수열의 극한

이 장에서는 거리공간에서 수열의 수렴과 기본적인 위상 개념을 다룬다. 실수에서 정의한 극한 개념을 일반 거리공간으로 확장하고, 열린집합과 닫힌집합, 컴팩트성 등 위상적 성질을 살펴본다.

거리공간에서의 수렴

거리공간 \((X,\, d)\)에서 수열 \(\{x_n\}\)이 점 \(x \in X\)로 수렴한다(converge)는 것은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때 \(d(x_n,\, x) < \varepsilon\)이 성립하는 것이다. 이것을 \(x_n \to x\) 또는 \(\lim_{n \to \infty} x_n = x\)로 나타낸다.

수렴하는 실수열의 극한이 유일한 것처럼, 거리공간에서도 수렴하는 수열의 극한은 유일하다. 즉, \(x_n \to x\)이고 \(x_n \to y\)이면 \(x = y\)이다.

수열 \(\{x_n\}\)이 코시 수열(Cauchy sequence)이라는 것은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 자연수 \(N\)이 존재하여 \(m >N\), \(n > N\)일 때 \(d(x_m,\, x_n) < \varepsilon\)이 성립하는 것을 뜻한다.

수렴하는 수열은 항상 코시 수열이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 코시 수열이 수렴하는 거리공간을 완비거리공간(complete metric space)이라고 부른다.

유클리드 거리가 주어진 공간 \(\mathbb{R}^n\)은 완비거리공간이다.
표준 거리 [\(d(x,\,y)=|x-y|\)로 정의된 거리함수] 가 주어진 유리수 \(\mathbb{Q}\)는 완비거리공간이 아니다. 예를 들어, \(\sqrt{2}\)로 수렴하는 유리수열은 코시 수열이지만 \(\mathbb{Q}\)에서 수렴하지 않는다.
표준 거리가 주어진 열린구간 \((0,\, 1)\)은 완비가 아니다. 왜냐하면, 수열 \(\left\{\frac{1}{n}\right\}\)은 코시 수열이지만 \((0,\, 1)\)의 점에 수렴하지 않기 때문이다.

문제 3.1. 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 \(\mathbb{R}^d\)의 점들로 이루어진 수열이고, \(\left\{ a_n \right\}\)의 각 항이 \[a_n = \left( a_{n,1},\, a_{n,2},\, \cdots ,\, a_{n,d}\right)\] 와 같은 벡터라고 하자. 또한 \(L = (L_1 ,\, L_2 ,\, \cdots ,\, L_d)\in \mathbb{R}^d\)라고 하자. 이때, \(\left\{ a_n \right\}\)이 \(L\)에 수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 \(j=1,\,2,\,\cdots,\,d\)에 대하여 실수열 \(\left\{ a_{n,j}\right\}\)가 \(L_j\)에 수렴하는 것임을 증명하시오.

열린집합과 닫힌집합

\(E\)가 거리공간 \((X,\,d)\)의 부분집합이고 \(x\in X\)라고 하자.

\(x\)가 \(E\)의 내점(interior point)이라 함은 \(B(x,\,r)\subseteq E\)인 양수 \(r\)이 존재하는 것을 뜻한다.
\(x\)가 \(E\)의 외점(exterior point)이라 함은 \(B(x,\,r)\cap E = \varnothing\)인 양수 \(r\)이 존재하는 것을 뜻한다.
\(x\)가 \(E\)의 내점도 아니고 외점도 아닐 때, \(x\)를 \(E\)의 경계점이라고 부른다. 즉 \(x\)가 \(E\)의 경계점이라 함은 임의의 양수 \(r\)에 대하여 \(B(x,\,r)\cap E \neq\varnothing\)이고 \(B(x,\,r)\cap E^c \neq\varnothing\)인 것을 뜻한다.
\(E\)의 내점의 모임을 \(E\)의 내부(interior)라고 부르고 \(\operatorname{int} (E)\) 또는 \(E^o\)와 같이 나타낸다.
\(E\)의 외점의 모임을 \(E\)의 외부(exterior)라고 부르고 \(\operatorname{ext} (E)\)와 같이 나타낸다.
\(E\)의 경계점의 모임을 \(E\)의 경계(boundary)라고 부르고 \(\operatorname{bd} (E)\) 또는 \(\partial E\)와 같이 나타낸다.

거리공간 \((X,\, d)\)의 부분집합 \(U\)가 열린집합(open set)이라는 것은, \(U\)의 모든 점이 \(U\)의 내점인 것을 뜻한다. \(X\)의 부분집합 \(F\)가 닫힌집합(closed set)이라는 것은, 그 여집합 \(F^c = X\setminus F\)가 \(X\)에서 열린집합인 것을 뜻한다.

거리공간 \(\mathbb{R}\)에서 열린집합과 닫힌집합의 예는 다음과 같다.

열린구간 \((a,\, b)\)는 열린집합이다.
닫힌구간 \([a,\, b]\)는 닫힌집합이다.
반열린구간 \([a,\, b)\)는 열린집합이 아니고 닫힌집합도 아니다.
\(\mathbb{R}\)과 \(\varnothing\)은 열린집합이면서 동시에 닫힌집합이다.

정리 3.1. (열린집합의 성질)

거리공간 \(X\)에서 열린집합은 다음과 같은 성질을 가진다.

\(X\)와 \(\varnothing\)은 열린집합이다.
열린집합들의 임의의 합집합은 열린집합이다.
열린집합들의 유한 교집합은 열린집합이다.

문제 3.2. \(A\)와 \(B\)가 거리공간 \(X\)의 부분집합이라고 하자. 이때 다음을 보이시오.

\(A^o \subseteq A\)
\(B\subseteq B^o \cup \partial B\)
\(A\)가 열린집합일 필요충분조건은 \(A=A^o\)인 것이다.
\(B\)가 닫힌집합일 필요충분조건은 \(\partial B \subseteq B\)인 것이다.
\((A\cup B)^o \supseteq A^o \cup B^o\)
\((A\cap B)^o = A^o \cap B^o\)
\(\partial (A\cup B)\subseteq \partial A \cup \partial B\)
\(\partial (A\cap B)\subseteq \partial A \cup \partial B\)

\(a\)가 거리공간 \(X\)의 점이고 \(U\)가 \(X\)의 부분집합이며 \(a\in U^o\)이면 \(U\)를 \(a\)의 근방(neighborhood)이라고 부른다. 만약 \(U\)가 열린집합이면 \(U\)를 \(a\)의 열린근방이라고 부르며, 만약 \(U\)가 닫힌집합이면 \(U\)를 \(a\)의 닫힌근방이라고 부른다. [책에 따라서는 '열린근방'을 '근방'이라고 표현하기도 한다.]

거리공간 \(X\)의 점 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)가 참 또는 거짓으로 판별되는 진술일 때, "점 \(a\)의 근방에서 \(p(x)\)가 성립한다"라는 말은 "점 \(a\)의 근방 \(U\)가 존재하여 임의의 \(x\in U\)에 대하여 \(p(x)\)가 참이다"라는 뜻이다. ["점 \(a\)의 '임의의' 근방 \(U\)에서 \(p(x)\)가 참이다"라는 뜻이 아니다.]

문제 3.3. \(X\)가 거리공간이고 \(\left\{ a_n \right\}\)이 \(X\)의 수열이며 \(L\in X\)라고 하자. 이때 \(\left\{ a_n \right\}\)이 \(L\)에 수렴할 필요충분조건은 \(L\)의 임의의 근방 \(G\)에 대하여 \(a_n \notin G\)인 항 \(a_n\)의 개수가 유한인 것임을 보이시오.

정리 3.1을 사용하면 닫힌집합의 성질을 유도할 수 있다.

정리 3.2. (닫힌집합의 성질)

거리공간 \(X\)에서 닫힌집합은 다음과 같은 성질을 가진다.

\(X\)와 \(\varnothing\)은 닫힌집합이다.
닫힌집합들의 임의의 교집합은 닫힌집합이다.
닫힌집합들의 유한 합집합은 닫힌집합이다.

문제 3.4. 정리 3.1과 정리 3.2를 증명하시오.

한편 부분공간에서 열린집합과 닫힌집합은 다음과 같은 성질을 가진다.

정리 3.3. (부분공간에서의 열린집합과 닫힌집합)

\(X\)가 거리공간이고 \(Y\)가 \(X\)의 부분공간이며 \(E\subseteq Y\)라고 하자.

\(E\)가 \(Y\)에서 열린집합일 필요충분조건은 \(X\)에서의 열린집합 \(G\)가 존재하여 \(E = Y\cap G\)인 것이다.
\(E\)가 \(Y\)에서 닫힌집합일 필요충분조건은 \(X\)에서의 닫힌집합 \(F\)가 존재하여 \(E = Y\cap F\)인 것이다.

문제 3.5. 정리 3.3을 증명하시오.

\(A\)가 거리공간 \(X\)의 부분집합이라고 하자. \(A\)를 포함하는 모든 닫힌집합의 교집합을 \(A\)의 폐포(closure) 또는 닫개라고 부르고 \(\overline{A}\)로 나타낸다.

폐포는 집적점을 사용하여 정의할 수 있다. 점 \(x \in X\)가 집합 \(A\)의 집적점(cluster point)이라는 것은, 임의의 \(r > 0\)에 대해 \(B ' (x,\, r) \cap A \neq \varnothing\)을 만족시키는 것을 뜻한다. 즉 \(x\)가 \(A\)의 집적점이라는 것은 \(A\)에 속하면서 \(x\)와 같지 않은 점을 모아서 \(x\)에 수렴하는 수열을 구성할 수 있다는 뜻이다.

\(A\)의 집적점들의 모임을 \(A\)의 도집합(derived set)이라고 부르고 \(A ' \)으로 나타낸다. 이때 다음이 성립한다. \[\overline{A} = A \cup A ' \tag{3.1}\]

거리공간에서 닫힌집합은 다음과 같은 중요한 성질을 가진다.

정리 3.4. (닫힌집합의 특성)

거리공간 \(X\)의 부분집합 \(F\)에 대하여 다음은 모두 동치이다.

집합 \(F\)가 닫힌집합이다.
\(F = \overline{F}\)
\(F' \subseteq F\)
\(F\)의 원소로 이루어진 수열이 수렴한다면 그 극한이 반드시 \(F\)에 속한다.

문제 3.6. 정리 3.4를 증명하시오.

문제 3.7. 등식 (3.1)을 증명하시오.

문제 3.8. \(X\)가 거리공간이고 \(E\)가 \(X\)의 부분집합이라고 하자. 이때 다음이 동치임을 보이시오.

\(E\)가 \(X\)에서 닫힌집합이다.
만약 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 \(E\)에 속하고 \(\left\{ a_n \right\}\)이 수렴하면, \(\left\{ a_n \right\}\)의 극한이 \(E\)에 속한다.

문제 3.9. \(X\)가 완비거리공간이고 \(E\)가 \(X\)의 부분공간이라고 하자. 이때 \(E\)가 완비일 필요충분조건은 \(E\)가 \(X\)에서 닫힌집합인 것임을 증명하시오.

거리공간 \(X\)의 부분집합 \(A\)가 조밀(dense)하다는 것은 \(\overline{A} = X\)인 것이다. 조밀한 가산부분집합을 가진 공간을 가분공간(separable space)이라고 부른다.

\(\mathbb{Q}\)는 \(\mathbb{R}\)에서 조밀하다.
\(\mathbb{R}^n\)은 가분공간이다. 왜냐하면 유리수 좌표를 가진 점들이 조밀하게 분포하기 때문이다.
비가산 개의 점을 가진 이산거리공간은 가분공간이 아니다.

부분수열의 극한

수열 \(\{x_n\}\)의 부분수열 \(\{x_{n_k}\}\)가 \(x\)로 수렴할 때, \(x\)를 \(\{x_n\}\)의 집적점(cluster point) 또는 부분수열극한(subsequential limit)이라고 부른다.

문제 3.10. 수열 \(\left\{x_n\right\}\)이 \(L\)로 수렴하고 \(\{x_{n_k}\}\)가 \(\left\{x_n\right\}\)의 부분수열이면, \(\{x_{n_k}\}\)도 \(L\)로 수렴함을 보이시오.

실수열 \(\{a_n\}\)의 상극한과 하극한을 다음과 같이 정의한다. \[\varlimsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(\sup\{a_k \mid k \geq n\}\right),\quad \varliminf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(\inf\{a_k \mid k \geq n\}\right).\tag{3.2}\] 상극한과 하극한의 정의에 의하여 다음이 성립한다. \[\displaystyle \varliminf_{n\rightarrow\infty} a_n \leq \varlimsup_{n\rightarrow\infty} a_n .\tag{3.3}\]

문제 3.11. 양의 실수열 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)에 대해 다음을 증명하시오. \[\varlimsup_{n \to \infty} (a_n b_n) \leq \varlimsup_{n \to \infty} a_n \cdot \varlimsup_{n \to \infty} b_n\] 또한, 등호가 성립하지 않는 예를 찾으시오.

정리 3.5. (상극한과 하극한의 기본성질)

상극한과 하극한은 다음과 같은 성질을 가진다.

유계인 수열의 상극한과 하극한은 항상 실수로서 존재한다.
유계인 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 상극한은 집적점 중에서 가장 큰 값이고, \(\left\{ a_n \right\}\)의 하극한은 집적점 중에서 가장 작은 값이다.
유계인 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 수렴할 필요충분조건은 \(\left\{ a_n \right\}\)의 상극한과 하극한이 일치하는 것이다.

위 성질을 사용하면 수열의 상극한과 하극한을 비교적 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어, \(a_n = (-1)^n \left( 1 + \frac{1}{n}\right)\)으로 정의된 수열 \(\left\{a_n \right\}\)을 생각하자. 이 수열의 집적점은 \(-1\)과 \(1\)이다. 그러므로 이 수열의 상극한과 하극한은 각각 다음과 같다. \[\varlimsup_{n\rightarrow\infty} a_n = 1 ,\quad \varliminf_{n\rightarrow\infty} a_n= -1 .\]

문제 3.12. 정리 3.5를 증명하시오.

수열의 각 항이 수열일 수 있다. 이때 수렴하는 부분수열을 찾는 방법 중 하나가 대각선 논법(diagonal argument)이다.

정리 3.6. (대각선 논법)

유계인 수열의 수열 \(\{a_n^{(k)}\}_{n=1}^{\infty}\) (\(k = 1,\, 2,\, 3,\, \cdots\))이 주어졌을 때, "모든 \(k\)에 대하여 \(\{a_n^{(k)}\}_{n=1}^{\infty}\)이 수렴"하는 부분수열을 찾을 수 있다.

증명 개요 먼저 볼차노-바이어슈트라스 정리를 사용하여 \(\{a_n^{(1)}\}\)의 수렴하는 부분수열을 선택한다. 이 부분수열의 첨자를 유지하고, 다시 \(\{a_n^{(2)}\}\)가 수렴하도록 부분수열을 선택한다. 이 과정을 반복하여 각 단계에서 부분수열을 얻는다.

대각선 부분수열 \(\{a_{n_n}^{(k)}\}\)을 구성하면, 이 부분수열은 모든 \(k\)에 대해 수렴한다.

문제 3.13. 아첼라-애스콜리 정리(Arzelà–Ascoli theorem)를 조사하고, 아첼라-애스콜리 정리의 증명 과정과 정리 3.6의 연관성을 설명하시오.

컴팩트성

거리공간 \(K\)가 컴팩트(compact) 공간이라 함은 \(K\)의 임의의 열린덮개가 유한부분덮개를 가지는 것을 뜻한다. 즉 \[K \subseteq \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha\] 인 열린집합들 \(\{U_\alpha\}\)에 대해, 유한 개의 첨자 \(\alpha_1,\, \ldots,\, \alpha_n\)이 존재하여 \[K \subseteq U_{\alpha_1} \cup \cdots \cup U_{\alpha_n}\] 이 성립하는 것이다.

문제 3.14. \(A\)가 거리공간 \(X\)의 유한부분집합이면 \(A\)는 컴팩트임을 보이시오.

문제 3.15. \(F\)가 거리공간 \(X\)의 컴팩트 부분집합이면 \(F\)는 유계이고 닫힌집합임을 보이시오.

문제 3.16. 컴팩트 공간의 닫힌 부분집합이 컴팩트임을 보이시오.

거리공간 \(K\)가 점열컴팩트(sequentially compact) 공간이라 함은 \(K\)의 모든 수열이 \(K\)의 점에 수렴하는 부분수열을 가지는 것을 뜻한다.

정리 3.7. (거리공간에서의 점열컴팩트성)

거리공간에서 컴팩트성과 점열컴팩트성은 동치이다.

증명 개요 \(X\)가 점열컴팩트 공간이라고 하자. 이 공간이 전유계(totally bounded)임을 보인다. 그 다음, 전유계이면서 완비인 공간이 컴팩트 공간임을 보인다.

역으로 \(X\)가 컴팩트 공간이라고 하자. 이 공간에서 수렴하는 부분수열을 갖지 않는 수열이 존재한다고 가정하고 모순을 유도한다.

문제 3.17. 전유계 공간(totally bounded space)의 정의를 조사하고, 정리 3.7의 증명을 완성하시오.

문제 3.18. 컴팩트 거리공간이 완비임을 보이시오.

유클리드 거리공간에서 컴팩트 집합은 다음과 같은 유용한 성질을 가진다.

정리 3.8. (하이네-보렐)

\(\mathbb{R}^n\)의 부분집합이 컴팩트일 필요충분조건은 닫혀있고 유계인 것이다.

증명

\(n=2\)인 경우를 살펴보자. 컴팩트 집합이 닫혀있고 유계임은 일반적인 거리공간에서 성립하므로, 여기서는 그 역만 증명하자. \(K\)가 \(\mathbb{R}^2\)의 부분집합이고, 닫혀있으며 유계인 집합이라고 하자. 결론과는 반대로 \(K\)가 컴팩트가 아니라고 가정하자. 그러면 \(K\)를 덮는 열린집합들의 모임 \(C=\left\{ U_\alpha \mid \alpha\in I \right\}\)가 존재하여, 유한 개의 \(U_\alpha\)로는 \(K\)를 덮을 수 없다.

\(K\)가 유계이므로 \(K\subseteq [-M ,\, M]^2\)인 양수 \(M\)이 존재한다. 집합 \(S_0 = [-M ,\, M]^2\)을 네 개의 닫힌 정사각형 집합 \[ [-M,\, 0]\times [-M,\,0] ,\quad [-M,\, 0]\times [0,\,M] ,\quad [0,\, M]\times [-M,\,0] ,\quad [0,\, M]\times [0,\,M]\] 으로 쪼갰을 때(경계의 일부분은 겹침), 네 정사각형 집합 중 하나 이상은 \(K\)와 교집합하였을 때 유한 개의 \(U_\alpha\)에 의하여 덮이지 않는다. 그러한 정사각형 집합을 택하여 \(S_1\)이라고 하자. 같은 방법으로 \(S_1\)을 네 개의 닫힌 정사각형 집합으로 쪼갰을 때, 네 정사각형 집합 중 하나 이상은 \(K\)와 교집합하였을 때 유한 개의 \(U_\alpha\)에 의하여 덮이지 않는다. 그러한 정사각형 집합을 택하여 \(S_2\)라고 하자. 이 과정을 반복하여 닫힌 정사각형의 열 \(\left\{ E_k \right\}\)를 얻는다.

\(E_k\)는 닫힌 정사각형 집합이므로 \(E_k = [a_k ,\, b_k]\times [c_k ,\,d_k]\) 꼴로 쓸 수 있다. 그런데 \(k\rightarrow\infty\)일 때 \(E_k\)의 가로 길이와 세로 길이가 모두 \(0\)에 수렴하고, \(E_k \supseteq E_{k+1}\)이므로, 모든 \(E_k\)에 속하는 점은 단 하나 존재한다. 그 점을 \(\lambda\)라고 하자. 각 \(E_k\)에서 \(K\)의 원소를 하나씩 택하여 \(\lambda\)에 수렴하는 수열 \(\left\{ \lambda_k \right\}\)를 만들 수 있다. \(K\)가 닫힌집합이므로 \(\lambda\in K\)이다. \(\left\{ U_\alpha \right\}\)가 \(K\)를 덮으므로 \(\lambda \in U_\beta\)인 \(\beta\)가 존재한다. \(U_\beta\)가 열린집합이고 정사각형 집합 \(E_k\)의 변의 길이가 \(0\)에 수렴하므로 \(E_k \subseteq U_\beta\)인 \(E_k\)가 존재한다. 이것은 \(E_k \cap K\)가 유한 개의 \(U_\alpha\)에 의하여 덮이지 않는다는 가정에 모순이다.

\(n=1\) 또는 \(n > 2\)인 경우에도 같은 방법으로 증명한다.

문제 3.19. 칸토어 집합(Cantor ternary set)의 성질을 조사하시오. 이 집합이 컴팩트이면서 완전불연결(totally disconnected)임을 보이시오.

문제 3.20. 집합 \(E\)가 \(\mathbb{R}^n\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(\left\{ U_\alpha \right\}_{\alpha\in A}\)가 \(E\)의 열린덮개이면 가산 개의 첨자 \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\cdots\), \(\alpha_k\), \(\cdots\)가 존재하여 \(E\subseteq U_{\alpha_1}\cup U_{\alpha_2}\cup U_{\alpha_3} \cup \cdots \cup U_{\alpha_k} \cup \cdots\)를 만족시킴을 증명하시오. 이것은 유클리드 공간이 린델뢰프 공간(Lindelöf space)임을 뜻한다.

문제 3.21. \(G\)가 \(\mathbb{R}\)의 열린 부분집합이라고 하자. 이때 \(G\)는 쌍마다 서로소인 가산 개의 열린구간의 합집합으로 표현될 수 있음을 보이시오. (이 성질은 실직선에서 르베그 측도를 정의할 때 사용된다.)

문제 3.22. \(X\)가 거리공간이고 \(p\in X\), \(r>0\)일 때 \(\overline{B}(p,\,r)=\overline{B(p,\,r)}\)이 성립하는가? 성립한다면 증명하고, 성립하지 않는다면 반례를 제시하시오.

문제 3.23. 실수계의 완비성을 "직선을 빈 틈 없이 가득 채운 것"이라고 비유하기도 한다. 정수계가 완비임을 보이고, 이와 같은 비유의 대안을 제시하시오.

문제 3.24. 위상공간(topological space)의 정의를 조사하고, 위상공간의 정의와 정리 3.1의 관계를 설명하시오.

문제 3.25. 집합 \(X\)에 거리함수 \(d_1\), \(d_2\)가 주어져 있고, 거리공간 \((X,\,d_1)\)과 \((X,\,d_2)\)에서 열린집합의 모임을 각각 \(T_1,\) \(T_2\)라고 하자. 만약 \(T_1 = T_2\)이면 "두 거리함수 \(d_1\)과 \(d_2\)가 동치이다"라고 말한다. 다음 물음에 답하시오.

\(d_1\)과 \(d_2\)가 동치일 필요충분조건은 양수 \(k_1\), \(k_2\)가 존재하여 임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(k_1 d_1 (x,\,y)\le d_2 (x,\,y) \le k_2 d_1 (x,\,y)\)를 만족하는 것임을 증명하시오.
\(n\)이 양의 정수이고 \(\lVert \cdot \rVert_1\)과 \(\lVert \cdot \rVert_2\)가 \(\mathbb{R}^n\)의 노름일 때, 두 노름으로부터 유도된 거리 \(d_1\)과 \(d_2\)가 동치임을 보이시오.
\(V\)가 무한차원 벡터공간이고 \(\lVert \cdot \rVert_1\)과 \(\lVert \cdot \rVert_2\)가 \(V\)의 노름일 때, 두 노름으로부터 유도된 거리 \(d_1\)과 \(d_2\)가 동치인가? 동치라면 증명하고, 그렇지 않다면 반례를 제시하시오.

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