이 장에서는 거듭제곱급수의 성질을 살펴보고, 함수를 테일러 급수로 표현하는 방법을 살펴본다.
함수열의 균등수렴
각 항이 함수로 이루어진 수열을 함수열(sequence of functions)이라고 부른다. \(\{f_n\}\)이 함수열이고 \(f\)가 함수이며 임의의 \(x\in I\)에 대하여 \[\lim_{n\rightarrow\infty} f_n (x) = f(x)\] 일 때, "\(I\)에서 \(\left\{ f_n \right\}\)이 \(f\)에 수렴한다"라고 말하고, \(f\)를 \(\left\{ f_n \right\}\)의 점별극한함수(pointwise limit function) 또는 간단히 극한함수(limit function)라고 부른다. 이것을 \(f_n \rightarrow f\)로 나타낸다.
문제 8.1. \(f_n (x)=x^n\)일 때 \([0,\,1]\)에서 함수열 \(\left\{ f_n \right\}\)의 극한함수를 구하시오.
문제 8.2. 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 모든 유리수를 한 번씩 취하는 수열이라고 하자. 그리고 함수 \(f_n\)을 다음과 같이 정의하자. \[f_n (x) = \begin{cases}1&\,\,\text{if }\,x\in\left\{x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n\right\},\\[6pt] 0&\,\,\text{if }\,x\notin\left\{x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n\right\}.\end{cases}\] 이때 함수열 \(\left\{ f_n \right\}\)의 극한함수를 구하시오.
함수열의 수렴은 다음과 같은 약점이 있다. 즉 함수열 \(\left\{ f_n \right\}\)이 \(f\)에 점별수렴할 때 다음과 같은 경우가 존재한다.
- 모든 \(f_n\)이 \(I\)에서 연속이지만 \(f\)는 \(I\)에서 연속이 아닐 수 있다.
- 모든 \(f_n\)이 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하지만 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 불가능할 수 있다.
- 모든 \(f_n\)이 미분 가능하지만 \(f\)는 미분 불가능할 수 있다.
이러한 단점을 보완하기 위해 균등수렴 개념이 필요하다. 만약 \[\lVert f \rVert_\infty = \sup \left\{ \lvert f(x) \rvert \mid x\in I \right\}\] 라고 정의된 노름 \(\lVert \cdot \rVert_\infty\)에 대하여 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \left\lVert f_n - f \right\rVert_\infty = 0\] 이 성립하면, "\(I\)에서 \(\left\{ f_n \right\}\)이 \(f\)에 균등수렴한다(converges uniformly)"라고 말한다. 이것을 \(f_n \rightrightarrows f\)로 나타낸다.
정의에 의하여, \(I\)에서 \(\left\{ f_n \right\}\)이 \(f\)에 균등수렴하면 \(\left\{ f_n \right\}\)은 \(f\)에 점별수렴한다.
문제 8.3. 구간 \((0,\,1]\)에서 일반항이 다음과 같이 정의되어 있는 함수열 \(\left\{ f_n \right\}\)이 균등수렴하는지 판정하시오.
- \(f_n(x) = \frac{1}{n+x}\)
- \(f_n(x) = \frac{\sin nx}{n}\)
- \(f_n(x) = nx(1-x)^n\)
- \(f_n(x) = \frac{1}{nx+1}\)
- \(f_n(x) = \frac{1}{x} + \frac{nx}{e^{nx}}\)
- \(f_n(x) = 2nxe^{-nx^2}\)
실수열의 수렴과 관련하여 코시 수열 조건을 사용한 것처럼 함수열의 균등수렴에 대해서도 코시 조건(Cauchy criterion)을 사용할 수 있다. 즉 함수열 \(\left\{ f_n \right\}\)이 \(I\)에서 균등수렴하기 위한 필요충분조건은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n>N\), \(m>N\)일 때마다 \(\lVert f_n - f_m \rVert_\infty < \varepsilon\)이 성립하는 것이다.
점별수렴에 비하여 균등수렴은 다음과 같은 더 좋은 성질을 가진다.
정리 8.1. (균등수렴과 연속성의 관계)
모든 \(f_n\)이 \(I\)에서 연속이고 \(\left\{ f_n \right\}\)이 \(f\)에 균등수렴하면 \(f\)도 \(I\)에서 연속이다.
증명
점 \(c\in I\)가 임의로 주어졌다고 하자.
\(\varepsilon > 0\)이라고 하자. \(f_n \rightrightarrows f\)이므로, 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때 모든 \(x \in I\)에 대해 \[|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3}\] 이 성립한다. \(n = N + 1\)로 고정시키자. \(f_{N+1}\)이 \(c\)에서 연속이므로 \(\delta > 0\)이 존재하여 \(|x - c| < \delta\)일 때 \[|f_{N+1}(x) - f_{N+1}(c)| < \frac{\varepsilon}{3}\] 이 성립한다. \(|x - c| < \delta\)일 때 \[\begin{aligned} |f(x) - f(c)| &\leq |f(x) - f_{N+1}(x)| + |f_{N+1}(x) - f_{N+1}(c)| + |f_{N+1}(c) - f(c)|\\ &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \end{aligned}\] 이므로, \(f\)는 \(c\)에서 연속이다.
문제 8.4. 구간 \([0,\,1]\)에서 함수 \(f_n\)을 다음과 같이 정의하자. \[f_n (x) = \begin{cases} n &\,\,\text{if }\,0 < x < \frac{1}{n} ,\\[6pt] 0&\,\,\text{if }\,x=0\,\text{ or }\,x\ge\frac{1}{n}.\end{cases}\] 이때 \([0,\,1]\)에서 \(\left\{f_n\right\}\)의 극한함수가 적분 가능하지만 \(\left\{f_n\right\}\)의 적분의 극한과 \(\left\{f_n\right\}\)의 극한함수의 적분이 일치하지 않음을 보이시오.
정리 8.2. (균등수렴과 적분의 관계)
모든 \(f_n\)이 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고 \(\left\{ f_n \right\}\)이 \(f\)에 균등수렴하면 \(f\)도 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고 다음이 성립한다. \[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b f_n (x) dx = \int_a^b f(x)dx .\tag{8.1}\]
증명
먼저 \(f\)가 적분 가능함을 보이자. \(\varepsilon > 0\)이라고 하자. 균등수렴의 정의에 의해 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때 모든 \(x \in [a,\,b]\)에서 \[|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3(b-a)}\] 이 성립한다. \(f_{N+1}\)이 적분 가능하므로 분할 \(P\)가 존재하여 \[U(f_{N+1},\, P) - L(f_{N+1},\, P) < \frac{\varepsilon}{3}\] 을 만족시킨다. 임의의 소구간 \([x_{i-1},\, x_i]\)에서 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} \sup_{[x_{i-1},\,x_i]} f(x) &\leq \sup_{[x_{i-1},\,x_i]} f_{N+1}(x) + \frac{\varepsilon}{3(b-a)}, \\[6pt] \inf_{[x_{i-1},\,x_i]} f(x) &\geq \inf_{[x_{i-1},\,x_i]} f_{N+1}(x) - \frac{\varepsilon}{3(b-a)}. \end{aligned}\] 이때 상합과 하합의 차는 다음과 같다. \[\begin{aligned} U(f,\, P) - L(f,\, P) &\leq U(f_{N+1},\, P) + \frac{\varepsilon}{3} - \left(L(f_{N+1},\, P) - \frac{\varepsilon}{3}\right)\\[6pt] &= U(f_{N+1},\, P) - L(f_{N+1},\, P) + \frac{2\varepsilon}{3}\\[6pt] &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{2\varepsilon}{3} = \varepsilon. \end{aligned}\] 따라서 \(f\)는 리만 적분 가능하다.
다음으로 등식 (8.1)을 증명하자. 다시 \(\varepsilon > 0\)이라고 하자. 균등수렴의 정의에 의해 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때 모든 \(x \in [a,\,b]\)에서 \[|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{b-a}\] 이 성립한다. 적분의 성질을 이용하면 다음 부등식을 얻는다. \[\begin{aligned} \left|\int_a^b f_n(x) dx - \int_a^b f(x) dx\right| &= \left|\int_a^b (f_n(x) - f(x)) dx\right|\\[6pt] &\leq \int_a^b |f_n(x) - f(x)| dx\\[6pt] &< \int_a^b \frac{\varepsilon}{b-a} dx = \varepsilon . \end{aligned}\] 그러므로 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고 \(\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) dx = \int_a^b f(x) dx\)이다.
정리 8.3. (균등수렴과 미분의 관계)
모든 \(f_n\)이 \([a,\,b]\)에서 미분 가능하고 실수열 \(\left\{ f_n (x_0 ) \right\}\)이 수렴하도록 하는 점 \(x_0 \in [a,\,b]\)가 존재하며 \(\left\{ f_n ' \right\}\)이 \([a,\,b]\)에서 연속이고 균등수렴한다고 하자. 그러면 \(\left\{f_n\right\}\)은 \([a,\,b]\)에서 균등수렴하며 \(\left\{f_n\right\}\)의 극한함수 \(f\)는 미분 가능하고 임의의 \(x\in [a,\,b]\)에 대하여 \(f_n ' (x) \rightarrow f ' (x)\)이다.
증명
\(\left\{ f_n ' \right\}\)의 극한함수를 \(g\)라고 놓자. 즉 \(f_n' \rightrightarrows g\)라고 하자.
먼저 \(\{f_n\}\)이 균등수렴함을 보이자. \(\{f_n(x_0)\}\)이 수렴하므로 코시 수열이다. 즉, \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(N_1\)이 존재하여 \(m > N_1\), \(n > N_1\)일 때 \[|f_m(x_0) - f_n(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2}\] 을 만족시킨다. \(\{f_n'\}\)이 균등수렴하므로, \(N_2\)가 존재하여 \(m,\, n > N_2\)일 때 모든 \(t \in [a,\,b]\)에서 \[|f_m'(t) - f_n'(t)| < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}\] 이 성립한다. \(N = \max\{N_1,\, N_2\}\)로 놓고 \(m,\, n > N\)이라 하자. 평균값 정리에 의하여, 임의의 \(x \in [a,\,b]\)에 대해 적당한 \(c\)가 \(x_0\)와 \(x\) 사이에 존재하여 \[(f_m - f_n)(x) - (f_m - f_n)(x_0) = (f_m' - f_n')(c) \cdot (x - x_0)\] 을 만족시킨다. 따라서 \[\begin{aligned} |f_m(x) - f_n(x)| &\leq |f_m(x_0) - f_n(x_0)| + |f_m'(c) - f_n'(c)| \cdot |x - x_0|\\[6pt] &< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2(b-a)} \cdot (b-a) = \varepsilon \end{aligned}\] 이다. 그러므로 코시 판정법에 의해 \(\{f_n\}\)은 균등수렴한다.
이제 \(f' = g\)임을 보이자. 임의의 \(x \in [a,\,b]\)와 충분히 작은 \(h \neq 0\)에 대해 \[\begin{align*} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - g(x) =& \left(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f_n(x+h) - f_n(x)}{h}\right)\\[6pt] &+ \left(\frac{f_n(x+h) - f_n(x)}{h} - f_n'(x)\right) + (f_n'(x) - g(x))\tag{8.2} \end{align*}\] 가 성립한다. 등식 (8.2)의 우변의 첫 번째 항에서 \(f_n \rightrightarrows f\)이므로, 충분히 큰 \(n\)에 대해 다음이 성립한다. \[\left|\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f_n(x+h) - f_n(x)}{h}\right| < \frac{\varepsilon}{3}.\] 등식 (8.2)의 우변의 세 번째 항에서 \(f_n' \rightrightarrows g\)이므로 다음이 성립한다. \[|f_n'(x) - g(x)| < \frac{\varepsilon}{3}.\tag{8.3}\] 등식 (8.2)의 우변의 두 번째 항에서 평균값 정리에 의해 적당한 \(\theta \in (0,\,1)\)이 존재하여 다음을 만족시킨다. \[\frac{f_n(x+h) - f_n(x)}{h} = f_n'(x + \theta h).\tag{8.4}\] \(f_n'\)이 균등수렴하고 \(g\)가 연속이므로, 충분히 작은 \(|h|\)에 대해 다음이 성립한다. \[|f_n'(x + \theta h) - f_n'(x)| < \frac{\varepsilon}{3}.\tag{8.5}\] (8.2), (8.3), (8.4), (8.5)를 결합하면 다음을 얻는다. \[\left|\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - g(x)\right| < \varepsilon.\] 즉 \(h \to 0\)일 때 \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \to g(x)\)이므로 \(f\)는 미분 가능하고 \(f'(x) = g(x)\)이다.
만약 함수열이 단조라면, 다음과 같은 유용한 성질을 가진다.
정리 8.4. (디니 정리)
함수열 \(\left\{ f_n \right\}\)의 모든 항이 컴팩트 공간 \(K\)에서 연속이고 실숫값을 갖는 함수라고 하자. 또한 임의의 \(x\in K\)와 임의의 \(n\)에 대하여 \(f_n (x) \le f_{n+1} (x)\)라고 하자. 만약 \(K\)에서 \(\left\{ f_n \right\}\)이 연속함수 \(f\)로 점별수렴하면, \(K\)에서 \(\left\{ f_n \right\}\)은 \(f\)로 균등수렴한다.
증명
\(g_n(x) = f(x) - f_n(x)\)라 하자. 각 \(g_n\)은 연속함수의 차이므로 연속이다. 또한 \(f_n \leq f_{n+1}\)이므로 \(g_{n+1}(x) \leq g_n(x)\). 즉, \(\{g_n\}\)은 감소수열이다. 그리고 점별수렴 조건에 의해 각 \(x \in K\)에서 \(g_n(x) \to 0\)이다.
\(\varepsilon > 0\)이라고 하자. 각 \(x \in K\)에 대해 점별수렴 조건에 의해 자연수 \(N_x\)가 존재하여 \[g_{N_x}(x) = f(x) - f_{N_x}(x) < \frac{\varepsilon}{2}\] 을 만족시킨다. \(g_{N_x}\)가 \(x\)에서 연속이므로, \(x\)의 열린근방 \(U_x\)가 존재하여 모든 \(y \in U_x\)에 대해 \[g_{N_x}(y) < \frac{3\varepsilon}{4}\] 을 만족시킨다. 여기서 \(\{U_x \mid x \in K\}\)는 \(K\)의 열린덮개이다. \(K\)가 컴팩트이므로 이 열린덮개의 유한부분덮개가 존재하여 다음을 만족시킨다. \[K \subseteq U_{x_1} \cup U_{x_2} \cup \cdots \cup U_{x_m}.\] \(N = \max\{N_{x_1},\, N_{x_2},\, \ldots,\, N_{x_m}\}\)이라고 하자.
\(y \in K\)이고 \(n > N\)일 때, \(y \in U_{x_i}\)인 어떤 \(i\)가 존재한다. \(\{g_n\}\)이 감소수열이고 \(n > N \geq N_{x_i}\)이므로 \[g_n(y) \leq g_N(y) \leq g_{N_{x_i}}(y) < \frac{3\varepsilon}{4} < \varepsilon\] 이다. 또한 \(g_n(y) = f(y) - f_n(y) \geq 0\)이다. 따라서 \(n > N\)일 때 모든 \(y \in K\)에 대하여 \[|f_n(y) - f(y)| = g_n(y) < \varepsilon\] 이다. 그러므로 \(\{f_n\}\)은 \(K\)에서 \(f\)로 균등수렴한다.
거듭제곱급수
함수열 \(\{f_n\}\)의 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n\)을 함수급수(series of functions)라고 부른다. 함수급수의 점별수렴과 균등수렴도 함수열과 마찬가지로 정의한다. 또한 함수열의 균등수렴에 대해서도 코시 조건을 사용할 수 있다. 더욱이, 함수열의 균등수렴과 관련해서는 다음과 같은 유용한 판정법이 존재한다.
정리 8.5. (바이어슈트라스 \(M\)-판정법)
\(\left\{ f_n \right\}\)이 \(I\)에서 정의된 함수로 이루어진 함수열이고, \(\left\{ M_n \right\}\)이 실수열이라고 하자. 만약 임의의 \(n\)과 \(x\in I\)에 대하여 \(|f_n(x)| \leq M_n\)이고 \(\sum M_n\)이 수렴하면 \(\sum f_n\)은 균등수렴한다.
증명
부등식 \[\left\lVert \sum_{k=m}^{n} f_k \right\rVert \le \sum_{k=m}^{n} \left\lVert f_k \right\rVert \le \sum_{k=m}^n M_k\] 를 사용하면 \(\sum f_n\)의 부분합이 코시 조건을 만족시킴을 보일 수 있다.
수열 \(\left\{a_n\right\}\)에 대하여 \[\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n\tag{8.6}\] 꼴의 무한급수를 거듭제곱급수(power series) 또는 멱급수라고 부른다. 여기서 \(c\)를 이 거듭제곱급수의 중심이라고 부른다.
거듭제곱급수는 \(x\)의 값에 따라 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다. 거듭제곱급수가 수렴하도록 하는 \(x\)의 집합은 반드시 구간의 형태가 된다. 이 구간을 거듭제곱급수의 수렴구간(interval of convergence)이라고 부른다.
중심이 \(c\)인 거듭제곱급수에 대하여 다음 중 하나가 성립한다.
- 거듭제곱급수가 오직 \(x = c\)에서만 수렴한다.
- 모든 \(x\)에 대하여 거듭제곱급수가 수렴한다.
- 적당한 \(R > 0\)이 존재하여, \(|x-c|
세 번째 경우에서 \(R\)을 거듭제곱급수의 수렴반지름(radius of convergence)이라고 부른다. 첫 번째 경우에서는 수렴반지름을 \(0\)으로 정의하고, 두 번째 경우에서는 수렴반지름을 \(\infty\)로 정의한다.
거듭제곱급수의 수렴반지름이 양수 \(R\)일 때, 거듭제곱급수의 수렴구간은 네 가지 형태 중 하나이다. \[ [c-R,\, c+R] ,\,\, (c-R,\, c+R),\,\, [c-R ,\,c+R) ,\,\, (c-R ,\, c+R ].\] 그러므로 거듭제곱급수의 수렴구간을 구할 때는 수렴반지름을 구한 뒤, 수렴반지름이 양의 실수이면 수렴구간의 양쪽 끝점에서의 수렴성만 확인하면 충분하다.
거듭제곱급수 \(\sum a_n (x-c)^n\)의 수렴반지름을 구하는 방법으로 유용한 공식이 있다. 즉 \[\rho = \varlimsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}\] 이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- 만약 \(0<\rho<\infty\)이면 수렴반지름은 \(R = \frac{1}{\rho}\)이다.
- 만약 \(\rho =0\)이면 수렴반지름은 \(\infty\)이다.
- 만약 \(\rho=\infty\)이면 수렴반지름은 \(0\)이다.
이 결과는 무한급수의 제곱근 판정법을 사용하면 쉽게 증명된다. 이 공식을 코시-아다마르 공식(Cauchy-Hadamard formula)이라고 부른다.
문제 8.5. 다음 거듭제곱급수의 수렴구간을 구하시오.
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n}}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} n!\,x^n\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{2^n}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n2^n}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n\, x^n}{n4^n}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2 +1}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\ln(n+1)}\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^{2n}}{5^n}\)
다음 정리는 거듭제곱급수의 균등수렴과 관련된 매우 유용한 결과를 제공한다.
정리 8.6. (아벨의 정리)
\(R>0\)이고 거듭제곱급수 \(\sum a_n (x-c)^n\)이 \(x = c+R\)에서 수렴하면, 이 거듭제곱급수는 \([c,\, c+R]\)에서 균등수렴한다.
증명
편의상 \(c = 0\)으로 놓자. 부분합을 \(S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n x^n\)이라고 하고, \(B_N = \sum_{n=0}^{N} a_n R^n\)이라고 하자. 가정에 의해 \(B_N \to B\)인 \(B\)가 존재한다. \(0 \leq x \leq R\)인 \(x\)에 대해 다음 등식이 성립한다. \[\begin{aligned} S_N(x) &= \sum_{n=0}^{N} a_n x^n = \sum_{n=0}^{N} a_n R^n \cdot \left(\frac{x}{R}\right)^n\\[6pt] &= \sum_{n=0}^{N} (B_n - B_{n-1}) \cdot \left(\frac{x}{R}\right)^n .\quad (\text{단, }B_{-1} = 0.) \end{aligned}\] 아벨의 부분합 공식을 사용하면 위 식을 다음과 같이 변형할 수 있다. \[\begin{aligned} S_N(x) &= B_N \left(\frac{x}{R}\right)^N + \sum_{n=0}^{N-1} B_n \left[\left(\frac{x}{R}\right)^n - \left(\frac{x}{R}\right)^{n+1}\right]\\[6pt] &= B_N \left(\frac{x}{R}\right)^N + \sum_{n=0}^{N-1} B_n \left(\frac{x}{R}\right)^n \left(1 - \frac{x}{R}\right). \end{aligned}\] \(B_N \to B\)이므로, \(0 \leq x < R\)인 \(x\)에 대하여 \(N \to \infty\)일 때 다음이 성립한다. \[B_N \left(\frac{x}{R}\right)^N \to 0.\] 따라서 다음 등식을 얻는다. \[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \left(1 - \frac{x}{R}\right) \sum_{n=0}^{\infty} B_n \left(\frac{x}{R}\right)^n .\] \(\varepsilon > 0\)이라고 하자. \(N\rightarrow\infty\)일 때 \(B_N\)이 수렴하므로, 임의의 \(n\)에 대하여 \(|B_n| \leq K\)인 \(K > 0\)이 존재한다. 또한 \(N_0\)가 존재하여 \(n > N_0\)일 때 \(|B_n - B| < \varepsilon\)이다. \(N > M > N_0\)이고 \(x \in [0,\, R]\)일 때 다음 등식이 성립한다. \[\begin{aligned} |S_N(x) - S_M(x)| &= \left|\sum_{n=M+1}^{N} a_n x^n\right|\\[6pt] &= \left|B_N \left(\frac{x}{R}\right)^N - B_M \left(\frac{x}{R}\right)^M + \sum_{n=M+1}^{N-1} B_n \left(\frac{x}{R}\right)^n \left(1 - \frac{x}{R}\right)\right| \end{aligned}\] \(x = R\)일 때 \(|S_N(R) - S_M(R)| = |B_N - B_M| < \varepsilon\)이다.
\(0 \leq x < R\)일 때 \(t = \frac{x}{R} < 1\)로 놓으면 \[\begin{aligned} |S_N(x) - S_M(x)| &\leq |B_N| t^N + |B_M| t^M + (1-t) \sum_{n=M+1}^{N-1} |B_n| t^n\\[6pt] &\leq 2K t^M + (1-t) \cdot 2K \cdot \frac{t^{M+1}}{1-t}\\[6pt] &= 2K t^M (1 + t) \leq 4K t^M \end{aligned}\] 이다. 여기서 \(M\)을 충분히 크게 선택하면 모든 \(t \in (0,\, 1)\)에 대해 \(4K t^M < \varepsilon\)이다.
그러므로 코시 판정법에 의해 \(\sum a_n x^n\)은 \([0,\, R]\)에서 균등수렴한다.
균등수렴의 성질과 아벨의 정리에 의하여 다음 결과를 얻는다.
정리 8.7. (거듭제곱급수의 기본성질)
거듭제곱급수는 미적분과 관련하여 다음과 같은 성질을 가진다.
- 거듭제곱급수는 수렴구간에 포함되는 컴팩트 집합에서 균등수렴한다.
- 거듭제곱급수는 수렴구간의 내부에서 항별로 미분하거나 적분할 수 있다.
- 거듭제곱급수를 항별로 미분해도 수렴반지름이 변하지 않는다.
문제 8.6. 거듭제곱급수 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n\)의 수렴구간이 \(I\)이고, \(K\)가 \(I\)의 컴팩트 부분집합이라고 하자. 이때 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_k (x-c)^n\)이 \(K\)에서 균등수렴함을 보이시오.
문제 8.7. 실수열 \(\left\{a_n\right\}\)에 대하여 \(\displaystyle\varlimsup_{n\rightarrow\infty}\left( n\lvert a_n \rvert \right)^{\frac{1}{n}} = \varlimsup_{n\rightarrow\infty} \lvert a_n \rvert^{\frac{1}{n}}\)을 보이시오.
문제 8.8. 거듭제곱급수 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n\)의 수렴반지름 \(R\)이 양의 실수라고 하자. 이때 열린구간 \((c-R ,\,c+R)\)에서 다음이 성립함을 보이시오. \[ \frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n = \sum_{n=1}^{\infty} na_n (x-c)^{n-1}.\] 또한 위 등식의 우변의 무한급수의 수렴반지름도 \(R\)임을 보이시오.
문제 8.9.
거듭제곱급수 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n\)의 수렴구간이 \(I\)이고 \(a\)와 \(b\)가 \(I\)의 점이며 \(a
테일러 급수와 해석적 함수
함수 \(f\)가 점 \(c\)에서 \(n\)번 이상 미분 가능할 때, 점 \(c\)에서 함수 \(f\)의 \(n\)차 테일러 다항식(Taylor polynomial)을 다음과 같이 정의한다. \[P_n (x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k .\] 만약 \(f\)가 점 \(c\)에서 임의 횟수로 미분 가능하면, 위 식에 \(n\rightarrow\infty\)인 극한을 취한 무한급수를 생각할 수 있다. \[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - c)^n.\] 이 무한급수를 \(c\)를 중심으로 한 \(f\)의 테일러 급수(Taylor series)라고 부른다. 특히 \(c=0\)일 때, 테일러 급수를 맥클라린 급수(Maclaurin series)라고 부른다.
점 \(c\)를 원소로 갖는 구간 \(I\)의 모든 점에서 \(c\)를 중심으로 하는 \(f\)의 테일러 급수가 \(f\)에 수렴하면, \(I\)에서 함수 \(f\)를 테일러 급수로 나타낼 수 있다. 이것은 \(I\)의 모든 점에서 테일러 나머지(정리 5.7)가 \(0\)에 수렴하는 것과 같다.
자주 사용하는 테일러 급수는 다음과 같다. \[\begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} &&(x\in\mathbb{R}) \\[6pt] \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&(x\in\mathbb{R}) \\[6pt] \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} &&(x\in\mathbb{R}) \\[6pt] \tan^{-1} x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} &&(|x| \le 1) \\[6pt] \ln(1 + x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} &&(-1 < x \le 1) \\[6pt] \frac{1}{1 - x} &= \sum_{n=0}^{\infty} x^n &&(|x| < 1) \\[6pt] (1 + x)^\alpha &= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n &&(|x| < 1) \end{aligned}\]
함수 \(f\)가 점 \(c\)의 근방에서 점 \(c\)를 중심으로 하는 자신의 테일러 급수와 일치할 때, "\(f\)는 \(c\)에서 해석적이다(analytic)" 또는 "\(f\)는 \(c\)에서 실해석적이다(real analytic)"라고 말한다. 만약 함수 \(f\)가 영역 \(I\)의 모든 점에서 해석적이면 "\(f\)가 \(I\)에서 해석적이다"라고 말한다. 정의역의 모든 점에서 해석적인 함수를 해석적인 함수(analytic function)라고 부른다.
임의 횟수로 미분 가능한 함수가 항상 해석적인 것은 아니다. 예를 들어, \[f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & \text{if }\,x \neq 0, \\[6pt] 0 & \text{if }\,x = 0 \end{cases}\] 이라고 정의된 함수 \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)은 모든 점에서 임의 횟수로 미분 가능하다. 하지만 \(c=0\)일 때 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(f^{(n)}(c)=0\)이므로 \(0\)에서 \(f\)의 테일러 급수는 상수함수이다. 그러므로 \(f\)는 \(0\)을 포함하는 임의의 열린 구간에서 자신의 테일러 급수와 일치하지 않는다. 즉 \(f\)는 임의 횟수로 미분 가능하지만 \(0\)에서 해석적이지 않다.
해석적인 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.
- 해석적인 함수의 합, 곱, 합성은 해석적이다.
- 해석적 함수의 영점은 고립되어 있다. (항등정리)
- 실해석적 함수는 복소평면에서 해석적인 함수로 확장될 수 있다.
실함수의 테일러 급수의 수렴반지름은 복소평면에서 가장 가까운 특이점(singularity)까지의 거리이다. 예를 들어, \(0\)에서 \(\frac{1}{1 + x^2}\)의 테일러 급수는 수렴반지름이 \(1\)인데, 이것은 복소평면에서 \(\pm i\)가 이 분수함수의 특이점이기 때문이다.
문제 8.10. 함수 \(f\)가 점 \(c\)에서 해석적일 때, \(c\)를 중심으로 하고 \(c\)의 근방에서 \(f\)에 수렴하는 거듭제곱급수가 유일함을 보이시오.
문제 8.11. 함수 \(f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}\)의 맥클라린 급수를 구하시오.
문제 8.12. 구간 \([-1,\,1]\)에서 함수 \(f\)를 \(f(x)=\tan^{-1} x\)라고 정의하자. 다음 물음에 답하시오.
- 무한등비급수의 합 공식을 사용하여 \(-1 < x < 1\)인 \(x\)에 대하여 \(\frac{1}{1+x^2}\)을 거듭제곱급수로 나타내시오.
- \(f'(x)\)를 구하고, (1)의 결과를 사용하여 \(-1 < x < 1\)의 범위에서 \(f'(x)\)를 거듭제곱급수로 나타내시오.
- 위 (2)의 결과를 사용하여 \(-1 < x < 1\)의 범위에서 \(f(x)\)를 거듭제곱급수로 나타내시오.
- 위 (3)의 결과와 아벨의 정리를 사용하여 다음을 보이시오. \[\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + - \cdots .\] 이 공식을 원주율에 대한 라이프니츠 공식이라고 부른다.
문제 8.13. 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n}\)이 수렴함을 보이시오.
문제 8.14. 거듭제곱급수 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)과 \(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\)이 구간 \((-R,\,R)\)에서 수렴한다고 하자. 또한 \(0\) 이상인 정수 \(n\)에 대하여 \[c_n = \sum_{j=0}^{n} a_j b_{n-j}\] 라고 하자. 이때 임의의 \(x\in (-R,\,R)\)에 대하여 \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n\)이 수렴하고, 다음 등식이 성립함을 보이시오. \[\left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right)\left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n .\] 이 등식에서 우변의 무한급수를 코시 곱(Cauchy product)이라고 부른다.