이 장에서는 리만 다중적분을 살펴본다. 직사각형 영역에서의 적분부터 시작하여 일반 영역으로 확장하고, 푸비니 정리와 변수변환 정리를 통해 적분을 계산하는 방법을 살펴본다.
다중적분의 정의
\(\mathbb{R}^n\)에서 \(R = [a_1,\, b_1] \times \cdots \times [a_n,\, b_n]\) 형태의 집합을 직사각형 집합(rectangle) 또는 간단히 직사각형이라고 부른다. 직사각형의 부피(volume)를 \(|R| = \prod_{i=1}^{n} (b_i - a_i)\)로 정의한다.
직사각형 \(R\)의 분할(partition) \(P\)는 각 좌표축에 대한 분할들의 곱이다. 즉, 각 구간 \([a_i,\, b_i]\)를 \[a_i = x_{i,0} < x_{i,1} < \cdots < x_{i,m_i} = b_i\]로 분할하면, \(R\)은 부분직사각형들 \[R_{j_1,\ldots,j_n} = [x_{1,j_1 -1} ,\, x_{1,j_1}] \times [x_{2,j_2 -1} ,\, x_{2,j_2}] \times \cdots \times [x_{n,j_n -1} ,\, x_{n,j_n}]\] 으로 나뉜다. 서로 다른 부분직사각형은 서로 내부를 공유하지 않는다. 또한 모든 부분직사각형을 합집합하면 원래의 직사각형과 같다.
직사각형 \(R\)에서 유계인 함수 \(f: R \to \mathbb{R}\)에 대하여, \(R\)의 각 부분직사각형 \(S\)에서 다음과 같이 정의하자. \[m_S = \inf\{f(x) \mid x \in S\} ,\quad M_S = \sup\{f(x) \mid x \in S\} .\]
이때 리만 상합과 리만 하합을 다음과 같이 정의한다. \[U(f,\, P) = \sum_{S} M_S |S|, \quad L(f,\, P) = \sum_{S} m_S |S|.\]
일변수 함수와 마찬가지로, 상적분과 하적분을 각각 다음과 같이 정의한다. \[\begin{aligned} \overline{\int_R} f(x) \,dx&= \inf \left\{ U(f,\, P) \mid P \text{ is a partition of }R\right\}, \\[6pt] \underline{\int_R} f(x) \,dx &= \sup \left\{ L(f,\, P)\mid P \text{ is a partition of }R\right\}. \end{aligned}\] 함수 \(f\)가 \(R\)에서 리만 적분 가능하다(Riemann integrable)는 것은 \(R\)에서 \(f\)가 유계이고 \(f\)의 상적분과 하적분이 같은 것이다. 이 공통값을 \[\int_R f(x) dx\] 로 나타낸다. 이 값을 간단히 \(\int_R f\)로 나타내기도 한다.
\(R\)이 \(\mathbb{R}^2\)의 부분집합인 경우 이 적분을 \(\iint_R f(x,\, y) dA\)로 나타내고, \(R\)이 \(\mathbb{R}^3\)의 부분집합인 경우 이 적분을 \(\iiint_R f(x,\, y,\, z) dV\)로 나타낸다.
직사각형이 아니고 유계인 집합 \(E \subseteq \mathbb{R}^n\) 위에서 적분을 정의하기 위해 특성함수(characteristic function)를 도입한다. \[\chi_E(x) = \begin{cases} 1 & \text{if }\, x \in E, \\ 0 & \text{if }\, x \notin E. \end{cases}\]
함수 \(f: E \to \mathbb{R}\)이 유계일 때, \(E\)를 포함하는 직사각형 \(R\)에 대해 다음과 같이 정의한다. \[\int_E f(x) dx = \int_R f(x) \, \chi_E (x) dx .\] 이와 같이 정의한 적분의 값은 \(R\)의 선택과 상관없이 일정하다.
적분 가능성과 적분의 성질
집합 \(E\)가 조르단 가측(Jordan measurable)이라는 것은 \(\chi_E\)가 적분 가능한 것을 뜻한다. 이때 \[|E| = \int_R \chi_E\]를 \(E\)의 조르단 측도(Jordan measure) 또는 부피 또는 체적이라고 부른다.
정리 10.1.
집합 \(E\)가 컴팩트이고 조르단 가측집합이며 함수 \(f\)가 \(E\)에서 연속이면 \(f\)는 \(E\)에서 적분 가능하다.
증명 개요 컴팩트 집합에서 연속인 함수가 균등연속이라는 성질을 사용한다. 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 충분히 세밀한 분할을 잡으면 상합과 하합의 차이가 \(\varepsilon\) 미만이 되도록 만들 수 있다.
실함수의 적분과 마찬가지로 다변수함수의 적분은 다음과 같은 성질을 가진다.
- 선형성: \(f\)와 \(g\)가 적분 가능하고 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 실수일 때,\[\int_E (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_E f + \beta \int_E g .\]
- 단조성: \(f \leq g\)이면 \[\int_E f \leq \int_E g.\]
- 영역의 가법성: \(E = E_1 \cup E_2\)이고 \(E_1 \cap E_2\)의 측도가 0이면 \[\int_E f = \int_{E_1} f + \int_{E_2} f .\]
- 평행이동 불변성: \(a\in\mathbb{R}^n\), \(E\subseteq\mathbb{R}^n\)이고 \(E+a = \left\{ x+a \mid x\in E \right\}\)일 때 \[\int_{E + a} f(x - a) dx = \int_E f(x) dx.\]
문제 10.1. \(E\)가 \(\mathbb{R}^2\)에서 세 점 \((0,\,0)\), \((2,\,3)\), \((4,\,0)\)을 잇는 삼각형과 그 안쪽을 포함하는 영역일 때, 리만 합을 사용하여 \(E\) 위에서 함수 \(f(x,\,y)=x-2y\)의 적분값을 구하시오.
문제 10.2. 다변수함수의 적분의 기본성질을 증명하시오. 즉 적분의 선형성, 단조성, 영역의 가법성, 평행이동 불변성을 증명하시오.
정리 10.2. (중적분의 평균값 정리)
\(f\)가 조르단 가측이고 연결된 컴팩트 집합 \(E\)에서 연속이면, 다음을 만족시키는 \(c \in E\)가 존재한다. \[\int_E f = f(c) |E|\]
증명
\(f\)가 연속함수이므로 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 가진다. 이때 \[m |E| \leq \int_E f \leq M |E|\] 이므로, 사잇값 정리에 의해 \(f(c)=\frac{1}{\lvert E \rvert} \int_E f(x)dx \)를 만족시키는 점 \(c\in E\)가 존재한다.
반복적분과 푸비니 정리
직사각형 \(R = [a,\, b] \times [c,\, d]\)에서 함수 \(f(x,\, y)\)의 적분을 계산하는 유용한 방법은 반복적분이다.
정리 10.3. (푸비니 정리 - 직사각형의 경우)
\(f\)가 직사각형 \(R = [a,\, b] \times [c,\, d]\)에서 연속이면 다음이 성립한다. \[\iint_R f(x,\, y) dA = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,\, y) dy\right) dx = \int_c^d \left(\int_a^b f(x,\, y) dx\right) dy.\tag{10.1}\] 위 등식에서 두 번째 적분과 세 번째 적분을 반복적분이라고 부른다.
증명
직사각형 \(R = [a,\, b] \times [c,\, d]\)에서 연속함수 \(f\)에 대해 다음이 성립함을 보이자. \[\iint_R f(x,\, y) dA = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,\, y) dy\right) dx\] 먼저 \(f(x,\, y) = g(x)h(y)\) 형태의 함수를 생각하자. 여기서 \(g: [a,\, b] \to \mathbb{R}\)과 \(h: [c,\, d] \to \mathbb{R}\)은 연속함수이다. 일변수 적분의 정의에 의하여, 분할 \(P=P_x \times P_y\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} \iint_R g(x)h(y) dA &= \int_R g(x)h(y) dA \\[6pt] &= \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i,j} g(x_i^*)h(y_j^*) \Delta x_i \Delta y_j \\[6pt] &= \lim_{\|P_x\| \to 0} \sum_{i} g(x_i^*) \Delta x_i \cdot \lim_{\|P_y\| \to 0} \sum_{j} h(y_j^*) \Delta y_j \\[6pt] &= \int_a^b g(x) dx \cdot \int_c^d h(y) dy \end{aligned}\] 한편, 반복적분을 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \int_a^b \left(\int_c^d g(x)h(y) dy\right) dx &= \int_a^b g(x) \left(\int_c^d h(y) dy\right) dx \\[6pt] &= \int_a^b g(x) dx \cdot \int_c^d h(y) dy \end{aligned}\] 따라서 분리가능 함수에 대해서는 바라는 등식이 성립한다.
\(R\)의 분할 \(P = P_x \times P_y\)를 생각하자. 여기서 \(P_x\)와 \(P_y\)는 각각 다음과 같은 분할이다. \[\begin{aligned} P_x &: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_m = b , \\[6pt] P_y &: c = y_0 < y_1 < \cdots < y_n = d . \end{aligned}\] 부분직사각형 \(R_{ij} = [x_{i-1},\, x_i] \times [y_{j-1},\, y_j]\)에서 함숫값이 상수 \(c_{ij}\)인 계단함수 \[s(x,\, y) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij} \chi_{R_{ij}}(x,\, y)\] 를 생각하자. 여기서 \(\chi_{R_{ij}}\)는 \(R_{ij}\)의 특성함수이다. 이 계단함수는 분리가능 함수들의 일차결합으로 표현된다. \[s(x,\, y) = \sum_{i,j} c_{ij} \chi_{[x_{i-1},x_i]}(x) \cdot \chi_{[y_{j-1},y_j]}(y).\] 적분의 선형성을 사용하여 중적분을 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \iint_R s(x,\, y) dA &= \sum_{i,j} c_{ij} \iint_R \chi_{R_{ij}}(x,\, y) dA \\[6pt] &= \sum_{i,j} c_{ij} (x_i - x_{i-1})(y_j - y_{j-1}). \end{aligned}\] 반복적분의 계산 결과도 다음과 같다. \[\begin{aligned} \int_a^b \left(\int_c^d s(x,\, y) dy\right) dx &= \sum_{i=1}^{m} \int_{x_{i-1}}^{x_i}\left( \sum_{j=1}^{n} c_{ij}\left( y_j - y_{j-1}\right) \right) dx \\[6pt] &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij} (x_i - x_{i-1}) (y_j - y_{j-1}). \end{aligned}\]
이제 적분함수의 연속성을 보이자. 즉 \(F(x) = \int_c^d f(x,\, y) dy\)가 \([a,\, b]\)에서 연속임을 보이자.
\(x_0 \in [a,\, b]\)와 \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 하자. \(f\)는 컴팩트 집합 \(R\)에서 균등연속이므로, \(\delta > 0\)이 존재하여 \(\|(x_1,\, y_1) - (x_2,\, y_2)\| < \delta\)일 때마다 \[|f(x_1,\, y_1) - f(x_2,\, y_2)| < \frac{\varepsilon}{d - c}\] 이 성립한다. 따라서 \(|x - x_0| < \delta\)일 때 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} |F(x) - F(x_0)| &= \left|\int_c^d f(x,\, y) dy - \int_c^d f(x_0,\, y) dy\right| \\[6pt] &= \left|\int_c^d [f(x,\, y) - f(x_0,\, y)] dy\right| \\[6pt] &\leq \int_c^d |f(x,\, y) - f(x_0,\, y)| dy \\[6pt] &< \int_c^d \frac{\varepsilon}{d - c} dy = \varepsilon . \end{aligned}\] 그러므로 \(F\)는 연속이다.
\(f\)가 \(R\)에서 연속함수라고 하자. 그러면 \(f\)는 \(R\)에서 균등연속이다. 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해, 충분히 세밀한 분할 \(P\)를 택하면 각 부분직사각형 \(R_{ij}\)에서 \(f\)의 진동이 \(\varepsilon/|R|\) 미만이 되도록 할 수 있다. 계단함수 \(s^-\)와 \(s^+\)를 다음과 같이 정의하자: \[\begin{aligned} s^-(x,\, y) &= \sum_{i,j} m_{ij} \chi_{R_{ij}}(x,\, y), \\[6pt] s^+(x,\, y) &= \sum_{i,j} M_{ij} \chi_{R_{ij}}(x,\, y). \end{aligned}\] 여기서 \(m_{ij} = \inf\{f(x,\, y) \mid (x,\, y) \in R_{ij}\}\)이고 \(M_{ij} = \sup\{f(x,\, y) \mid (x,\, y) \in R_{ij}\}\)이다. 그러면 \(s^- \leq f \leq s^+\)이고 \[\iint_R (s^+ - s^-) dA < \varepsilon\] 이다. 계단함수에 대해서는 푸비니 정리가 성립하므로 다음 등식을 얻는다. \[\iint_R s^{\pm} dA = \int_a^b \left(\int_c^d s^{\pm}(x,\, y) dy\right) dx.\] 적분의 단조성에 의하여 다음 부등식을 얻는다. \[\begin{gathered} \iint_R s^- dA \leq \iint_R f dA \leq \iint_R s^+ dA ,\\[3pt] \int_a^b \left(\int_c^d s^-(x,\, y) dy\right) dx \leq \int_a^b \left(\int_c^d f(x,\, y) dy\right) dx \leq \int_a^b \left(\int_c^d s^+(x,\, y) dy\right) dx. \end{gathered}\] 여기에 \(\varepsilon \to 0\)인 극한을 취하면 다음을 얻는다. \[\begin{aligned} \iint_R s^{\pm} dA &\to \iint_R f dA ,\\[6pt] \int_a^b \left(\int_c^d s^{\pm}(x,\, y) dy\right) dx &\to \int_a^b \left(\int_c^d f(x,\, y) dy\right) dx . \end{aligned}\] 따라서 \[\iint_R f(x,\, y) dA = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,\, y) dy\right) dx\tag{10.2}\] 이다. \(x\)와 \(y\)의 역할을 바꾸면 같은 방법으로 적분 순서를 바꾼 경우도 같은 값을 가짐을 보일 수 있다. \[\iint_R f(x,\, y) dA = \int_c^d \left(\int_a^b f(x,\, y) dx\right) dy.\tag{10.3}\] 두 등식 (10.2)와 (10.3)를 결합하면 바라는 결과를 얻는다.
푸비니 정리를 직사각형이 아닌 영역으로 확장하면 다음과 같다.
정리 10.4. (푸비니 정리 - 직사각형이 아닌 영역)
\(E \subseteq \mathbb{R}^2\)가 조르단 가측이고 \(f\)가 \(E\)에서 연속이면, 다음이 성립한다.
- \(E = \{(x,\, y) \mid a \leq x \leq b,\, \phi(x) \leq y \leq \psi(x)\}\) 형태일 때 \[\iint_E f(x,\, y) dA = \int_a^b \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,\, y) dy\, dx.\]
- \(E = \{(x,\, y) \mid c \leq y \leq d,\, \alpha(y) \leq x \leq \beta(y)\}\) 형태일 때 \[\iint_E f(x,\, y) dA = \int_c^d \int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} f(x,\, y) dx\, dy.\]
증명
\(E = \{(x,\, y) \mid a \leq x \leq b,\, \phi(x) \leq y \leq \psi(x)\}\) 형태의 영역에 대해 증명하자. \(E\)를 포함하는 직사각형 \(R = [a,\, b] \times [c,\, d]\)를 택한다. 여기서 \(c \leq \phi(x) \leq \psi(x) \leq d\)이다. 확장된 함수를 다음과 같이 정의한다. \[F(x,\, y) = f(x,\, y) \cdot \chi_E(x,\, y) = \begin{cases} f(x,\, y) & \text{if } (x,\, y) \in E , \\ 0 & \text{if } (x,\, y) \notin E . \end{cases} \] \(E\)가 조르단 가측이므로 \(\chi_E\)는 거의 모든 점에서 연속이고, \(f\)가 연속이므로 \(F\)는 거의 모든 점에서 연속이다. 따라서 \[\int_E f = \iint_R F(x,\, y) dA = \int_a^b \left(\int_c^d F(x,\, y) dy\right) dx\] 이다. 각각의 \(x \in [a,\, b]\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\int_c^d F(x,\, y) dy = \int_c^d f(x,\, y) \chi_E(x,\, y) dy.\] \(E\)의 정의에 의해 \(\chi_E(x,\, y) = 1\)인 것은 \(\phi(x) \leq y \leq \psi(x)\)일 때뿐이므로 다음 결과를 얻는다. \[\int_c^d F(x,\, y) dy = \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,\, y) dy\] 따라서 \[\int_E f = \int_a^b \left(\int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,\, y) dy\right) dx.\]
\(E = \{(x,\, y) \mid c \leq y \leq d,\, \alpha(y) \leq x \leq \beta(y)\}\) 형태의 영역에 대해서도 동일한 방법으로 \[\int_E f = \int_c^d \left(\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} f(x,\, y) dx\right) dy\] 를 얻는다.
일반적으로 영역 \(E\)가 유한 개의 표준 영역(함수 그래프로 정의된 영역)의 합집합으로 표현될 때, 각 부분에 푸비니 정리를 적용하고 결과를 합하면 된다. 이때 겹치는 부분의 측도가 0이어야 한다.
보기 1.
함수 \(f\)가 원판 \(D = \{(x,\, y) \mid x^2 + y^2 \leq r^2\}\)에서 연속이라고 하자. \(D\)에서 \(f\)의 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
- \(y\)에 대하여 먼저 적분하는 경우 \(D = \left\{(x,\, y) \mid -r \leq x \leq r,\, -\sqrt{r^2 - x^2} \leq y \leq \sqrt{r^2 - x^2}\right\}\)이므로 \[\iint_D f(x,\, y) dA = \int_{-r}^r \int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} f(x,\, y) dy\, dx.\]
- \(x\)에 대하여 먼저 적분하는 경우 \(D = \left\{(x,\, y) \mid -r \leq y \leq r,\, -\sqrt{r^2 - y^2} \leq x \leq \sqrt{r^2 - y^2}\right\}\)이므로 \[\iint_D f(x,\, y) dA = \int_{-r}^r \int_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} f(x,\, y) dx\, dy.\]
고차원의 경우도 유사하게 반복적분으로 계산할 수 있다. 특히 \(\mathbb{R}^3\)에서 다음과 같이 중적분을 세 번 반복하는 적분으로 나타낼 수 있다. \[\iiint_E f(x,\, y,\, z) dV = \int \int \int f(x,\, y,\, z) dx\, dy\, dz.\] 여기서 적분 순서는 영역의 형태에 따라 선택한다.
보기 2.
사면체 \(T = \left\{(x,\, y,\, z) \mid x,\, y,\, z \geq 0,\, x + y + z \leq 1\right\}\)의 부피는 다음과 같다. \[\begin{aligned} |T| &= \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} dz\, dy\, dx \\[6pt] &= \int_0^1 \int_0^{1-x} (1 - x - y) dy\, dx \\[6pt] &= \int_0^1 \frac{(1-x)^2}{2} dx = \frac{1}{6}. \end{aligned}\]
문제 10.3. 함수 \(f\)와 집합 \(E\)가 다음과 같이 주어졌을 때, \(E\) 위에서 \(f\)의 적분을 계산하시오.
- \(f(x,\,y)=\frac{1}{1+x^2}\), \(E\)는 두 직선 \(x=1\), \(y=0\)과 곡선 \(y=x^3\)으로 둘러싸인 영역.
- \(f(x,\,y)=x+y\), \(E\)는 세 점 \((0,\,0)\), \((0,\,1)\), \((2,\,0)\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 영역.
- \(f(x,\,y,\,z)=x\), \(E\)는 세 부등식 \(0\le z\le 1-x^2\), \(0\le y\le x^2 + z^2\)을 만족시키는 점 \((x,\,y,\,z)\)의 모임.
문제 10.4. \(D\)가 \(y = x^2\)과 \(y = 2x\)로 둘러싸인 영역일 때, 적분 \(\iint_D xy\, dA\)를 계산하시오.
변수변환
일변수 함수의 적분에서 치환적분에 해당하는 것이 다변수 함수의 적분에서는 변수변환 정리이다.
정리 10.5. (변수변환 정리)
\(\phi: U \to V\)가 열린집합 사이의 일대일대응이고, \(\phi\)와 \(\phi^{-1}\)이 모두 \(C^1\)이며, \(K \subseteq U\)가 컴팩트 조르단 가측집합이고, \(f\)가 \(\phi(K)\)에서 연속이며, \(U\)에서 \(\det D \phi (x)\ne 0\)이면 다음이 성립한다. \[\int_{\phi(K)} f(y) dy = \int_K f(\phi(x)) |\det D\phi(x)| dx.\tag{10.4}\] 여기서 \(\det D\phi(x)\)를 야코비 행렬식(Jacobian)이라고 부른다.
증명
먼저 \(\phi(x) = Ax + b\)인 아핀 변환을 생각하자. 여기서 \(A\)는 가역행렬로 표현되는 선형변환이다. 평행이동은 적분값을 변화시키지 않으므로 \(\phi(x) = Ax\)인 선형변환만 고려하면 된다.
직사각형 \(R\)에 대해, \(A(R)\)의 부피는 \(|\det A| \cdot |R|\)이다. 따라서 \[\int_{A(R)} f(y) dy = |\det A| \int_R f(Ax) dx\] 이다. 이를 직사각형이 아닌 집합으로 확장하면 \[\int_{A(K)} f(y) dy = |\det A| \int_K f(Ax) dx\] 이다. \(\phi\)가 \(C^1\)이므로, 점 \(x_0 \in K\) 근처에서 다음이 성립한다. \[\phi(x_0 + h) = \phi(x_0) + D\phi(x_0)h + o(\|h\|).\] 즉 충분히 작은 직사각형 \(R\)에 대하여, \(\phi\)는 근사적으로 선형변환 \(x \mapsto \phi(x_0) + D\phi(x_0)(x - x_0)\)처럼 행동한다. \(K\)를 충분히 작은 직사각형들 \(\{R_i\}\)로 분할하자. 각 \(R_i\)에서 점 \(x_i\)를 선택한다. \(R_i\)가 충분히 작으면 \(\phi\)에 의한 \(R_i\)의 상(image)을 다음과 같이 근사할 수 있다. \[\begin{aligned} \phi(R_i) &\approx \phi(x_i) + D\phi(x_i)(R_i - x_i) , \\[6pt] |\phi(R_i)| &\approx |\det D\phi(x_i)| \cdot |R_i| . \end{aligned}\] 그러므로 분할이 충분히 세밀할 때 \(\phi(K)\)에서 \(f\)의 적분은 다음과 같이 근사된다. \[\begin{align*} \int_{\phi(K)} f(y) dy &\approx \sum_i f(\phi(x_i)) |\phi(R_i)| \tag{10.5}\\[6pt] &\approx \sum_i f(\phi(x_i)) |\det D\phi(x_i)| |R_i| \tag{10.6}\\[6pt] &\approx \int_K f(\phi(x)) |\det D\phi(x)| dx. \tag{10.7} \end{align*}\] \(\phi\)가 \(C^1\)이고 \(K\)가 컴팩트이므로 \(D\phi\)는 \(K\)에서 균등연속이고, \(|\det D\phi|\)도 균등연속이다. 그러므로 충분히 세밀한 분할을 택하면 선형 근사의 오차가 균등하게 0으로 수렴한다. 즉 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여, 충분히 세밀한 분할이 존재하여, 다음을 만족시킨다. \[\left|\frac{|\phi(R_i)|}{|R_i|} - |\det D\phi(x_i)|\right| < \varepsilon .\] 분할의 노름이 0으로 가는 극한을 취하면 (10.5)의 우변의 리만합이 (10.5)의 좌변의 적분에 수렴하고, (10.6)의 리만합이 각각 (10.7)의 적분에 수렴한다.
위 정리에서 야코비 행렬식의 절댓값 \(|\det D\phi(x)|\)는 변환 \(\phi\)가 점 \(x\) 근처에서 부피를 확대하거나 축소하는 비율을 나타낸다. 여기서 야코비 행렬식에 절댓값을 취하는 이유는 \(\det D\phi < 0\)일 때도 변환된 조각의 부피 양수여야 하기 때문이다.
참고로 위 정리에서 조건 "\(C^1\) 일대일대응"은 완화할 수 있다. 즉 측도 0인 집합을 제외하고 일대일이면 충분하다.
자주 사용하는 좌표변환은 다음과 같은 것들이 있다.
- \(\mathbb{R}^2\)에서 극좌표: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), (야코비 행렬식의 절댓값)\(= r\).
- \(\mathbb{R}^3\)에서 원기둥좌표: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\), (야코비 행렬식의 절댓값)\(=r\).
- \(\mathbb{R}^3\)에서 구면좌표: \(x = \rho\sin\phi\cos\theta\), \(y = \rho\sin\phi\sin\theta\), \(z = \rho\cos\phi\), (야코비 행렬식의 절댓값)\(=\rho^2\sin\phi\).
보기 3.
반지름의 길이가 \(R > 0\)인 공의 부피는 다음과 같다. \[\begin{aligned} V &= \iiint_{B_R} dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R \rho^2 \sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta \\[6pt] &= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{4\pi R^3}{3}. \end{aligned}\]
문제 10.5. \(D = \{(x,\, y) \mid x^2 + y^2 \leq R^2\}\)일 때, 적분 \(\iint_D e^{-(x^2+y^2)} dA\)를 계산하시오.
문제 10.6. 변환 \(u = x + y\), \(v = x - y\)의 야코비 행렬식을 구하고, \(\iint_D (x + y) dA\)를 계산하시오. 여기서 \(D\)는 꼭짓점이 \((0,\, 0)\), \((1,\, 0)\), \((1,\, 1)\), \((0,\, 1)\)인 정사각형이다.
문제 10.7. 구면좌표를 사용하여 \(\iiint_B z^2 dV\)를 계산하시오. 여기서 \(B\)는 반지름 \(a\)인 구이다.
문제 10.8. 함수 \(f\)와 집합 \(E\)가 다음과 같이 주어졌을 때, \(E\) 위에서 \(f\)의 적분을 계산하시오.
- \(f(x,\,y,\,z)=z^2\), \(E=\left\{ (x,\,y,\,z)\mid x^2 + y^2 +z^2 \le 6 ,\,\, z\ge x^2 + y^2 \right\}\).
- \(f(x,\,y,\,z)=e^z\), \(E=\left\{ (x,\,y,\,z)\mid x^2 +y^2 +z^2\le 9 ,\,\, x^2 +y^2 \le 1,\,\, z\ge 0\right\}\).
- \(f(x,\,y,\,z)=(x-y)z\), \(E=\left\{ (x,\,y,\,z)\mid x^2 + y^2 + z^2 \le 4 ,\,\, z\ge \sqrt{x^2 + y^2},\,\, x\ge 0\right\}\).
문제 10.9. 문제 9.10을 적분 구간이 \(t\)에 대한 함수인 경우로 확장하시오. \[\frac{d}{dt} \int_{a(t)}^{b(t)} f(x,\, t) dx = \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f}{\partial t} dx + f(b(t),\, t)b'(t) - f(a(t),\, t)a'(t).\]
이상적분과 특수함수
중적분도 변수가 하나인 함수의 적분과 마찬가지로 유계가 아닌 영역에서의 적분이나 유계가 아닌 함수의 적분을 생각할 수 있다. 이러한 적분을 이상적분이라고 부른다.
여기서는 중적분의 이상적분을 엄밀하게 정의하는 대신 몇 가지 예를 살펴보자.
다음과 같은 적분을 가우스 적분이라고 부른다. \[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}.\tag{10.8}\] 이 등식은 다음과 같이 증명할 수 있다. (물론 각 단계에서 등식을 엄밀하게 증명해야 한다.) \[\begin{aligned} \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\right)^2 &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx\, dy \\[6pt] &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2} r\, dr\, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi. \end{aligned}\]
이상적분이 유용하게 활용되는 예로서 감마함수가 있다. 감마함수(gamma function)는 다음과 같이 정의되는 함수이다. \[\Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt \quad (s > 0).\] 감마함수의 주요 성질은 다음과 같다.
- \(\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)\)
- \(\Gamma(n+1) = n!\) \,(\(n\)은 \(0\) 이상인 정수)
- \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)
이상적분을 사용하여 정의하는 또 다른 함수로 베타함수(beta function)가 있다. \[\mathrm{B}(p,\, q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt \quad (p > 0,\, q > 0).\]
베타함수와 감마함수의 관계는 다음과 같다. \[\mathrm{B}(p,\, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.\] 이것은 극좌표 치환과 감마함수의 정의를 사용하여 증명할 수 있다.
문제 10.10. 중적분의 이상적분의 엄밀한 정의를 조사하고, 가우스 적분 (10.8)을 엄밀하게 증명하시오.
문제 10.11. \(\int_0^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx\)를 감마함수로 표현하시오.
문제 10.12. 감마함수를 사용하여 다음을 보이시오.
- \(\int_{0}^{\infty} t^2 e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{4}\).
- \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{-\ln x}} = \sqrt{\pi}\).
- \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{\pi t-e^t}dt = \Gamma(\pi)\).
문제 10.13. 스탈링 공식(Stirling's approximation)과 그 증명 방법을 조사하시오.