수열의 극한과 위상적 성질

증명 수열 \(\{x_n\}\)이 \(x\)와 \(y\)에 모두 수렴한다고 하자. 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 충분히 큰 \(n\)을 택하면 \[ d(x_n,x)<\frac{\varepsilon}{2},\quad d(x_n,y)<\frac{\varepsilon}{2} \] 가 동시에 성립한다. 따라서 삼각부등식에 의해 \[ d(x,y)\leq d(x,x_n)+d(x_n,y)<\varepsilon \] 이다. 이는 모든 \(\varepsilon>0\)에 대하여 성립하므로 \(d(x,y)=0\), 즉 \(x=y\)이다.

증명 \(\{x_n\}\)이 \(\mathbb R^d\)의 코시 수열이고 \[ x_n=(x_{n,1},x_{n,2},\ldots,x_{n,d}) \] 라고 하자. 임의의 \(j\)에 대하여 \[ |x_{m,j}-x_{n,j}|\leq d_2(x_m,x_n) \] 이므로 각 좌표수열 \(\{x_{n,j}\}\)는 실수의 코시 수열이다. \(\mathbb R\)의 완비성에 의해 \(x_{n,j}\to L_j\)인 실수 \(L_j\)가 존재한다. \(L=(L_1,\ldots,L_d)\)라고 하자. 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 각 \(j\)에서 충분히 큰 \(n\)이면 \[ |x_{n,j}-L_j|<\frac{\varepsilon}{\sqrt d} \] 이므로 \[ d_2(x_n,L) =\sqrt{\sum_{j=1}^d|x_{n,j}-L_j|^2}<\varepsilon. \] 따라서 \(x_n\to L\)이다.

증명 첫 번째 명제는 정의에서 바로 따른다. 열린집합들의 모임 \(\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}\)에 대하여 \(x\in\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha\)라고 하자. 어떤 \(\beta\in I\)에 대하여 \(x\in U_\beta\)이고 \(U_\beta\)가 열려 있으므로, 어떤 \(r>0\)에 대하여 \(B(x,r)\subseteq U_\beta\subseteq\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha\)이다. 따라서 임의의 합집합도 열린집합이다.

이제 \(U_1,\ldots,U_m\)이 열린집합이고 \(x\in\bigcap_{j=1}^mU_j\)라고 하자. 각 \(j\)에 대하여 \(B(x,r_j)\subseteq U_j\)인 \(r_j>0\)이 존재한다. \(r=\min\{r_1,\ldots,r_m\}\)로 두면 \[ B(x,r)\subseteq\bigcap_{j=1}^mU_j \] 이므로 유한 교집합도 열린집합이다.

증명 닫힌집합의 여집합은 열린집합이다. 따라서 정리 3.3과 드모르간 법칙을 적용하면 \[ \left(\bigcap_{\alpha\in I}F_\alpha\right)^c =\bigcup_{\alpha\in I}F_\alpha^c, \quad \left(\bigcup_{j=1}^mF_j\right)^c =\bigcap_{j=1}^mF_j^c \] 가 각각 열린집합이다. 첫 번째 성질도 \(X^c=\varnothing\), \(\varnothing^c=X\)에서 따른다.

증명 먼저 \(E\)가 \(Y\)에서 열린집합이라고 하자. 각 \(y\in E\)에 대하여 어떤 \(r_y>0\)가 존재하여 \[ B_Y(y,r_y)=Y\cap B_X(y,r_y)\subseteq E \] 이다. \(G=\bigcup_{y\in E}B_X(y,r_y)\)로 두면 \(G\)는 \(X\)에서 열린집합이고 \(E=Y\cap G\)이다. 역으로 \(E=Y\cap G\)이고 \(G\)가 \(X\)에서 열린집합이라고 하자. \(y\in E\)이면 어떤 \(r>0\)에 대하여 \(B_X(y,r)\subseteq G\)이고, 따라서 \(B_Y(y,r)\subseteq E\)이다. 그러므로 \(E\)는 \(Y\)에서 열린집합이다.

두 번째 명제는 첫 번째 명제와 여집합을 이용하면 된다. 실제로 \(E\)가 \(Y\)에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 \(Y\setminus E\)가 \(Y\)에서 열린집합인 것이고, 이는 어떤 열린집합 \(G\subseteq X\)에 대하여 \(Y\setminus E=Y\cap G\)인 것과 동치이다. 이때 \(F=X\setminus G\)로 두면 \(F\)는 \(X\)에서 닫힌집합이고 \(E=Y\cap F\)이다. 역도 같은 계산으로 따른다.

증명 먼저 \(x\notin\overline A\)라고 하자. \(\overline A\)는 닫힌집합이므로 \(X\setminus\overline A\)는 \(x\)의 열린근방이다. 따라서 어떤 \(r>0\)에 대하여 \(B(x,r)\cap A=\varnothing\)이다. 역으로 \(B(x,r)\cap A=\varnothing\)인 \(r>0\)이 존재한다고 하자. 문제 2.2에서 확인한 것처럼 열린공은 열린집합이므로 \(X\setminus B(x,r)\)은 \(A\)를 포함하는 닫힌집합이다. 따라서 \(x\notin\overline A\)이다. 이로써 첫 번째 명제가 성립한다.

첫 번째 명제에 의해 \(x\in A\)이면 \(x\in\overline A\)이고, \(x\notin A\)인 경우에는 \(x\in\overline A\)이기 위한 필요충분조건이 모든 \(r>0\)에 대하여 \(B'(x,r)\cap A\neq\varnothing\)인 것이다. 따라서 두 번째 명제가 따른다.

마지막으로 \(x\in\overline A\)라고 하자. \(x\in A\)이면 상수수열 \(a_n=x\)를 택하면 된다. \(x\notin A\)이면 각 \(n\)에 대하여 \[ a_n\in A\cap B\left(x,\frac1n\right) \] 인 점을 하나씩 택할 수 있고, 그러면 \(a_n\to x\)이다. 역으로 \(a_n\in A\)이고 \(a_n\to x\)이면 임의의 \(r>0\)에 대하여 충분히 큰 \(n\)에서 \(a_n\in B(x,r)\cap A\)이므로 첫 번째 명제에 의해 \(x\in\overline A\)이다.

증명 \(F\subseteq\overline F\)는 항상 성립한다. 따라서 \(F\)가 닫힌집합이면 \(\overline F\subseteq F\)이고 \(F=\overline F\)이다. 반대로 \(F=\overline F\)이면 \(\overline F\)가 닫힌집합이므로 \(F\)도 닫힌집합이다. 정리 3.6의 등식 \(\overline F=F\cup F'\)에 의해 \(F=\overline F\)와 \(F'\subseteq F\)는 동치이다.

이제 \(F\)가 닫힌집합이고 \(x_n\in F\), \(x_n\to x\)라고 하자. 정리 3.6에 의해 \(x\in\overline F=F\)이다. 역으로 수열에 관한 조건이 성립한다고 하자. 임의의 \(x\in\overline F\)에 대하여 정리 3.6에 의해 \(x_n\in F\)이고 \(x_n\to x\)인 수열이 존재하므로 \(x\in F\)이다. 따라서 \(\overline F\subseteq F\)이고 \(F\)는 닫힌집합이다.

증명 첫 번째 명제는 정의 직전에 보인 단조성 및 단조수렴 정리에서 따른다. \(L=\varlimsup a_n\)이라고 하자. \(s_n=\sup\{a_k\mid k\geq n\}\)이면 \(s_n\downarrow L\)이다. \(n_0=0\)으로 두고 귀납적으로 \(N_j>n_{j-1}\)이고 \(s_{N_j}<L+1/j\)가 되도록 \(N_j\)를 택한 뒤, 상한의 정의에 따라 \(n_j\geq N_j\)이면서 \[ a_{n_j}>s_{N_j}-\frac1j \] 가 되도록 택할 수 있다. 그러면 \[ L-\frac1j\leq s_{N_j}-\frac1j<a_{n_j}\leq s_{N_j}<L+\frac1j \] 이므로 \(a_{n_j}\to L\)이다. 따라서 \(L\)은 부분수열극한이다.

한편 \(a_{n_j}\to M\)인 임의의 부분수열을 택하자. 임의의 \(N\)에 대하여 충분히 큰 \(j\)이면 \(n_j\geq N\)이므로 \(a_{n_j}\leq s_N\)이다. \(j\to\infty\)로 보내면 \(M\leq s_N\)이고, 다시 \(N\to\infty\)로 보내면 \(M\leq L\)이다. 따라서 \(L\)은 부분수열극한 중 최댓값이다. 하극한에 대해서도 같은 논리를 적용하면 최솟값임을 얻는다.

마지막으로 \(a_n\to A\)이면 모든 부분수열도 \(A\)로 수렴하므로 두 번째 명제에 의해 상극한과 하극한이 모두 \(A\)이다. 역으로 \[ \varliminf a_n=\varlimsup a_n=L \] 이라고 하자. \(\ell_n\leq a_n\leq s_n\)이고 \(\ell_n\to L\), \(s_n\to L\)이므로 샌드위치 정리에 의해 \(a_n\to L\)이다.

증명 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 첫 번째 수열 \(\{a_n^{(1)}\}\)에서 수렴하는 부분수열을 골라 그 첨자열을 \[ n_1^{(1)}<n_2^{(1)}<\cdots \] 라고 하자. 이 첨자열을 따라 두 번째 수열을 보면 여전히 유계이므로, 다시 수렴하는 부분수열을 골라 \[ n_1^{(2)}<n_2^{(2)}<\cdots \] 라고 하자. 여기서 두 번째 첨자열은 첫 번째 첨자열의 부분수열이다. 이 과정을 반복하여, 각 \(k\)에 대하여 \(\{n_j^{(k+1)}\}\)가 \(\{n_j^{(k)}\}\)의 부분수열이고 \(\{a_{n_j^{(k)}}^{(k)}\}\)가 수렴하도록 할 수 있다.

이제 \(n_j=n_j^{(j)}\)로 둔다. 각 단계의 첨자열이 앞 단계 첨자열의 부분수열이므로 \[ n_j^{(j)}\geq n_j^{(j-1)}>n_{j-1}^{(j-1)}, \] 즉 \(n_1<n_2<\cdots\)이다. 고정된 \(k\)에 대하여 \(j\geq k\)이면 \(n_j\)는 \(k\)번째 단계에서 얻은 첨자열의 원소이므로, \(\{a_{n_j}^{(k)}\}_{j\geq k}\)는 수렴하는 수열 \(\{a_{n_j^{(k)}}^{(k)}\}\)의 부분수열이다. 따라서 \(\{a_{n_j}^{(k)}\}\)는 수렴한다.

증명 먼저 \(K\)가 유계임을 보이자. \(K=\varnothing\)이면 자명하므로 \(K\neq\varnothing\)이라 하고 \(p\in K\)를 하나 고르자. \(\{B(p,n)\}_{n\in\mathbb N}\)은 \(K\)의 열린덮개이므로 유한부분덮개가 존재한다. 따라서 어떤 \(N\)에 대하여 \(K\subseteq B(p,N)\)이고 \(K\)는 유계이다.

닫힘도 \(K=\varnothing\)이면 자명하므로 계속해서 \(K\neq\varnothing\)이라고 하자. 이제 \(x\in X\setminus K\)라고 하자. 각 \(y\in K\)에 대하여 \(r_y=d(x,y)/2>0\)로 두면 \(\{B(y,r_y)\}_{y\in K}\)는 \(K\)의 열린덮개이다. 컴팩트성에 의해 \[ K\subseteq B(y_1,r_{y_1})\cup\cdots\cup B(y_m,r_{y_m}) \] 인 유한부분덮개가 존재한다. \(\delta=\min\{r_{y_1},\ldots,r_{y_m}\}>0\)로 두자. \(z\in K\)이면 어떤 \(i\)에 대하여 \(z\in B(y_i,r_{y_i})\)이고 \[ d(x,z)\geq d(x,y_i)-d(y_i,z)>2r_{y_i}-r_{y_i}=r_{y_i}\geq\delta. \] 따라서 \(B(x,\delta)\cap K=\varnothing\)이다. 그러므로 \(X\setminus K\)는 열린집합이고 \(K\)는 닫힌집합이다.

증명 \(X=\varnothing\)이면 두 성질이 모두 자명하므로 \(X\neq\varnothing\)이라고 하자. 먼저 \(X\)가 컴팩트라고 하자. 수열 \(\{x_n\}\)이 수렴하는 부분수열을 갖지 않는다고 가정하자. 그러면 임의의 \(x\in X\)에 대하여 어떤 \(r_x>0\)가 존재하여 \(B(x,r_x)\)에 속하는 항은 유한 개뿐이다. 그렇지 않으면 \(B(x,1/k)\)에 들어가는 항을 첨자가 증가하도록 하나씩 골라 \(x\)로 수렴하는 부분수열을 만들 수 있기 때문이다. \(\{B(x,r_x)\}_{x\in X}\)는 \(X\)의 열린덮개이므로 유한부분덮개가 존재한다. 그러나 유한 개의 공 각각에 들어가는 항의 첨자가 유한 개뿐이면 자연수 전체가 유한 개의 유한집합의 합집합이 되어야 하므로 모순이다. 따라서 \(X\)는 점열컴팩트이다.

역으로 \(X\)가 점열컴팩트라고 하자. 먼저 \(X\)가 전유계임을 보이자. 전유계가 아니면 어떤 \(\varepsilon>0\)에 대하여 유한 개의 반지름 \(\varepsilon\)인 열린공으로 \(X\)를 덮을 수 없다. \(x_1\in X\)를 택하고, 이미 \(x_1,\ldots,x_n\)을 택했다면 \[ x_{n+1}\notin\bigcup_{j=1}^nB(x_j,\varepsilon) \] 가 되도록 택할 수 있다. 그러면 \(m\neq n\)일 때 \(d(x_m,x_n)\geq\varepsilon\)이므로 이 수열은 수렴하는 부분수열을 가질 수 없다. 이는 점열컴팩트성에 모순이다.

이제 \(\mathcal U\)가 \(X\)의 열린덮개라고 하자. 어떤 \(\delta>0\)가 존재하여 모든 \(x\in X\)에 대해 \(B(x,\delta)\)가 \(\mathcal U\)의 어떤 원소에 포함됨을 보이자. 그렇지 않으면 각 \(n\)에 대하여 \(B(x_n,1/n)\)이 \(\mathcal U\)의 어느 원소에도 포함되지 않는 점 \(x_n\)을 택할 수 있다. 점열컴팩트성에 의해 어떤 부분수열 \(x_{n_j}\to x\)가 존재한다. \(x\in U\in\mathcal U\)인 \(U\)를 택하면, \(U\)가 열려 있으므로 어떤 \(r>0\)에 대하여 \(B(x,r)\subseteq U\)이다. 충분히 큰 \(j\)에 대하여 \[ d(x_{n_j},x)<\frac r2,\quad \frac1{n_j}<\frac r2 \] 이므로 \(B(x_{n_j},1/n_j)\subseteq B(x,r)\subseteq U\)가 되어 모순이다.

전유계성에 의해 유한 개의 점 \(y_1,\ldots,y_m\)가 존재하여 \[ X\subseteq\bigcup_{i=1}^mB\left(y_i,\frac\delta2\right) \] 이다. 각 \(i\)에 대하여 \(B(y_i,\delta)\subseteq U_i\)인 \(U_i\in\mathcal U\)를 택하면 \(U_1,\ldots,U_m\)이 \(X\)를 덮는다. 따라서 \(X\)는 컴팩트이다.

증명 컴팩트 집합이 닫혀 있고 유계인 것은 정리 3.10에서 증명하였다. 이제 \(K\subseteq\mathbb R^n\)이 닫혀 있고 유계라고 하자. \(K\)가 컴팩트가 아니라고 가정하면 \(K\)의 어떤 열린덮개 \(\mathcal U\)는 유한부분덮개를 갖지 않는다.

\(K\)가 유계이므로 어떤 \(M>0\)에 대하여 \[ K\subseteq Q_0=[-M,M]^n \] 이다. \(Q_0\)의 각 좌표구간을 이등분하면 \(2^n\)개의 닫힌 정육면체로 나뉜다. 그중 적어도 하나는 \(K\)와의 교집합이 \(\mathcal U\)의 유한 개 원소로 덮이지 않는다. 그러한 정육면체를 \(Q_1\)로 택한다. 같은 과정을 반복하면 \[ Q_0\supseteq Q_1\supseteq Q_2\supseteq\cdots \] 인 닫힌 정육면체의 열을 얻으며, 각 \(Q_k\cap K\)는 \(\mathcal U\)의 유한 개 원소로 덮이지 않는다. 특히 \(Q_k\cap K\neq\varnothing\)이고, \(Q_k\)의 한 변의 길이는 \(2M/2^k\)이다.

각 좌표에서 생기는 닫힌구간들은 축소구간의 열을 이루므로 정리 1.5의 축소구간 정리에 의해 모든 \(Q_k\)에 속하는 점 \(x\in\mathbb R^n\)이 유일하게 존재한다. 각 \(k\)에 대하여 \(x_k\in Q_k\cap K\)를 택하면 \[ d_2(x_k,x)\leq\frac{2M\sqrt n}{2^k}\longrightarrow0. \] 따라서 \(x_k\to x\)이고, \(K\)가 닫혀 있으므로 \(x\in K\)이다.

\(\mathcal U\)가 \(K\)를 덮으므로 \(x\in U\)인 \(U\in\mathcal U\)가 존재한다. \(U\)가 열려 있으므로 어떤 \(r>0\)에 대하여 \(B(x,r)\subseteq U\)이다. 충분히 큰 \(k\)에서는 \(2M\sqrt n/2^k<r\)이고 \(x\in Q_k\)이므로 \(Q_k\subseteq B(x,r)\subseteq U\)이다. 그러면 \(Q_k\cap K\)가 \(U\) 하나로 덮여 모순이다. 따라서 \(K\)는 컴팩트이다.