cases} \] 라고 정의하자. 이 함수를 디리클레 함수(Dirichlet function)라고 부른다. \(D\)가 \([0,1]\)에서 리만 적분 가능하지 않음을 증명하시오.
문제 6.4. 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 리만 적분 가능하고 함수 \(g\)가 \([a,b]\)의 유한 개의 점을 제외하면 \(f\)와 같다고 하자. \(g\)도 리만 적분 가능하고 \[ \int_a^b g(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx \] 임을 보이시오.
상합과 하합 대신 리만합을 사용하여 리만 적분을 정의할 수도 있다. 각 소구간 \([x_{i-1},x_i]\)에서 점 \(t_i\)를 선택하자. 이 점을 태그(tag)라고 부른다. 태그를 사용하여 만든 합 \[ S(f,P,\{t_i\})=\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) \] 을 \(P\)와 \(\{t_i\}\)에 대한 \(f\)의 리만 합(Riemann sum)이라고 부른다. \(\lVert P\rVert\to0\)일 때 \(f\)의 리만 합이 값 \(I\)에 수렴한다는 것은, 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재하여, \(\lVert P\rVert<\delta\)인 임의의 분할 \(P\)와 \(P\)의 각 소구간에서 택한 점으로 이루어진 임의의 유한수열 \(\{t_i\}\)에 대하여 \(|S(f,P,\{t_i\})-I|<\varepsilon\)이 성립하는 것을 뜻한다. 이것을 다음과 같이 나타낸다. \[ \lim_{\lVert P\rVert\to0}S(f,P,\{t_i\})=I.\tag{6.1} \]
리만은 적분을 리만합의 극한으로 정의했다. 상합과 하합을 사용하여 정의한 적분은 본래 다르부(Darboux)의 적분이다. 유계인 함수에 대해서는 두 정의가 서로 동치이다.
정리 6.2. (리만합과 다르부 적분의 동치)
\([a,b]\)에서 유계인 함수 \(f\)와 실수 \(I\)에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.
- \(f\)는 \([a,b]\)에서 리만 적분 가능하고 \(\int_a^b f=I\)이다.
- \(\lVert P\rVert\to0\)일 때 모든 태그 선택에 대하여 \(S(f,P,\{t_i\})\to I\)이다.
증명 어떤 \(M>0\)에 대하여 \(|f|\le M\)이라고 하자. 먼저 \(f\)가 적분 가능하고 적분값이 \(I\)라고 하자. \(\varepsilon>0\)을 고정하고 \[ U(f,P_0)-L(f,P_0)<\frac{\varepsilon}{2} \] 인 분할 \(P_0=\{x_0,\ldots,x_m\}\)을 택한다. 임의의 분할 \(P\)에 \(P_0\)의 내부 분할점들을 하나씩 추가하여 공통세련분할 \(P'=P\cup P_0\)을 만들자. 한 분할점을 추가할 때 상합이나 하합의 변화량의 절댓값은 \(2M\lVert P\rVert\) 이하이므로 \[ U(f,P)\le U(f,P')+2Mm\lVert P\rVert, \quad L(f,P)\ge L(f,P')-2Mm\lVert P\rVert. \] 또한 \(P'\)는 \(P_0\)의 세련분할이므로 \[ U(f,P')\le U(f,P_0),\quad L(f,P')\ge L(f,P_0). \] 따라서 \(P\)의 임의의 태그에 대하여 \[ L(f,P_0)-2Mm\lVert P\rVert \le S(f,P,\{t_i\}) \le U(f,P_0)+2Mm\lVert P\rVert. \] \(I\)도 \(L(f,P_0)\)와 \(U(f,P_0)\) 사이에 있으므로 \(\lVert P\rVert<\varepsilon/(4Mm)\)이 되도록 하면 \[ |S(f,P,\{t_i\})-I|<\varepsilon. \] 즉 리만합은 태그 선택과 무관하게 \(I\)로 수렴한다.
반대로 모든 리만합이 \(I\)로 수렴한다고 하자. \(\varepsilon>0\)에 대하여 \(\lVert P\rVert<\delta\)이면 모든 태그 리만합이 \(I\)와 \(\varepsilon/4\)보다 작은 거리 안에 있도록 \(\delta>0\)을 택한다. \(\lVert P\rVert<\delta\)인 분할 \(P\)를 하나 고정하자. 각 소구간에서 상한과 하한에 임의로 가깝게 함숫값을 갖는 태그를 고르면 두 리만합의 차를 \(U(f,P)-L(f,P)\)에 임의로 가깝게 만들 수 있다. 한편 임의의 두 태그 리만합 \(S_1\), \(S_2\)에 대하여 \[ |S_1-S_2|\le|S_1-I|+|S_2-I|<\frac{\varepsilon}{2}. \] 따라서 \(U(f,P)-L(f,P)\le\varepsilon/2<\varepsilon\)이다. 정리 6.1에 의하여 \(f\)는 적분 가능하다. 다시 리만합의 수렴값은 적분값과 같으므로 \(\int_a^b f=I\)이다.
문제 6.5. 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하고 함수 \(g\)가 \([c,d]\)에서 연속이며 \(f([a,b])\subseteq[c,d]\)일 때, 합성함수 \(g\circ f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능함을 보이시오.
문제 6.6. 함수 \(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하면 \(f+g\)와 \(fg\)도 \([a,b]\)에서 적분 가능함을 보이시오.
문제 6.7. 분할 \(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)와 실수 \(c_1,\ldots,c_n\)이 주어졌다고 하자. 각 열린구간 \((x_{i-1},x_i)\)에서 \(s(x)=c_i\)이고 분할점에서의 값은 임의로 정한 함수 \(s\)를 생각하자. \(s\)가 리만 적분 가능하고 \[ \int_a^b s(x)\,dx=\sum_{i=1}^n c_i(x_i-x_{i-1}) \] 임을 보이시오.
문제 6.8. 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 리만 적분 가능하다고 하자. 정리 6.2를 사용하여 다음이 성립함을 보이시오. \[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n f\left(a+\frac{b-a}{n}k\right). \]
적분 가능성 조건
적분을 정의한 뒤에는 다음과 같은 두 가지 의문이 생긴다.
- 어떠한 함수가 적분 가능한가?
- 적분 가능한 함수가 있을 때, 그 함수의 적분값을 어떻게 구하는가?
정리 6.3. (연속함수의 적분 가능성)
함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이면, \(f\)는 \([a,b]\)에서 리만 적분 가능하다.
증명 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이면, 이 구간에서 균등연속이다. \(\varepsilon>0\)이 주어졌다고 하자. 균등연속성의 정의에 의하여 \(\delta>0\)이 존재하여, \(|x-y|<\delta\)인 임의의 \(x,y\in[a,b]\)에 대하여 \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon/(b-a)\)가 성립한다. \(\lVert P\rVert<\delta\)인 분할 \(P\)를 택하면 \(M_i-m_i<\varepsilon/(b-a)\)이다. 따라서 \(U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon\)이고, 정리 6.1에 의해 \(f\)는 적분 가능하다.
정리 6.4. (단조함수의 적분 가능성)
함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 단조이면, \(f\)는 \([a,b]\)에서 리만 적분 가능하다.
증명 만약 \(f(a)=f(b)\)이면 \(f\)는 상수함수이므로 적분 가능하다. 이제 \(f(a)\ne f(b)\)라고 하자. 일반성을 잃지 않고 \(f\)가 \([a,b]\)에서 단조증가한다고 가정하자.
\(\varepsilon>0\)이 주어졌다고 하자. \(\lVert P\rVert<\varepsilon/(f(b)-f(a))\)인 분할 \(P\)를 택하면 \[ U(f,P)-L(f,P) \le\lVert P\rVert(f(b)-f(a)) <\varepsilon. \] 따라서 정리 6.1에 의해 \(f\)는 적분 가능하다.
함수 \(f\)가 불연속인 점이 구간 \([a,b]\)에 어떻게 분포해 있는지에 따라 \(f\)의 적분 가능성을 판별할 수 있다. 이와 관련된 정리를 진술하기 위해서는 르베그 측도 \(0\)인 집합의 개념이 필요하다.
집합 \(E\subseteq\mathbb R\)이 르베그 측도 0(Lebesgue measure zero)인 집합이라는 것은, 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 가산 개의 열린구간 \(\{I_n\}\)이 존재하여 \(E\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n\)이고 \(\sum_{n=1}^{\infty}|I_n|<\varepsilon\)인 것이다. 여기서 \(|I_n|\)은 구간 \(I_n\)의 길이를 뜻한다.
- 유한집합의 측도는 \(0\)이다.
- 가산집합의 측도는 \(0\)이다.
- 칸토어의 집합은 비가산집합이지만 측도 \(0\)이다. 실제로 \(n\)번째 단계에 남는 \(2^n\)개의 구간의 길이의 합은 \((2/3)^n\)이고, 이 구간들을 조금 넓힌 열린구간들로도 총길이를 임의로 작게 만들 수 있다.
- 길이가 양수인 구간 \([a,b]\)는 비가산집합이고, 측도 \(0\)인 집합이 아니다.
문제 6.9. 가산집합이 르베그 측도 \(0\)인 집합임을 보이시오.
문제 6.10. 가산 개의 집합 \(A_1,A_2,A_3,\ldots\)가 모두 르베그 측도 \(0\)이면, 합집합 \[ A_1\cup A_2\cup A_3\cup\cdots \] 도 르베그 측도 \(0\)인 집합임을 보이시오.
문제 6.11. 길이가 양수인 구간이 르베그 측도 \(0\)인 집합이 아님을 보이시오.
정리 6.5. (적분 가능성에 대한 르베그 정리)
구간 \([a,b]\)에서 유계인 함수 \(f\)가 이 구간에서 리만 적분 가능하기 위한 필요충분조건은 \([a,b]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 집합이 르베그 측도 \(0\)인 집합인 것이다.
증명 점 \(x\in[a,b]\)에서 \(f\)의 함수의 진동(oscillation)을 \[ \omega_f(x) = \inf_{\delta>0} \sup\left\{|f(y)-f(z)|\;\middle|\;y,z\in[a,b],\ |y-x|<\delta,\ |z-x|<\delta\right\} \] 로 정의한다. \(f\)가 \(x\)에서 연속이기 위한 필요충분조건은 \(\omega_f(x)=0\)이다. 또한 \(\alpha>0\)에 대하여 \[ D_\alpha=\{x\in[a,b]\mid\omega_f(x)\ge\alpha\} \] 라고 놓으면 \(D_\alpha\)는 닫힌집합이다. 실제로 \(\omega_f(x)<\alpha\)이면 어떤 \(r>0\)가 존재하여 \((x-2r,x+2r)\cap[a,b]\)에서의 진동이 \(\alpha\)보다 작고, 따라서 \(|y-x|<r\)인 모든 \(y\)에 대하여 \(\omega_f(y)<\alpha\)이다.
먼저 \(f\)가 적분 가능하다고 하자. 불연속점의 집합은 \[ D=\bigcup_{n=1}^{\infty}D_{1/n} \] 이다. \(n\in\mathbb N\)과 \(\varepsilon>0\)을 고정하자. 리만 판정법에 의하여 \[ U(f,P)-L(f,P)<\frac{\varepsilon}{2n} \] 인 분할 \(P\)를 택할 수 있다. \(P\)의 분할점이 아닌 \(x\in D_{1/n}\)이 어떤 소구간의 내부에 속하면 그 소구간에서의 \(f\)의 진동은 적어도 \(1/n\)이다. 따라서 이러한 소구간들의 길이의 합은 \[ n\bigl(U(f,P)-L(f,P)\bigr)<\frac{\varepsilon}{2} \] 보다 작다. 이 유한 개의 소구간을 조금씩 넓힌 열린구간들과, \(P\)의 유한 개의 분할점을 덮는 길이의 합이 \(\varepsilon/2\)보다 작은 열린구간들을 함께 택하면 \(D_{1/n}\)을 길이의 합이 \(\varepsilon\)보다 작은 열린구간들로 덮을 수 있다. 따라서 각 \(D_{1/n}\)은 측도 \(0\)이다. 문제 6.10의 결과에 의하여 \(D\)도 측도 \(0\)이다.
반대로 불연속점의 집합 \(D\)가 측도 \(0\)이라고 하자. \(|f|\le M\)이라고 하자. \(M=0\)이면 자명하므로 \(M>0\)이라고 가정한다. \(\varepsilon>0\)을 고정하고 \[ \eta=\frac{\varepsilon}{2(b-a)} \] 라고 놓자. \(D_\eta\)는 닫힌집합이므로 \([a,b]\)의 컴팩트 부분집합이다. 또한 \(D_\eta\subseteq D\)이므로 측도 \(0\)이다. 따라서 \(D_\eta\)를 덮는 열린구간들 중 유한 개 \(I_1,\ldots,I_r\)를 택하여 \[ D_\eta\subseteq G:=\bigcup_{j=1}^r I_j, \quad \sum_{j=1}^r|I_j|<\frac{\varepsilon}{4M} \] 이 되게 할 수 있다.
\(K=[a,b]\setminus G\)라고 하자. \(K=\varnothing\)이면 \([a,b]\subseteq G\)이므로 \(b-a\le\sum_{j=1}^r|I_j|\)이고, 임의의 분할 \(P\)에 대하여 \[ U(f,P)-L(f,P)\le2M(b-a)<\frac{\varepsilon}{2} \] 이므로 바로 결론을 얻는다. 따라서 \(K\ne\varnothing\)이라고 하자. 각 \(x\in K\)에 대하여 \(\omega_f(x)<\eta\)이므로 어떤 \(r_x>0\)가 존재하여 \((x-2r_x,x+2r_x)\cap[a,b]\)에서의 진동이 \(\eta\)보다 작다. \(K\)의 컴팩트성에 의해 \(K\)는 유한 개의 구간 \((x_j-r_{x_j},x_j+r_{x_j})\)로 덮인다. 이 유한 개의 \(r_{x_j}\)의 최솟값을 \(\delta>0\)이라고 하자.
이제 \(I_1,\ldots,I_r\)의 끝점들을 분할점으로 포함하고 노름이 \(\delta\)보다 작은 분할 \(P\)를 택한다. \(P\)의 각 소구간은 \(G\)에 완전히 포함되거나 \(K\)와 만난다. \(K\)와 만나는 소구간의 진동은 \(\eta\)보다 작고, \(G\)에 포함되는 소구간의 진동은 \(2M\) 이하이다. 그러므로 \[ U(f,P)-L(f,P) <\eta(b-a)+2M\sum_{j=1}^r|I_j| <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \] 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 적분 가능하다.
르베그 정리를 사용하여 적분 가능성을 쉽게 판별할 수 있는 함수의 예는 다음과 같다.
- 유한 개의 점에서만 불연속이고 유계인 함수는 적분 가능하다.
- 가산 개의 점에서만 불연속이고 유계인 함수는 적분 가능하다.
- 앞에서 정의한 디리클레 함수는 모든 점에서 불연속이며, 적분 불가능하다.
문제 6.12. 함수 \(f\)가 \([0,1]\)에서 다음과 같이 정의되어 있다. \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac1q & \text{if }\;x\in[0,1]\cap\mathbb Q,\ x=\dfrac pq,\ p\in\mathbb Z,\ q\in\mathbb N,\ \operatorname{gcd}(p,q)=1,\\[5pt] 0 & \text{if }\;x\in[0,1]\setminus\mathbb Q. \end{cases} \] 이 함수를 토매 함수(Thomae function) 또는 팝콘 함수라고 부른다. 다음을 증명하시오.
- 함수 \(f\)가 \([0,1]\)의 유리수인 점에서는 불연속이고 무리수인 점에서는 연속이다.
- 함수 \(f\)는 \([0,1]\)의 모든 점에서 미분 불가능하다.
- 함수 \(f\)는 \([0,1]\)에서 적분 가능하다.
적분의 성질
적분의 기본 성질을 살펴보자.
정리 6.6. (리만 적분의 기본 성질)
\(a<b\)이고 함수 \(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하다고 하자. 다음이 성립한다.
- 선형성: \(\alpha,\beta\in\mathbb R\)에 대하여 \(\alpha f+\beta g\)는 적분 가능하고 \[ \int_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx =\alpha\int_a^bf(x)\,dx+\beta\int_a^bg(x)\,dx.\tag{6.2} \]
- 단조성: 임의의 \(x\in[a,b]\)에 대하여 \(f(x)\le g(x)\)이면 \[ \int_a^bf(x)\,dx\le\int_a^bg(x)\,dx.\tag{6.3} \]
- 절댓값: \(|f|\)는 적분 가능하고 \[ \left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\le\int_a^b|f(x)|\,dx.\tag{6.4} \]
- 적분 구간의 가법성: \(a<c<b\)이면 \(f\)는 \([a,c]\)와 \([c,b]\)에서 적분 가능하고 \[ \int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx.\tag{6.5} \]
증명 선형성은 정리 6.2를 사용하면 바로 얻어진다. 실제로 같은 태그 분할에 대하여 \[ S(\alpha f+\beta g,P,\{t_i\}) =\alpha S(f,P,\{t_i\})+\beta S(g,P,\{t_i\}) \] 이고, \(\lVert P\rVert\to0\)일 때 우변은 각각의 적분값으로 수렴한다.
이제 \(f\le g\)라고 하자. 선형성에 의해 \(g-f\)는 적분 가능하고 모든 리만합이 음이 아니므로 \(\int_a^b(g-f)\ge0\)이다. 따라서 단조성을 얻는다.
각 소구간에서 \(|f|\)의 진동은 \(f\)의 진동 이하이므로 리만 판정법에 의해 \(|f|\)도 적분 가능하다. \(-|f|\le f\le|f|\)에 단조성을 적용하면 \[ -\int_a^b|f|\le\int_a^bf\le\int_a^b|f| \] 이고, 따라서 절댓값 부등식을 얻는다.
마지막으로 \(a<c<b\)라고 하자. \([a,b]\)에서 \(f\)의 적분 가능성에 대한 리만 판정법을 각 부분구간에 제한하면 \(f\)는 \([a,c]\), \([c,b]\)에서도 적분 가능하다. 두 부분구간의 분할을 합쳐 \(c\)를 포함하는 분할을 만들면 리만합이 두 부분의 리만합의 합으로 나뉜다. 정리 6.2에 의해 노름을 \(0\)으로 보내면 적분 구간의 가법성을 얻는다.
문제 6.13. 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하고 \(m\le f(x)\le M\)이라고 하자.
- \(m(b-a)\le\int_a^bf(x)\,dx\le M(b-a)\)임을 보이시오.
- \(f\)가 연속이고 \(f\ge0\)이며 \(\int_a^bf(x)\,dx=0\)이면 \(f\equiv0\)임을 보이시오.
임의의 실수 \(a\)에 대하여 다음과 같이 정의한다. \[ \int_a^a f(x)\,dx=0. \] 또한 \(a>b\)인 경우 다음과 같이 정의한다. \[ \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx. \] 이와 같이 정의하면, 함수 \(f\)가 닫힌구간 \(I\)에서 적분 가능하고 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(I\)의 점일 때도 (6.5)가 성립한다.
미적분의 기본정리
함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능할 때, 적분함수(integral function)를 \[ F(x)=\int_a^x f(t)\,dt \] 로 정의한다.
정리 6.7. (미적분의 제1기본정리)
\(f\)가 \([a,b]\)에서 적분 가능하면 \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\)는 \([a,b]\)에서 연속이다. 또한 \(f\)가 \(c\in[a,b]\)에서 연속이면 \(F'(c)=f(c)\)이다.
증명 \(f\)가 적분 가능하므로 어떤 \(M>0\)에 대하여 \(|f|\le M\)이다. \(x,x+h\in[a,b]\)일 때 적분의 절댓값 부등식과 단조성에 의해 \[ |F(x+h)-F(x)| =\left|\int_x^{x+h}f(t)\,dt\right| \le M|h|. \] 따라서 \(F\)는 \([a,b]\)에서 립시츠 연속이고, 특히 연속이다.
이제 \(f\)가 \(c\in[a,b]\)에서 연속이라고 하자. 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 어떤 \(\delta>0\)가 존재하여 \(t\in[a,b]\)이고 \(|t-c|<\delta\)이면 \(|f(t)-f(c)|<\varepsilon\)이다. \(0<|h|<\delta\)이고 \(c+h\in[a,b]\)이면 \[ \begin{aligned} \left|\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)\right| &=\left|\frac1h\int_c^{c+h}(f(t)-f(c))\,dt\right|\\ &\le\frac1{|h|}\int_{\min\{c,c+h\}}^{\max\{c,c+h\}}|f(t)-f(c)|\,dt\\ &<\varepsilon. \end{aligned} \] 따라서 \(F'(c)=f(c)\)이다. 끝점에서는 \([a,b]\) 안에서 취하는 한쪽 극한으로 이해한다.
위 정리의 따름정리로서 다음을 얻는다.
정리 6.8. (미적분의 제2기본정리)
함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(F\)가 \(f\)의 원시함수이면 다음이 성립한다. \[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). \]
증명 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(F\)가 \(f\)의 원시함수라고 하자. 즉 모든 \(x\in[a,b]\)에 대해 \(F'(x)=f(x)\)이다. 제1기본정리에 의해 \[ G(x)=\int_a^x f(t)\,dt \] 도 \(f\)의 원시함수이다. 두 원시함수 \(F\)와 \(G\)의 차이는 상수이므로 어떤 상수 \(C\)에 대해 \[ F(x)=G(x)+C=\int_a^x f(t)\,dt+C \] 이다. \(x=a\)를 대입하면 \(C=F(a)\)이고, 다시 \(x=b\)를 대입하면 \[ F(b)=\int_a^b f(t)\,dt+F(a) \] 이므로 바라는 등식을 얻는다.
위 정리의 우변을 다음과 같이 나타낸다. \[ \bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a) \quad\text{또는}\quad F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a). \]
미적분의 기본정리로부터 다음과 같은 적분의 계산 공식을 얻는다.
- 부분적분법: 함수 \(u\)와 \(v\)가 \([a,b]\)에서 \(C^1\)일 때 곱의 미분법과 제2기본정리에 의하여 \[ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx =\bigl[u(x)v(x)\bigr]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx. \]
- 치환적분법: 함수 \(g\colon[c,d]\to[a,b]\)가 \(C^1\)이고 함수 \(f\)가 \(g([c,d])\)에서 연속일 때, \(f\)의 원시함수와 연쇄법칙을 사용하면 \[ \int_{g(c)}^{g(d)}f(x)\,dx =\int_c^d f(g(t))g'(t)\,dt. \]
문제 6.14. 부분적분법을 사용하여 \(\int_0^\pi x\sin x\,dx\)를 계산하시오.
문제 6.15. 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 미분 가능하고 \(f'\)이 \([a,b]\)에서 적분 가능할 때 다음이 성립함을 증명하시오. \[ \int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a). \]
적분의 평균값 정리
미적분의 기본정리를 활용하여 끌어낼 수 있는 정리로서 적분의 평균값 정리가 있다.
정리 6.9. (적분의 평균값 정리)
\(a<b\)이고 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이면, 다음 등식을 만족시키는 값 \(c\in[a,b]\)가 존재한다. \[ \frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx=f(c). \]
증명 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이므로 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 가진다. 즉 모든 \(x\in[a,b]\)에 대해 \(m\le f(x)\le M\)이다. 적분의 단조성에 의해 \[ m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a) \] 이고, 따라서 \[ m\le\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\le M. \] 사잇값 정리에 의해 어떤 \(c\in[a,b]\)에 대해 \[ f(c)=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \] 이다.
정리 6.10. (제1평균값 정리)
\(a<b\)이고 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이며 함수 \(g\ge0\)이 \([a,b]\)에서 적분 가능하면, 다음 등식을 만족시키는 값 \(c\in[a,b]\)가 존재한다. \[ \int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(c)\int_a^b g(x)\,dx. \]
증명 문제 6.6에 의해 \(fg\)는 \([a,b]\)에서 적분 가능하다. \(f\)가 연속이므로 \([a,b]\)에서 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 가진다. \(g(x)\ge0\)이므로 \[ mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x). \] 이 부등식의 각 변을 적분하면 \[ m\int_a^b g(x)\,dx \le\int_a^b f(x)g(x)\,dx \le M\int_a^b g(x)\,dx. \] 만약 \(\int_a^b g(x)\,dx=0\)이면 \(\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0\)이고 임의의 \(c\)에 대해 등식이 성립한다. 만약 \(\int_a^b g(x)\,dx>0\)이면 \[ m\le \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx} \le M \] 이므로 사잇값 정리에 의해 어떤 \(c\in[a,b]\)에 대해 바라는 등식을 얻는다.
정리 6.11. (제2평균값 정리)
\(a<b\)이고 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속인 도함수를 갖는 단조함수이며 함수 \(g\)가 \([a,b]\)에서 연속이면, 다음 등식을 만족시키는 값 \(c\in[a,b]\)가 존재한다. \[ \int_a^b f(x)g(x)\,dx =f(a)\int_a^c g(x)\,dx +f(b)\int_c^b g(x)\,dx. \]
증명 \(f\)가 단조증가하는 경우에는 \(-f\)에 같은 논증을 적용하면 되므로, \(f\)가 단조감소한다고 가정하자. 함수 \(G\)를 \[ G(x)=\int_a^x g(t)\,dt \] 라고 정의하면 \(G(a)=0\)이고 \(G'(x)=g(x)\)이다. 부분적분법을 사용하면 \[ \int_a^b f(x)g(x)\,dx =\bigl[f(x)G(x)\bigr]_a^b-\int_a^bG(x)f'(x)\,dx. \] \(f\)가 단조감소이므로 \(f'(x)\le0\)이고, 따라서 \(-f'(x)\ge0\)이다. 또한 \(f'\)이 연속이므로 제1평균값 정리를 \(G\)와 \(-f'\)에 적용하면 적당한 \(c\in[a,b]\)에 대하여 \[ -\int_a^bG(x)f'(x)\,dx =G(c)\int_a^b-f'(x)\,dx =G(c)(f(a)-f(b)) \] 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \int_a^b f(x)g(x)\,dx &=f(b)G(b)+G(c)(f(a)-f(b))\\ &=f(a)G(c)+f(b)(G(b)-G(c)). \end{aligned} \] 여기서 \(G(c)=\int_a^c g(x)\,dx\)이고 \(G(b)-G(c)=\int_c^b g(x)\,dx\)이므로 바라는 결과를 얻는다.
이상적분
적분 구간이 유계가 아니거나, 함수가 유계가 아닐 때도 적분을 정의할 수 있다. 이러한 적분을 이상적분(improper integral)이라고 부른다.
유계가 아닌 구간에서의 적분
함수 \(f\)가 구간 \([a,\infty)\)의 임의의 부분 유한구간에서 적분 가능하고, 극한 \[ \int_a^\infty f(x)\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx\tag{6.6} \] 가 존재하면, “\([a,\infty)\)에서 \(f\)의 이상적분이 수렴한다(converge)” 또는 “이상적분이 존재한다”라고 말하고, 이 극한값을 \([a,\infty)\)에서 \(f\)의 적분값이라고 부른다.
극한 (6.6)이 수렴하지 않으면, “\([a,\infty)\)에서 \(f\)의 이상적분이 발산한다(diverge)”라고 말한다.
이상적분 \(\int_{-\infty}^b f(x)\,dx\)도 같은 방법으로 정의한다.
또한 임의의 \(c\)에 대하여 \[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{-\infty}^c f(x)\,dx+ \int_c^\infty f(x)\,dx\tag{6.7} \] 로 정의한다. 단, (6.7)의 우변의 두 이상적분이 모두 존재할 때만 좌변의 이상적분이 존재하는 것으로 정의한다. 우변의 두 이상적분이 모두 존재하는 경우, 우변의 합은 \(c\)의 값에 상관없이 일정하다.
유계가 아닌 함수의 적분
함수 \(f\)가 모든 \(c\in(a,b)\)에 대하여 \([c,b]\)에서 적분 가능하다고 하자. 끝점 \(a\)에서의 이상적분을 \[ \int_a^b f(x)\,dx =\lim_{c\to a^+}\int_c^b f(x)\,dx \] 로 정의한다. 우변의 극한이 유한한 실수로 존재할 때 이상적분이 수렴한다고 말한다. 이 정의는 특히 \(f\)가 \(a\)의 오른쪽 근방에서 유계가 아닌 경우에 필요하다. 오른쪽 끝점 \(b\)에서 특이점을 갖는 경우도 같은 방법으로 정의한다.
구간의 내부점 \(c\in(a,b)\)에서 특이점이 있을 때는 \[ \int_a^b f(x)\,dx =\int_a^c f(x)\,dx+ \int_c^b f(x)\,dx \] 로 정의하되, 우변의 두 이상적분이 각각 수렴할 때만 좌변이 수렴한다고 한다. 서로 발산하는 두 항의 상쇄를 이용하여 값을 정하지 않는다.
자주 등장하는 이상적분은 다음과 같은 것들이 있다.
- \(\displaystyle\int_1^\infty\frac1{x^p}\,dx\)는 \(p>1\)일 때 수렴하고 \(p\le1\)일 때 발산한다.
- \(\displaystyle\int_0^1\frac1{x^p}\,dx\)는 \(p<1\)일 때 수렴하고 \(p\ge1\)일 때 발산한다.
- \(\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\,dx=1\)
- \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{1+x^2}\,dx=\pi\)
이상적분 \(\int_a^b|f(x)|\,dx\)가 수렴할 때 “\(f\)의 이상적분이 절대수렴한다(converges absolutely)”라고 말한다. 이상적분 \(\int_a^b f(x)\,dx\)가 수렴하지만 이상적분 \(\int_a^b|f(x)|\,dx\)가 발산할 때, “\(f\)의 이상적분이 조건수렴한다(converges conditionally)”라고 말한다. 예를 들어 \[ \int_1^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx \] 는 조건수렴한다. 실제로 부분적분하면 \[ \int_1^R\frac{\sin x}{x}\,dx =\left[-\frac{\cos x}{x}\right]_1^R-\int_1^R\frac{\cos x}{x^2}\,dx \] 이고 우변은 \(R\to\infty\)일 때 수렴한다. 한편 각 자연수 \(k\)에 대하여 \[ \int_{k\pi+\pi/6}^{k\pi+5\pi/6}\frac{|\sin x|}{x}\,dx \ge\frac{\pi/3}{k\pi+5\pi/6} \] 이므로 \(\int_1^\infty|\sin x|/x\,dx\)는 조화급수와 비교하여 발산한다.
이상적분의 수렴 판정법을 다음과 같이 정리할 수 있다.
정리 6.12. (이상적분의 비교 판정법)
함수 \(f\), \(g\)가 모든 \(B>a\)에 대하여 \([a,B]\)에서 적분 가능하다고 하자.
- 비교 판정법: 모든 충분히 큰 \(x\)에 대하여 \(0\le f(x)\le g(x)\)이고 \(\int_a^\infty g(x)\,dx\)가 수렴하면 \(\int_a^\infty f(x)\,dx\)도 수렴한다.
- 극한비교 판정법: 모든 충분히 큰 \(x\)에 대하여 \(f(x),g(x)>0\)이고 \[ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L, \quad 0<L<\infty, \] 이면 \(\int_a^\infty f(x)\,dx\)와 \(\int_a^\infty g(x)\,dx\)는 함께 수렴하거나 함께 발산한다.
- 절대수렴 판정법: \(\int_a^\infty|f(x)|\,dx\)가 수렴하면 \(\int_a^\infty f(x)\,dx\)도 수렴한다.
끝점에서 특이점을 갖는 이상적분에도 같은 형태의 판정법이 성립한다.
증명 비교 판정법을 보이자. 충분히 큰 \(A\) 이후에서 \(0\le f\le g\)라고 하자. \(B\ge A\)에 대하여 \[ 0\le\int_A^B f(x)\,dx\le\int_A^B g(x)\,dx. \] 왼쪽의 적분은 \(B\)에 대한 단조증가함수이고 오른쪽의 적분은 \(B\to\infty\)일 때 유한한 극한을 가지므로, 실수의 완비성에 의해 \(\int_A^B f\)도 유한한 극한을 가진다.
극한비교 판정법에서는 \(0<L<\infty\)이므로 충분히 큰 \(x\)에 대하여 \[ \frac L2g(x)\le f(x)\le\frac{3L}{2}g(x) \] 가 성립한다. 비교 판정법을 양방향으로 적용하면 두 이상적분의 수렴성이 같다.
마지막으로 \(\int_a^\infty|f|\)가 수렴한다고 하자. 유한구간에서 \[ f^+=\frac{|f|+f}{2},\quad f^-=\frac{|f|-f}{2} \] 라고 놓으면 \(f^+,f^-\ge0\)이고 \(f=f^+-f^-\), \(|f|=f^++f^-\)이다. 따라서 \(B>a\)에 대하여 \[ 0\le\int_a^Bf^+\le\int_a^B|f|, \quad 0\le\int_a^Bf^-\le\int_a^B|f|. \] 두 좌변은 \(B\)에 대한 단조증가함수이고 수렴하는 \(\int_a^B|f|\)에 의해 위로 유계이므로 각각 유한한 극한을 가진다. 그러므로 \[ \int_a^Bf=\int_a^Bf^+-\int_a^Bf^- \] 도 \(B\to\infty\)일 때 유한한 극한을 가진다.
문제 6.16. 실수 \(p\)에 대하여 이상적분 \[ \int_e^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^p} \] 가 수렴하기 위한 필요충분조건이 \(p>1\)임을 보이시오.
문제 6.17. 적분 \(\int_0^\infty xe^{-x^2}\,dx\)의 값을 구하시오.
문제 6.18. 적분 \(\int_2^\infty\frac{\ln x}{x^2}\,dx\)가 수렴함을 보이고 그 값을 구하시오.
문제 6.19. 함수 \(f\)가 다음과 같을 때, \(F'=f\)를 만족시키는 함수 \(F\)를 구하시오.
- \(f(x)=\cos2x\)
- \(f(x)=3\sin3x\)
- \(f(x)=\tan4x\)
- \(f(x)=\cot(3x-2)\)
- \(f(x)=\sec(3x)\)
- \(f(x)=\csc(3-2x)\)
- \(f(x)=3^x\)
- \(f(x)=x^3e^x\)
- \(f(x)=\ln x\)
- \(f(x)=x\ln x\)
- \(f(x)=x\cos3x\)
- \(f(x)=e^{2x}\sin3x\)
- \(f(x)=x^3\ln x\)
- \(f(x)=(\ln x)^3\)
문제 6.20. 옌센 부등식(정리 5.13)을 적분으로 나타낼 수 있다. 함수 \(\phi\colon[a,b]\to\mathbb R\)가 연속이고 볼록하며 함수 \(f\colon[0,1]\to[a,b]\)가 적분 가능하다고 하자. 다음이 성립함을 보이시오. \[ \phi\left(\int_0^1f(x)\,dx\right) \le\int_0^1(\phi\circ f)(x)\,dx.\tag{6.8} \]
문제 6.21. 구간 \([a,b]\)에서 연속인 함수의 모임을 \(C[a,b]\)라고 하자. \(p\ge1\)일 때 \(C[a,b]\)의 함수 \(f\), \(g\)에 대하여 \[ d_p(f,g)=\left(\int_a^b|f(x)-g(x)|^p\,dx\right)^{1/p}.\tag{6.9} \] 로 정의하자. \(d_p\)가 \(C[a,b]\)에서 거리함수임을 보이시오. 삼각부등식을 증명할 때는 다음 민코프스키 적분부등식(Minkowski integral inequality)을 증명 없이 사용해도 좋다. \[ \left(\int_a^b|u(x)+v(x)|^p\,dx\right)^{1/p} \le \left(\int_a^b|u(x)|^p\,dx\right)^{1/p} + \left(\int_a^b|v(x)|^p\,dx\right)^{1/p}. \] 이 거리함수는 \(L^p\) 공간에서 사용하는 거리의 원형이다.
문제 6.22. 부르바키(Bourbaki)의 방법을 따라 원주율 \(\pi\)가 무리수임을 보이려고 한다. \(\pi=a/b\)이고 \(a\)와 \(b\)가 서로소인 자연수라고 가정하자. 그리고 함수 \(F\)와 \(f\)를 다음과 같이 정의하자. \[ \begin{aligned} f(x)&=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!},\\[3pt] F(x)&=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-f^{(6)}(x)+\cdots+(-1)^n f^{(2n)}(x). \end{aligned} \] 다음 물음에 답하시오.
- \(F(0)+F(\pi)\)가 정수임을 보이시오.
- \(\displaystyle\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx=F(0)+F(\pi)\)임을 보이시오.
- \(n\)이 자연수일 때 \[ 0<\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx \le\pi\frac{(\pi a)^n}{n!} \] 임을 보이시오.
- 위 (1), (2), (3)을 사용하여 모순을 유도하고, \(\pi\)가 무리수임을 보이시오. 문제 1.24의 결과를 사용해도 좋다.
문제 6.23. 함수 \(f\colon[a,b]\to\mathbb R\)와 분할 \(P=\{a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\}\)에 대하여 \[ V(f,P)=\sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})| \] 라고 하자. \(\sup_PV(f,P)<\infty\)이면 \(f\)가 \([a,b]\)에서 유계변동(bounded variation)이라고 한다. 절대연속인 함수가 유계변동임을 보이시오. 절대연속의 정의는 4장의 절대연속 절을 사용하시오.
문제 6.24. \(I\)와 \(J\)가 닫힌구간이고 함수 \(f\colon I\to J\)가 \(I\)에서 적분 가능하며 함수 \(g\colon J\to\mathbb R\)이 \(J\)에서 적분 가능하다고 하자. 합성함수 \(g\circ f\)는 반드시 \(I\)에서 적분 가능한가? 그렇지 않다면 반례를 제시하시오.