이 장에서는 리만 적분의 엄밀한 정의와 그 성질을 살펴본다. 적분 가능성의 조건, 미적분의 기본정리, 그리고 이상적분까지 살펴본다.
리만 적분의 정의
구간 \([a,\, b]\)의 유한부분집합 \(P=\left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\)이 \[a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b\] 를 만족시킬 때, \(P\)를 \([a,\,b]\)의 분할(partition)이라고 부른다. 또한 각 구간 \[[x_0 ,\, x_1 ],\, [x_1 ,\, x_2] ,\, \cdots ,\, [x_{n-1} ,\, x_n ]\] 을 \(P\)에 의하여 만들어진 소구간 또는 성분구간이라고 부른다. 소구간의 길이 중에서 가장 큰 값을 \(P\)의 노름(norm)이라고 부르며, \(\lVert P \rVert\)로 나타낸다. 즉 \[\|P\| = \max_{1 \leq i \leq n} (x_i - x_{i-1}) .\] 만약 \(P\)와 \(Q\)가 \([a,\,b]\)의 분할이고 \(P\subseteq Q\)이면, \(Q\)를 \(P\)의 세련분할(refinement)이라고 부른다. 또한 \(P\), \(Q\), \(R\)이 \([a,\,b]\)의 분할이고 \(P\cup Q \subseteq R\)이면 \(R\)을 \(P\)와 \(Q\)의 공통세련분할이라고 부른다.
구간 \([a,\,b]\)에서 유계인 함수 \(f: [a,\, b] \to \mathbb{R}\)과 \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)에 대하여 \[\begin{aligned} m_i &= \inf\{f(x) \mid x_{i-1} \leq x \leq x_i\} ,\\[6pt] M_i &= \sup\{f(x) \mid x_{i-1} \leq x \leq x_i\} \end{aligned}\] 라고 하자. 이때 \(P\)에 대한 \(f\)의 리만 상합(upper Riemann sum)과 리만 하합(lower Riemann sum)을 다음과 같이 정의한다. \[U(f,\, P) = \sum_{i=1}^{n} M_i(x_i - x_{i-1}), \quad L(f,\, P) = \sum_{i=1}^{n} m_i(x_i - x_{i-1}).\] 함수 \(f\)와 구간 \([a,\,b]\)가 고정되어 있을 때, 상합의 값과 하합의 값은 분할 \(P\)에 따라 달라질 수 있다.
문제 6.1. 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 유계이고, \(P\)와 \(Q\)가 \([a,\,b]\)의 분할이라고 하자. 다음을 보이시오.
- \(L(f,\,P)\le U(f,\,P)\)
- \(Q\)가 \(P\)의 세련분할일 때 \(L(f,\,P)\le L(f,\,Q)\)이고 \(U(f,\,P)\ge U(f,\,Q)\)이다.
- \(L(f,\,P)\le U(f,\,Q)\)
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계이고 \(P\)가 \([a,\,b]\)의 분할일 때 \(P\)에 대한 \(f\)의 상합과 하합은 각각 유계이다. 특히 \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(P\), \(Q\)에 대하여 \(L(f,\,P) \le U(f,\,Q)\)이다. 그러므로 상적분(upper integral)과 하적분(lower integral)을 다음과 같이 정의한다. \[\begin{aligned} \overline{\int_a^b} f &= \inf \left\{ U(f,\, P) \mid P \text{ is a partition of }[a,\,b]\right\}, \\[6pt] \underline{\int_a^b} f &= \sup \left\{ L(f,\, P)\mid P \text{ is a partition of }[a,\,b]\right\}. \end{aligned}\] 함수 \(f\)가 \([a,\, b]\)에서 리만 적분 가능하다(Riemann integrable)는 것은 \([a,\,b]\)에서 \(f\)가 유계이고 \(f\)의 상적분과 하적분이 같은 것이다. 이 공통값을 \[\int_a^b f(x) dx\] 로 나타낸다. 이 값을 간단히 \(\int_a^b f\)로 나타내기도 한다.
리만 적분의 정의와 상한의 성질에 의하여 다음 정리를 얻는다.
정리 6.1. (적분 가능성에 대한 리만 판정법)
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능할 필요충분조건은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 분할 \(P\)가 존재하여 \(U(f,\, P) - L(f,\, P) < \varepsilon\)을 만족시키는 것이다.
문제 6.2. 적분의 정의를 사용하여 구간 \([0,\, 1]\)에서 함수 \(f(x) = x^2\)의 적분을 계산하시오.
문제 6.3. 디리클레 함수가 \([0,\, 1]\)에서 리만 적분 가능하지 않음을 증명하시오.
문제 6.4. 정리 6.1을 증명하시오.
상합과 하합 대신 리만합을 사용하여 리만 적분을 정의할 수도 있다. 각 소구간 \([x_{i-1},\, x_i]\)에서 점 \(t_i\)를 선택하여 만든 합 \[S(f,\, P,\, \{t_i\}) = \sum_{i=1}^{n} f(t_i)(x_i - x_{i-1})\] 을 \(P\)와 \(\left\{ t_i \right\}\)에 대한 \(f\)의 리만 합(Riemann sum)이라고 부른다. \(\lVert P \rVert \rightarrow 0\)일 때 \(f\)의 리만 합이 값 \(I\)에 수렴한다는 것은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)이 존재하여, \(\lVert P \rVert < \delta\)인 임의의 분할 \(P\)와 \(P\)의 각 소구간에서 택한 점으로 이루어진 임의의 유한수열 \(\left\{ t_i \right\}\)에 대하여 \(\lvert S(f,\,P,\,\left\{ t_i \right\}) - I \rvert < \varepsilon\)이 성립하는 것을 뜻한다. 이것을 다음과 같이 나타낸다. \[\lim_{\lVert P \rVert \rightarrow 0} S(f,\,P,\,\left\{ t_i \right\}) = I.\tag{6.1}\]
리만은 적분을 리만합의 극한으로 정의했다. 상합과 하합을 사용하여 정의한 적분은 본래 다르부(Darboux)의 적분이다. 그러나 유계인 함수에 대하여 이 두 정의는 서로 동치이다. 즉, \([a,\,b]\)에서 유계인 함수 \(f\)에 대하여, \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 상적분과 하적분이 일치하기 위한 필요충분조건은 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 리만합이 하나의 실수에 수렴하는 것이다. 이때 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 상적분의 값과 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 리만합의 극한값은 일치한다.
문제 6.5. 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고 함수 \(g\)가 \([c,\,d]\)에서 연속이며 \(f([a,\,b])\subseteq [c,\,d]\)일 때, 합성함수 \(g\circ f\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능함을 보이시오.
문제 6.6. 함수 \(f\)와 \(g\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하면 \(f+g\)와 \(fg\)도 \([a,\,b]\)에서 적분 가능함을 보이시오.
문제 6.7. 적분에 대한 리만의 정의와 다르부의 정의가 서로 동치임을 증명하는 과정을 조사하시오. 즉 정리 6.1과 리만합의 극한 (6.1)이 수렴하는 것이 서로 동치임을 증명하시오.
문제 6.8. 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능하다고 하자. 이때 문제 6.7의 결과를 사용하여 다음이 성립함을 보이시오. \[\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+\frac{b-a}{n}k\right).\]
적분 가능성 조건
적분을 정의한 뒤에는 다음과 같은 두 가지 의문이 생긴다.
- 어떠한 함수가 적분 가능한가?
- 적분 가능한 함수가 있을 때, 그 함수의 적분값을 어떻게 구하는가?
정리 6.2. (연속함수의 적분 가능성)
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이면, \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능하다.
증명
\(f\)가 \([a,\, b]\)에서 연속이면, 이 구간에서 균등연속이다. \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 하자. 균등연속성의 정의에 의하여, \(\delta > 0\)이 존재하여, \(|x - y| < \delta\)인 임의의 \(x,\,y\in [a,\,b]\)에 대하여 \(|f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon}{b-a}\)이 성립한다. \(\|P\| < \delta\)인 분할 \(P\)를 택하면 \(M_i - m_i < \frac{\varepsilon}{b-a}\)이다. 따라서 \(U(f,\, P) - L(f,\, P) < \varepsilon\)이다.
정리 6.3. (단조함수의 적분 가능성)
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 단조이면, \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능하다.
증명
만약 \(f(a)=f(b)\)이면 \(f\)는 상수함수이므로 적분 가능하다. 이제 \(f(a)\ne f(b)\)라고 하자. 그리고 일반성을 잃지 않고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 단조증가한다고 가정하자.
\(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 하자. 그리고 \(\lVert P \rVert < \frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}\)인 분할 \(P\)를 택한다. 그러면 \(U(f,\,P) - L(f,\,P) \le \lVert P \rVert (f(b)-f(a)) < \varepsilon\)이다.
함수 \(f\)가 불연속인 점이 구간 \([a,\,b]\)에 어떻게 분포해 있는지에 따라 \(f\)의 적분 가능성을 판별할 수 있다. 이와 관련된 정리를 진술하기 위해서는 르베그 측도 \(0\)인 집합의 개념이 필요하다.
집합 \(E \subseteq \mathbb{R}\)이 르베그 측도 0(Lebesgue measure zero)인 집합이라는 것은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 가산 개의 구간 \(\{I_n\}\)이 존재하여 \(E \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n\)이고 \(\sum_{n=1}^{\infty} |I_n| < \varepsilon\)인 것이다.
- 유한집합의 측도는 \(0\)이다.
- 가산집합의 측도는 \(0\)이다.
- 칸토어의 집합은 비가산집합이지만 측도 \(0\)이다.
- 길이가 양수인 구간 \([a,\,b]\)는 비가산집합이고, 측도 \(0\)인 집합이 아니다.
문제 6.9. 가산집합이 르베그 측도 \(0\)인 집합임을 보이시오.
문제 6.10. 가산 개의 집합 \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(\cdots\)가 모두 르베그 측도 \(0\)이면, 합집합 \[A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \] 도 르베그 측도 \(0\)인 집합임을 보이시오.
문제 6.11. 길이가 양수인 구간이 르베그 측도 \(0\)인 집합이 아님을 보이시오.
정리 6.4. (적분 가능성에 대한 르베그 정리)
구간 \([a,\,b]\)에서 유계인 함수 \(f\)가 이 구간에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은 \([a,\,b]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 집합이 르베그 측도 0인 집합인 것이다.
증명 개요 다음과 같은 순서로 증명한다.
(\(\Rightarrow\)) 먼저 \(f\)가 적분 가능하면 불연속점의 집합이 측도 0임을 보이자.
- 점 \(x\)에서 \(f\)의 진동(oscillation)을 \(\omega(x) = \lim_{\delta \to 0+} \sup\{|f(y) - f(z)| \mid |y-x| < \delta,\, |z-x| < \delta\}\)로 정의한다.
- \(f\)가 \(x\)에서 연속일 필요충분조건은 \(\omega(x) = 0\)인 것이다.
- 불연속점의 집합을 \(D = \{x \in [a,\,b] \mid \omega(x) > 0\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} D_n\)으로 나타낸다. 여기서 \(D_n = \{x \mid \omega(x) \geq 1/n\}\)이다.
- \(f\)가 적분 가능하므로, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 분할 \(P\)가 존재하여 \(U(f,\, P) - L(f,\, P) < \varepsilon/n\)이다.
- \(D_n\)에 속하는 점을 포함하는 소구간들의 길이의 합이 \(\varepsilon\) 미만임을 보일 수 있다.
- 따라서 각 \(D_n\)이 측도 0이고, 가산 합집합 \(D\)도 측도 0이다.
(\(\Leftarrow\)) 불연속점의 집합이 측도 0이면 \(f\)가 적분 가능함을 보이자.
- 불연속점의 집합 \(D\)가 측도 0이므로, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(D\)를 덮는 가산 개의 열린구간들의 길이의 합을 \(\varepsilon/2M\) 미만으로 만들 수 있다. (여기서 \(|f| \leq M\))
- \(f\)가 연속인 점에서는 진동이 \(0\)이므로, 적절한 분할을 잡아 연속점을 포함하는 소구간에서의 상합과 하합의 차가 \(\varepsilon/2\) 미만이 되도록 만들 수 있다.
- 또한 불연속점을 포함하는 소구간에서의 상합과 하합의 차가 \(2M \cdot \varepsilon/2M = \varepsilon/2\) 이하가 되도록 분할을 구성한다.
- 따라서 \(U(f,\, P) - L(f,\, P) < \varepsilon\)인 분할 \(P\)가 존재한다.
르베그 정리를 사용하여 적분 가능성을 쉽게 판별할 수 있는 함수의 예는 다음과 같다.
- 유한 개의 점에서만 불연속인 함수는 적분 가능하다.
- 가산 개의 점에서 불연속인 함수는 적분 가능하다.
- 유리수인 점에서 함숫값이 \(1\)이고 무리수인 점에서 함숫값이 \(0\)인 함수를 디리클레 함수라고 부른다. 디리클레 함수는 모든 점에서 불연속이며, 적분 불가능하다.
문제 6.12. 함수 \(f\)가 \([0,\,1]\)에서 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x)= \begin{cases} \frac{1}{q} &\,\,\,\text{if }\,x\in [0,\,1]\cap\mathbb{Q},\, x=\frac{p}{q},\, p\in\mathbb{Z},\,q\in\mathbb{N},\,\operatorname{gcd}(p,\,q)=1. \\[6pt] 0 &\,\,\,\text{if }\,x\in [0,\,1]\setminus\mathbb{Q}. \end{cases} \] 이 함수를 토매 함수(Thomae function) 또는 팝콘 함수라고 부른다. 다음을 증명하시오.
- 함수 \(f\)가 \([0,\,1]\)의 유리수인 점에서는 불연속이고 무리수인 점에서는 연속이다.
- 함수 \(f\)는 \([0,\,1]\)의 모든 점에서 미분 불가능하다.
- 함수 \(f\)는 \([0,\,1]\)에서 적분 가능하다.
적분의 성질
적분의 기본 성질을 살펴보자. \(a < b\)이고 함수 \(f\)와 \(g\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다고 하자.
- 선형성: \(\alpha\)와 \(\beta\)가 실수인 상수일 때 다음이 성립한다. \[\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx.\tag{6.2}\]
- 단조성: 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x) \leq g(x)\)이면 다음이 성립한다. \[\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx.\tag{6.3}\]
- 절댓값: \(|f|\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고 다음이 성립한다. \[\left|\int_a^b f(x)dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|dx.\tag{6.4}\]
- 적분 구간의 가법성: \(a < c < b\)일 때 \(f\)는 \([a,\,c]\)와 \([c,\,b]\)에서 적분 가능하고 다음이 성립한다. \[\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx = \int_a^b f(x)dx.\tag{6.5}\]
문제 6.13. 적분의 성질 (6.2), (6.3), (6.4), (6.5)를 증명하시오.
임의의 실수 \(a\)에 대하여 다음과 같이 정의한다. \[\int_a^a f(x)dx =0.\] 또한 \(a>b\)인 경우 다음과 같이 정의한다. \[\int_b^a f(x) dx = -\int_a^b f(x) dx .\] 이와 같이 정의하면, 함수 \(f\)가 닫힌구간 \(I\)에서 적분 가능하고 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(I\)의 점일 때도 (6.5)가 성립한다.
미적분의 기본정리
함수 \(f\)가 \([a,\, b]\)에서 적분 가능할 때, 적분함수(integral function)를 \[F(x) = \int_a^x f(t) dt\] 로 정의한다.
정리 6.5. (미적분의 제1기본정리)
\(f\)가 \([a,\, b]\)에서 적분 가능하면 \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이다. 또한 \(f\)가 \(c\in [a,\,b]\)에서 연속이면 \(F'(c) = f(c)\)이다.
증명
\(\lvert f \rvert \le M\)이라고 하자. 절댓값이 작은 \(h\)에 대하여 \[|F(x + h) - F(x)| = \left|\int_x^{x+h} f(t) dt\right| \leq M|h|\] 이므로 \(F\)는 연속이다. 만약 \(f\)가 \(c\)에서 연속이면, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\delta > 0\)이 존재하여, \(|t - c| < \delta\)일 때 \(|f(t) - f(c)| < \varepsilon\)이다. \(|h| < \delta\)일 때 \[\left|\frac{F(c + h) - F(c)}{h} - f(c)\right| < \varepsilon\] 이 성립한다. 그러므로 \(F ' (c) = f(c)\)이다.
위 정리의 따름정리로서 다음을 얻는다.
정리 6.6. (미적분의 제2기본정리)
함수 \(f\)가 \([a,\, b]\)에서 연속이고 \(F\)가 \(f\)의 원시함수이면 다음이 성립한다. \[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).\]
증명
\(f\)가 \([a, b]\)에서 연속이고 \(F\)가 \(f\)의 원시함수라고 하자. 즉, 모든 \(x \in [a, b]\)에 대해 \(F'(x) = f(x)\)이다. 제1기본정리에 의해 \(G(x) = \int_a^x f(t) dt\)도 \(f\)의 원시함수이다. 두 원시함수 \(F\)와 \(G\)의 차이는 상수이므로, 어떤 상수 \(C\)에 대해 \[F(x) = G(x) + C = \int_a^x f(t) dt + C\] 이다. \(x = a\)를 대입하면 \[F(a) = \int_a^a f(t) dt + C = 0 + C = C\] 이므로 \(C = F(a)\)이다. 따라서 모든 \(x \in [a, b]\)에 대해 \[F(x) = \int_a^x f(t) dt + F(a)\] 이다. \(x = b\)를 대입하면 \[F(b) = \int_a^b f(t) dt + F(a)\] 이다. \(F(a)\)를 이항하면 바라는 등식을 얻는다.
위 정리의 우변을 다음과 같이 나타낸다. \[\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a) \quad\text{ 또는 }\quad F(x) \Big\vert _a ^b = F(b) -F(a).\]
미적분의 기본정리로부터 다음과 같은 적분의 계산 공식을 얻는다.
- 부분적분법: 함수 \(u\)와 \(v\)가 \([a,\,b]\)에서 \(C^1\)일 때 \[\int_a^b u \,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \,du.\]
- 치환적분법: 함수 \(g\)가 \([c,\, d]\)에서 \([a,\, b]\)로의 \(C^1\) 함수이고, 함수 \(f\)가 \(g([c,\,d])\)에서 연속일 때 \[\int_{g(c)}^{g(d)} f(x) \,dx = \int_c^d f(g(t))g'(t) \,dt.\]
문제 6.14. 부분적분법을 사용하여 \(\int_0^{\pi} x \sin x \,dx\)를 계산하시오.
문제 6.15. 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 미분 가능하고 \(f'\)이 \([a,\,b]\)에서 적분 가능할 때 다음이 성립함을 증명하시오. \[\int_{a}^{b} f' (x) \,dx = f(b)-f(a).\]
적분의 평균값 정리
미적분의 기본정리를 활용하여 끌어낼 수 있는 정리로서 적분의 평균값 정리가 있다.
정리 6.7. (적분의 평균값 정리)
함수 \(f\)가 \([a,\, b]\)에서 연속이면, 다음 등식을 만족시키는 값 \(c \in [a,\, b]\)가 존재한다. \[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx = f(c).\]
증명
\(f\)가 \([a, b]\)에서 연속이므로 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 가진다. 즉 모든 \(x \in [a, b]\)에 대해 \(m \leq f(x) \leq M\)이다. 적분의 단조성에 의해 \[m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)\] 이다. 따라서 \[m \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx \leq M\] 이다. 사잇값 정리에 의해 어떤 \(c \in [a, b]\)에 대해 \[f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx\]이다.
정리 6.8. (제1평균값 정리)
함수 \(f\)가 \([a,\, b]\)에서 연속이고 함수 \(g \geq 0\)이 적분 가능하면, 다음 등식을 만족시키는 값 \(c \in [a,\, b]\)가 존재한다. \[\int_a^b f(x)g(x) dx = f(c)\int_a^b g(x) dx.\]
증명
\(f\)가 연속이고 \(g \geq 0\)이 적분 가능하다고 하자. \(f\)가 연속이므로 \([a, b]\)에서 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 가진다. \(g(x) \geq 0\)이므로 \(mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x)\)이다. 이 부등식의 각 변을 적분하면 \[m\int_a^b g(x) dx \leq \int_a^b f(x)g(x) dx \leq M\int_a^b g(x) dx\] 이다. 만약 \(\int_a^b g(x) dx = 0\)이면, \(\int_a^b f(x)g(x) dx = 0\)이고 임의의 \(c\)에 대해 등식이 성립한다. 만약 \(\int_a^b g(x) dx > 0\)이면, \[m \leq \frac{\int_a^b f(x)g(x) dx}{\int_a^b g(x) dx} \leq M\] 이므로 사잇값 정리에 의해 어떤 \(c \in [a, b]\)에 대해 \[f(c) = \frac{\int_a^b f(x)g(x) dx}{\int_a^b g(x) dx}\] 이다.
정리 6.9. (제2평균값 정리)
함수 \(f\)가 단조함수이고 미분 가능하며 함수 \(g\)가 연속이면, 다음 등식을 만족시키는 값 \(c \in [a,\, b]\)가 존재한다. \[\int_a^b f(x)g(x) dx = f(a)\int_a^c g(x) dx + f(b)\int_c^b g(x) dx.\]
증명
일반성을 잃지 않고 \(f\)가 단조감소한다고 가정하자. 함수 \(G\)를 \(G(x) = \int_a^x g(t) dt\)라고 정의하면 \(G(a) = 0\)이고 \(G'(x) = g(x)\)이다. 부분적분법을 사용하면 \[\int_a^b f(x)g(x) dx = [f(x)G(x)]_a^b - \int_a^b G(x)f'(x) dx\] 이다. \(f\)가 단조감소이므로 제1평균값 정리에 의해 적당한 \(c \in [a, b]\)에 대해 \[\int_a^b f(x)g(x) dx = f(a)G(c) + f(b)[G(b) - G(c)]\] 이다. \(G(c) = \int_a^c g(x) dx\)이고 \(G(b) - G(c) = \int_c^b g(x) dx\)이므로 \[\int_a^b f(x)g(x) dx = f(a)\int_a^c g(x) dx + f(b)\int_c^b g(x) dx\] 이다.
이상적분
적분 구간이 유계가 아니거나, 함수가 유계가 아닐 때도 적분을 정의할 수 있다. 이러한 적분을 이상적분(improper integral)이라고 부른다.
유계가 아닌 구간에서의 적분
함수 \(f\)가 구간 \([a,\, \infty)\)의 임의의 부분 유한구간에서 적분 가능하고, 극한 \[\int_a^{\infty} f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx\tag{6.6}\] 가 존재하면, "\([a,\,\infty)\)에서 \(f\)의 이상적분이 수렴(converge)한다" 또는 "이상적분이 존재한다"라고 말하고, 이 극한값을 \([a,\,\infty)\)에서 \(f\)의 적분값이라고 부른다.
극한 (6.6)이 수렴하지 않으면, "\([a,\,\infty)\)에서 \(f\)의 이상적분이 발산(diverge)한다"라고 말한다.
이상적분 \(\int_{-\infty}^b f(x) dx\)도 같은 방법으로 정의한다.
또한 임의의 \(c\)에 대하여 \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty} ^c f(x) dx + \int_{c}^{\infty} f(x) dx\tag{6.7}\] 로 정의한다. 단, (6.7)의 우변의 두 이상적분이 모두 존재할 때만 좌변의 이상적분이 존재하는 것으로 정의한다. 우변의 두 이상적분이 모두 존재하는 경우, 우변의 합은 \(c\)의 값에 상관없이 일정하다.
유계가 아닌 함수의 적분
함수 \(f\)가 \((a,\, b]\)의 임의의 닫힌 부분구간에서 적분 가능하지만, 임의의 \(\delta > 0\)에 대하여 \(f\)가 \((a,\,\delta )\)에서 유계가 아닐 때, \((a,\,b]\)에서 \(f\)의 적분을 다음과 같은 극한으로 정의한다. \[\int_a^b f(x) dx = \lim_{c \to a^+} \int_c^b f(x) dx .\] 즉, 우변의 극한이 수렴할 때 좌변의 이상적분이 수렴하는 것으로 정의한다. 적분 구간의 오른쪽 끝점 근방에서 유계가 아닌 함수에 대해서도 같은 방법으로 정의한다.
만약 두 구간 \([a,\,c)\)와 \((c,\,b]\) 각각에서 \(f\)의 이상적분이 수렴하면 \[\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx\] 로 정의한다. 즉 우변의 두 이상적분이 모두 존재할 때만 좌변의 이상적분이 존재하는 것으로 정의한다.
자주 등장하는 이상적분은 다음과 같은 것들이 있다.
- \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} dx\)는 \(p > 1\)일 때 수렴하고 \(p \leq 1\)일 때 발산한다.
- \(\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx\)는 \(p < 1\)일 때 수렴하고 \(p \geq 1\)일 때 발산한다.
- \(\int_0^{\infty} e^{-x} dx = 1\)
- \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx = \pi\)
이상적분 \(\int_a^b |f(x)|dx\)가 수렴할 때 "\(f\)의 이상적분이 절대수렴한다(converges absolutely)"라고 말한다. 이상적분 \(\int_a^b f(x)dx\)가 수렴하지만 이상적분 \(\int_a^b |f(x)|dx\)가 발산할 때, "\(f\)의 이상적분이 조건수렴한다(converges conditionally)"라고 말한다. 예를 들어 \[\int_1^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx\] 는 조건수렴한다.
이상적분의 수렴 판정법은 다음과 같은 것들이 있다.
- 비교 판정법: 임의의 \(x\ge a\)에 대하여 \(0 \leq f(x) \leq g(x)\)이고 \(\int_a^\infty g(x)dx\)가 수렴하면 \(\int_a^\infty f(x)dx\)도 수렴한다.
- 극한비교 판정법: \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L > 0\)이면 두 적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)와 \(\int_a^{\infty}g(x)dx\)가 함께 수렴하거나 함께 발산한다.
- 절대수렴 판정법: \(\int_a^\infty |f(x)|dx\)가 수렴하면 \(\int_a^\infty f(x)dx\)도 수렴한다.
위 판정법들은 적분 구간이 유계가 아닌 경우에 대하여 서술하였지만, 함수가 유계가 아닌 경우에도 마찬가지로 적용할 수 있다.
문제 6.16. 이상적분의 수렴에 대한 비교 판정법, 극한비교 판정법, 절대수렴 판정법을 증명하시오.
문제 6.17. 적분 \(\int_0^{\infty} xe^{-x^2} dx\)의 값을 구하시오.
문제 6.18. 적분 \(\int_2^{\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx\)가 수렴함을 보이고 그 값을 구하시오.
문제 6.19. 함수 \(f\)가 다음과 같을 때, \(F ' = f\)를 만족시키는 함수 \(F\)를 구하시오.
- \(f(x)=\cos 2x\)
- \(f(x)=3\sin 3x\)
- \(f(x)=\tan 4x\)
- \(f(x)=\cot (3x-2)\)
- \(f(x)=\sec(3x)\)
- \(f(x)=\csc(3-2x)\)
- \(f(x)=3^x\)
- \(f(x)=x^3 e^x\)
- \(f(x)=\ln x\)
- \(f(x)=x\ln x\)
- \(f(x)=x\cos 3x\)
- \(f(x)=e^{2x} \sin 3x\)
- \(f(x)=x^3 \ln x\)
- \(f(x)=(\ln x)^3\)
문제 6.20. 옌센 부등식(정리 5.11)을 적분으로 나타낼 수 있다. 함수 \(\phi\)가 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 볼록하고 함수 \(f:[0,\,1]\rightarrow [a,\,b]\)와 \(\phi\circ f\)가 \([0,\,1]\)에서 적분 가능할 때 다음이 성립함을 보이시오. \[\phi\left(\int_{0}^{1} f(x)dx \right)\le \int_{0}^{1} (\phi\circ f) dx.\tag{6.8}\]
문제 6.21. 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 함수의 모임을 \(C[a,\,b]\)라고 하자. \(p\ge 1\)일 때, \(C[a,\,b]\)의 함수 \(f\), \(g\)에 대하여 \(L^p\) 거리를 다음과 같이 정의한다. \[d_p(f,\, g) = \displaystyle\left(\int_a^b |f(x) - g(x)|^p \, dx\right)^{1/p}.\tag{6.9}\] 이와 같이 정의된 함수 \(d_p\)가 \(C[a,\,b]\)에서 거리함수의 조건을 만족시킴을 보이시오. (이 거리함수는 실해석학에서 \(L^p\) 공간을 정의할 때 사용된다.)
문제 6.22. 부르바키(Bourbaki)의 방법을 따라 원주율 \(\pi\)가 무리수임을 보이려고 한다. \(\pi = a/b\)이고 \(a\)와 \(b\)가 서로소인 자연수라고 가정하자. 그리고 함수 \(F\)와 \(f\)를 다음과 같이 정의하자. \[\begin{aligned} f(x) &= \frac{x^n (a-bx)^n}{n!},\\[6pt] F(x) &= f(x) - f ^{(2)}(x) + f^{(4)}(x) - f^{(6)}(x) + - \cdots + (-1)^n f^{(2n)}(x). \end{aligned}\] 다음 물음에 답하시오.
- \(F(0)+F(\pi )\)가 자연수임을 보이시오.
- \(\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \,dx = F(0) + F(\pi )\)임을 보이시오.
- \(n\)이 자연수일 때 \(\int_{0}^{\pi} f(s) \sin x \,dx \le \pi \frac{(\pi a)^n}{n!}\)임을 보이시오.
- 위 (1), (2), (3)을 사용하여 모순을 유도하고, \(\pi\)가 무리수임을 보이시오.
문제 6.23. 유계변동(bounded variation)의 정의를 조사하고, 구간에서 절대연속인 함수가 유계변동임을 보이시오.
문제 6.24. \(I\)와 \(J\)가 닫힌구간이고 함수 \(f:I\rightarrow J\)가 \(I\)에서 적분 가능하며 함수 \(g:J\rightarrow \mathbb{R}\)이 \(J\)에서 적분 가능할 때 합성함수 \(g\circ f\)가 \(I\)에서 적분 가능한가? 적분 가능하다면 증명하고, 그렇지 않다면 반례를 제시하시오.