거리공간

거리공간은 '멀고 가까움을 잴 수 있는 공간'의 개념을 추상화한 것으로, 해석학과 위상수학의 기초가 된다. 이 장에서는 거리공간의 정의와 그 성질을 살펴본다.

거리공간의 정의

집합 \(X\)와 함수 \(d: X \times X \to \mathbb{R}\)이 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, \(d\)를 \(X\) 위의 거리(metric) 또는 거리함수라고 부르고, \((X,\, d)\)를 거리공간(metric space)이라고 부른다.

1. 양의 정부호성: \(d(x,\, y) = 0\)이기 위한 필요충분조건은 \(x = y\)이다.
2. 대칭성: 임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(d(x,\, y) = d(y,\, x)\)이다.
3. 삼각부등식: 임의의 \(x,\,y,\,z\in X\)에 대하여 \(d(x,\, z) \leq d(x,\, y) + d(y,\, z)\)이다.

거리함수를 혼동할 염려가 없을 때는 \((X,\,d)\)를 간단히 \(X\)로 나타낸다.

거리공간 \((X,\, d)\)에서 점 \(x \in X\)와 양수 \(r > 0\)에 대하여 다음과 같이 정의한다.

• 중심이 \(x\)이고 반지름이 \(r\)인 열린공(open ball): \(B(x,\, r) = \{y \in X \mid d(x,\, y) < r\}\)
• 중심이 \(x\)이고 반지름이 \(r\)인 닫힌공(closed ball): \(\overline{B}(x,\, r) = \{y \in X \mid d(x,\, y) \leq r\}\)
• 중심이 \(x\)이고 반지름이 \(r\)인 구면(sphere): \(S(x,\, r) = \{y \in X \mid d(x,\, y) = r\}\)
• 중심이 \(x\)이고 반지름이 \(r\)인 구멍뚫린 열린공: \(B' (x,\, r) = \{y \in X \mid 0 < d(x,\, y) < r\}\)

책에 따라서는 위 집합들을 기호로 각각 \(B_r (x)\), \(\overline{B} _r (x)\), \(S_r (x)\), \(B_r ' (x)\)와 같이 나타내기도 한다.

거리공간의 예시

유클리드 거리

\(\mathbb{R}^n\)에서 유클리드 거리(Euclidean metric)를 다음과 같이 정의한다. \[d_2(x,\, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2}.\]

특히 \(\mathbb{R}\)에서는 \(d_2 (x,\, y) = |x - y|\)이고, \(\mathbb{R}^2\)에서는 \(d_2\)가 일반적인 평면에서의 거리가 된다.

더 일반적으로, \(p\ge 1\)일 때 \(\mathbb{R}^n\)에서 \(p\)-거리를 다음과 같이 정의한다. \[d_p(x,\, y) = \left(\sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p\right)^{1/p}.\]

\(p = \infty\)일 때 위 거리함수는 다음과 같이 바뀐다. \[d_\infty(x,\, y) = \max_{1 \leq i \leq n} \left| x_i - y_i \right|.\] 이 거리를 최대 거리 또는 균등 거리라고 부른다.

\(\mathbb{R}^2\)에서 점 \(O=(0,\, 0)\)을 중심으로 하고 반지름이 1인 열린공의 모양은 거리함수에 따라 다르다.

• 거리함수가 \(d_1\)일 때 \(B(O,\,1)\)은 마름모 모양이다.
• 거리함수가 \(d_2\)일 때 \(B(O,\,1)\)은 원 모양이다.
• 거리함수가 \(d_\infty\)일 때 \(B(O,\,1)\)은 정사각형 모양이다.

복소평면

복소수 집합 \(\mathbb{C}\)에서 거리를 \(d(z,\, w) = |z - w|\)라고 정의하면 \(\mathbb{C}\)는 거리공간이 된다. 여기서 \(|z|\)는 복소수의 절댓값이다. 이 거리공간은 \(\mathbb{R}^2\)의 유클리드 거리공간과 거리동형이다.

이산거리공간

임의의 집합 \(X\)에 대하여 이산거리(discrete metric)를 다음과 같이 정의한다. \[d(x,\,y) = \begin{cases} 0 & \text{if }\, x = y, \\[6pt] 1 & \text{if }\, x \neq y. \end{cases}\]

이산거리공간에서는 모든 점이 '고립'되어 있다. 즉 \(r\)이 \(1\)보다 작은 양수일 때 \(B(x,\, r) = \{x\}\)이다.

연속함수공간

구간 \([a,\, b]\)에서 연속인 실함수들의 집합을 \(C[a,\, b]\)로 나타낸다. 이 집합에서 다음과 같은 거리를 정의할 수 있다.

• 균등거리: \(d_\infty(f,\, g) = \displaystyle\sup_{x \in [a,\, b]} |f(x) - g(x)|\)
• \(L^p\) 거리: \(d_p(f,\, g) = \displaystyle\left(\int_a^b |f(x) - g(x)|^p \, dx\right)^{1/p}\) (단, \(p\ge 1\))

노름공간

벡터공간 \(V\)에 노름 \(\lVert \cdot \rVert\)이 주어져 있을 때, \(u,\,v\in V\)에 대하여 \[d(u,\,v) = \lVert u-v \rVert\] 라고 하면, \(d\)는 \(V\) 위의 거리함수가 된다. 이러한 관점에서 노름공간은 모두 거리공간이다.

마찬가지로 벡터공간 \(V\)에 내적 \(\langle \cdot ,\, \cdot \rangle\)이 주어져 있을 때, \(u\in V\)에 대하여 \[\lVert u \rVert = \sqrt{\langle u ,\,u \rangle}\] 라고 하면 \(\lVert \cdot \rVert\)는 \(V\)의 노름이 된다. 이러한 관점에서 내적공간은 노름공간이며, 내적공간은 거리공간이다.

부분공간과 거리동형

거리공간 \((X,\, d)\)의 부분집합 \(Y \subseteq X\)에 대하여, \(d\)의 정의역을 \(Y \times Y\)로 제한한 함수 \(d_Y\)는 \(Y\) 위의 거리가 된다. 이때 거리공간 \((Y,\, d_Y)\)를 \((X,\, d)\)의 부분거리공간(metric subspace) 또는 간단히 부분공간이라고 부른다.

예를 들어, 구간 \([0,\, 1]\)은 \(\mathbb{R}\)의 부분거리공간이고, 단위원 \(S^1 = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1\}\)은 \(\mathbb{C}\)의 부분거리공간이다.

두 거리공간 \((X,\, d_X)\)와 \((Y,\, d_Y)\) 사이의 함수 \(f: X \to Y\)가 다음을 만족시킬 때 \(f\)를 거리보존함수(isometry)라고 부른다. \[\text{임의의 }x_1 ,\, x_2 \in X \text{에 대하여, }\, d_Y(f(x_1),\, f(x_2)) = d_X(x_1,\, x_2).\] 거리보존함수는 거리를 보존하므로 일대일함수가 된다. 만약 거리보존함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 위로의 함수이면 "두 거리공간 \(X\)와 \(Y\)가 거리동형이다(isometric)"라고 말한다.

두 거리공간 \((X,\, d_X)\)와 \((Y,\, d_Y)\)의 곱거리공간(product metric space) \((X \times Y,\, d)\)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

• 유클리드 곱거리: \(d((x_1,\, y_1),\, (x_2,\, y_2)) = \sqrt{d_X(x_1,\, x_2)^2 + d_Y(y_1,\, y_2)^2}\)
• 택시 곱거리: \(d((x_1,\, y_1),\, (x_2,\, y_2)) = d_X(x_1,\, x_2) + d_Y(y_1,\, y_2)\)
• 최대 곱거리: \(d((x_1,\, y_1),\, (x_2,\, y_2)) = \max\{d_X(x_1,\, x_2),\, d_Y(y_1,\, y_2)\}\)

이들은 모두 거리함수의 조건을 만족시키며, 이 거리들에 의해 정의된 곱공간들은 서로 위상동형이다.