앞 장에서는 실함수의 극한과 연속성을 살펴보았다. 이 장에서는 이러한 극한을 이용하여 미분 가능성을 정의하고, 평균값 정리, 테일러 정리, 볼록성 등 일변수 미분법의 주요 결과를 다룬다.
미분 가능성
\(X\)가 \(\mathbb R\)의 부분집합이고 \(c\in X\cap X'\)이라고 하자. 함수 \(f\colon X\to\mathbb R\)가 점 \(c\)에서 미분 가능하다(differentiable)는 것은 \(X\) 안에서 다음 극한이 존재하는 것을 뜻한다. \[ f'(c)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}. \] 이 극한값 \(f'(c)\)를 \(c\)에서 \(f\)의 미분계수(derivative)라고 부른다.
\(h=x-c\)로 놓으면, \(c+h\in X\)인 \(h\)에 대하여 위 정의를 \[ f'(c)=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \] 로 나타낼 수 있다. 따라서 \(f\)가 \(c\)에서 미분 가능하다는 것은 다음을 만족시키는 실수 \(L\)과 함수 \(r\)가 존재하는 것과 동치이다. \[ f(c+h)=f(c)+Lh+r(h),\quad \lim_{\substack{h\to0\\c+h\in X}}\frac{r(h)}{h}=0. \] 이때 \(L=f'(c)\)이다.
\(f\)가 \(c\)에서 미분 가능할 때, 직선 \(y=f'(c)(x-c)+f(c)\)를 \(c\)에서 \(f\)의 접선(tangent line)이라고 부른다.
함수 \(f\colon X\to\mathbb R\)의 정의역의 점 중 \(f\)가 미분 가능한 점의 집합을 \(D\)라고 하자. 그러면 \(f'\)은 \(D\)의 점 \(x\)를 \(f'(x)\)에 대응시키는 함수이다. 이러한 관점에서 \(f'\)을 \(f\)의 도함수(derivative function)라고 부른다.
문제 5.1. 미분계수와 도함수의 차이를 설명하시오.
정리 5.1. (미분 가능성과 연속성의 관계)
함수 \(f\)가 점 \(c\)에서 미분 가능하면, \(f\)는 점 \(c\)에서 연속이다.
증명 \(x\neq c\)일 때 \[ f(x)-f(c)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}(x-c) \] 이다. \(x\to c\)일 때 첫 번째 인자는 \(f'(c)\)로 수렴하고 두 번째 인자는 \(0\)으로 수렴하므로 \(f(x)-f(c)\to0\)이다. 따라서 \(f(x)\to f(c)\), 즉 \(f\)는 \(c\)에서 연속이다.
그러나 연속인 함수가 모두 미분 가능한 것은 아니다. 예를 들어, \(f(x)=|x|\)는 \(x=0\)에서 연속이지만 미분 가능하지 않다.
실함수의 극한에서 좌극한과 우극한을 정의한 것처럼, 미분계수도 한방향 미분계수를 정의할 수 있다.
- 좌미분계수: \(\displaystyle f'_-(c)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\)
- 우미분계수: \(\displaystyle f'_+(c)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\)
닫힌구간의 끝점에서는 한방향 미분계수로 미분을 정의한다. 즉 함수 \(f\colon[a,b]\to\mathbb R\)에 대하여, \(f'(a)\)와 \(f'(b)\)는 각각 우미분계수와 좌미분계수로 정의된다.
구간 내부의 점에서 함수가 미분 가능하기 위한 필요충분조건은 좌미분계수와 우미분계수가 모두 존재하고 두 미분계수가 일치하는 것이다. [좌미분계수와 도함수의 좌극한은 서로 다를 수 있다.]
함수 \(f\)가 점 \(c\)에서 미분 가능하면 \(f\)는 \(c\)에서 연속이다. 그러나 \(f'\)은 \(c\)에서 연속이 아닐 수 있다. 예를 들어 \[ f(x)= \begin{cases} x^2\sin\dfrac1x & \text{if }\;x\neq0,\\[5pt] 0 & \text{if }\;x=0 \end{cases} \] 이라고 정의된 함수 \(f\)는 모든 점에서 미분 가능하지만 \(f'\)은 \(x=0\)에서 불연속이다.
정리 5.2. (미분의 연산법칙)
\(f\)와 \(g\)가 점 \(c\)에서 미분 가능하고 \(\alpha,\beta\in\mathbb R\)라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
- \((\alpha f+\beta g)'(c)=\alpha f'(c)+\beta g'(c)\).
- \((fg)'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c)\).
- \(g(c)\neq0\)이면 \(\displaystyle(f/g)'(c)=\frac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{g(c)^2}\).
- 합성 \(g\circ f\)가 \(c\)의 근방에서 정의되어 있고, \(f\)가 \(c\)에서 미분 가능하며 \(g\)가 \(f(c)\)에서 미분 가능하면 \[ (g\circ f)'(c)=g'(f(c))f'(c). \]
증명 선형성은 차분몫에 극한의 선형성을 적용하면 바로 얻는다. 곱의 법칙은 \[ \frac{f(x)g(x)-f(c)g(c)}{x-c} = f(x)\frac{g(x)-g(c)}{x-c} + g(c)\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \] 에 \(x\to c\)를 취하면 얻는다. 미분 가능성은 연속성을 함의하므로 \(f(x)\to f(c)\)이다.
\(g(c)\neq0\)이면 연속성에 의해 \(c\)의 충분히 작은 근방에서 \(g(x)\neq0\)이다. 따라서 \[ \frac{1/g(x)-1/g(c)}{x-c} = -\frac{1}{g(x)g(c)} \frac{g(x)-g(c)}{x-c} \] 이고, 여기서 역수의 미분법과 곱의 법칙을 사용하면 몫의 법칙을 얻는다.
마지막으로 \(L=g'(f(c))\)라고 하고 \[ \eta(y)= \begin{cases} \dfrac{g(y)-g(f(c))}{y-f(c)}-L,& y\neq f(c),\\[6pt] 0,& y=f(c) \end{cases} \] 라고 놓으면 \(y\to f(c)\)일 때 \(\eta(y)\to0\)이다. 따라서 \[ g(f(x))-g(f(c)) = \bigl(L+\eta(f(x))\bigr)\bigl(f(x)-f(c)\bigr). \] 이를 \(x-c\)로 나누고 \(x\to c\)를 취하면 연쇄법칙을 얻는다.
특히 다항함수 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)의 도함수는 \[ f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1 \] 이다.
문제 5.2. \(n\)이 자연수이고 \(f\)가 미분 가능한 함수일 때, 곱의 법칙을 사용하여 \[ (f^n)'=nf^{\,n-1}f' \] 임을 증명하시오.
문제 5.3. \(n\)이 자연수이고 \(f(x)=x^n\)일 때 \[ f'(x)=nx^{n-1} \] 임을 미분의 정의에서 직접 증명하시오. 여기서 \(x^0=1\)로 약속한다.
문제 5.4. \(m\)이 \(0\)이 아닌 정수라고 하자. \(f(x)=x^m\)일 때 \[ f'(x)=mx^{m-1} \] 임을 보이시오. 단, \(m<0\)이면 \(x\neq0\)인 점에서 생각한다.
문제 5.5. 미분의 정의를 사용하여 다음과 같이 정의된 함수 \(f\)의 도함수를 구하시오. (문제 4.8을 참조하시오.)
- \(f(x)=\sin x\)
- \(f(x)=\cos x\)
- \(f(x)=\tan x\) (단, \(x\neq\frac{2k+1}{2}\pi\), \(k\in\mathbb Z\))
- \(f(x)=\sec x\) (단, \(x\neq\frac{2k+1}{2}\pi\), \(k\in\mathbb Z\))
- \(f(x)=\csc x\) (단, \(x\neq k\pi\), \(k\in\mathbb Z\))
- \(f(x)=\cot x\) (단, \(x\neq k\pi\), \(k\in\mathbb Z\))
평균값 정리와 그 따름정리
평균값 정리는 도함수의 핵심적인 성질을 나타내며, 도함수를 활용하는 정리를 증명할 때 자주 사용된다.
정리 5.3. (극값에 대한 페르마의 정리)
\(c\)가 구간 \(I\)의 내점이고 함수 \(f\)가 \(I\)에서 정의되어 있으며 \(f\)가 \(c\)에서 극값을 가지고 미분 가능하면 \(f'(c)=0\)이다.
증명 \(f\)가 \(c\)에서 극댓값을 가진다고 하자. 그러면 \(\delta>0\)이 존재하여 \(|x-c|<\delta\)일 때 \(f(x)\le f(c)\)이다. 즉 \(|h|<\delta\)일 때 \(f(c+h)-f(c)\le0\)이다. 그러므로 \[ \begin{aligned} f_-'(c)&=\lim_{h\to0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,\\ f_+'(c)&=\lim_{h\to0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0. \end{aligned} \] 그런데 \(f\)가 \(c\)에서 미분 가능하므로 \(f'(c)=f_-'(c)=f_+'(c)\)이고, 따라서 \(f'(c)=0\)이다. 극솟값의 경우에는 부등호가 반대가 되며 같은 결론을 얻는다.
정리 5.4. (롤의 정리)
\(a<b\)이고 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하며 \(f(a)=f(b)\)라고 하자. 그러면 어떤 \(c\in(a,b)\)에 대하여 \(f'(c)=0\)이다.
증명 \(f\)가 상수함수이면 \((a,b)\)의 모든 점에서 \(f'=0\)이므로 자명하다. \(f\)가 상수함수가 아니라고 하자. 최대 최소 정리에 의해 \(f\)는 \([a,b]\)에서 최댓값과 최솟값을 가진다. \(f(a)=f(b)\)이고 \(f\)가 상수함수가 아니므로 최댓값이나 최솟값 중 적어도 하나는 내부점 \(c\in(a,b)\)에서 얻어진다. 정리 5.3에 의해 \(f'(c)=0\)이다.
정리 5.5. (라그랑주 평균값 정리)
\(a<b\)이고 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하다고 하자. 그러면 어떤 \(c\in(a,b)\)에 대하여 \[ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 가 성립한다.
증명 구간 \([a,b]\) 위에서 함수 \(g\)를 \[ g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \] 라고 정의하면 \(g(a)=g(b)=f(a)\)이다. 롤의 정리를 \(g\)에 적용하면 바라는 결론을 얻는다.
평균값 정리의 기하학적 의미는 곡선 위의 어떤 점에서 접선의 기울기가 할선의 기울기와 같다는 것이다.
문제 5.6. 평균값 정리를 사용하여 임의의 실수 \(x\), \(y\)에 대하여 부등식 \(|\sin x-\sin y|\leq|x-y|\)가 성립함을 증명하시오.
정리 5.6. (코시의 평균값 정리)
\(a<b\)이고 함수 \(f\)와 \(g\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하며, 모든 \(x\in(a,b)\)에 대하여 \(g'(x)\neq0\)이라고 하자. 그러면 어떤 \(c\in(a,b)\)에 대하여 \[ \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \] 가 성립한다.
증명 먼저 \(g(b)\neq g(a)\)임을 확인하자. 만약 \(g(b)=g(a)\)라면 롤의 정리에 의해 어떤 \(c\in(a,b)\)에서 \(g'(c)=0\)이 되는데, 이는 가정에 모순이다.
이제 함수 \(h\)를 \[ h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x) \] 라고 정의하자. 그러면 \(h\)는 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분 가능하며 \[ \begin{aligned} h(a)&=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(a),\\ h(b)&=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(b) \end{aligned} \] 이므로 \(h(a)=h(b)\)이다. \(h\)에 롤의 정리를 적용하면 어떤 \(c\in(a,b)\)에 대하여 \(h'(c)=0\)이다. 즉 \[ f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)=0. \] 여기서 \(g'(c)\neq0\)이므로 바라는 결론을 얻는다.
평균값 정리를 사용하여 함숫값의 변화와 관련된 유용한 공식을 유도할 수 있다.
정리 5.7. (함수의 증감에 대한 일계도함수 판정법)
함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 미분 가능하다고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(I\)의 모든 점에서 \(f'(x)=0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 상수함수이다.
- \(I\)의 모든 점에서 \(f'(x)\ge0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 단조증가한다.
- \(I\)의 모든 점에서 \(f'(x)\le0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 단조감소한다.
- \(I\)의 모든 점에서 \(f'(x)>0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 순증가한다.
- \(I\)의 모든 점에서 \(f'(x)<0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 순감소한다.
증명 \(x<y\)인 \(I\)의 두 점을 택하자. 평균값 정리에 의해 어떤 \(c\in(x,y)\)에 대하여 \[ f(y)-f(x)=f'(c)(y-x) \] 이다. 따라서 \(f'\)의 부호에 따라 \(f(y)-f(x)\)의 부호가 결정되며 (1)–(5)가 모두 따른다.
문제 5.7. 함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 미분 가능하다고 하자.
- \(f\)가 단조증가하면 모든 \(x\in I\)에서 \(f'(x)\ge0\)임을 보이시오.
- \(f\)가 순증가하더라도 모든 점에서 \(f'(x)>0\)일 필요는 없음을 반례로 보이시오.
문제 5.8. 함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 미분 가능하다고 하자. 양수 \(M\)이 존재하여 \(I\)의 모든 점에서 \(|f'(x)|\leq M\)이면, \(f\)는 \(I\)에서 립시츠 연속임을 보이시오.
테일러 정리
함수 \(f\)가 점 \(a\)의 근방에서 미분 가능하고 도함수 \(f'\)이 \(a\)에서 미분 가능할 때 \(f'\)의 미분계수를 \(f''(a)\) 또는 \(\frac{d^2}{dx^2}f(a)\)로 나타낸다. 일반적으로 자연수 \(n\ge2\)에 대하여 \(f^{(n-1)}\)이 \(a\)의 근방에서 정의되어 있고 \(a\)에서 미분 가능하면 \[ f^{(n)}(a)=(f^{(n-1)})'(a) \] 를 \(a\)에서 \(f\)의 \(n\)계미분계수라고 부른다. 점 \(a\)에서 \(f^{(1)}(a),\ldots,f^{(n)}(a)\)가 차례로 정의될 때 “\(f\)가 \(a\)에서 \(n\)번 미분 가능하다”라고 말한다.
\(f^{(n)}(x)\)가 정의되는 점 \(x\)를 \(f^{(n)}(x)\)에 대응시키는 함수를 \(f\)의 \(n\)계도함수라고 부르고 \(f^{(n)}\)으로 나타낸다. 편의상 \(f^{(0)}=f\)로 둔다.
구간 \(I\)의 모든 점에서 \(f\)가 미분 가능하고 \(f'\)이 연속일 때, “\(f\)는 \(I\)에서 \(C^1\)이다” 또는 “\(f\)는 \(I\)에서 연속적으로 미분 가능하다(continuously differentiable)”라고 말한다. [“연속적으로 미분 가능하다”라는 말이 “임의 횟수로 미분 가능하다”라는 뜻이 아니다. 이러한 혼동을 피하려면 “연속인 도함수를 가진다”라는 표현을 사용하는 편이 낫다.] 또한 구간 \(I\)의 모든 점에서 \(f\)의 \(n\)계도함수가 존재하고 \(f^{(n)}\)이 연속일 때, “\(f\)는 \(I\)에서 \(C^n\)이다”라고 말한다. 만약 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(f\)가 \(I\)에서 \(C^n\)이면, “\(f\)는 \(I\)에서 \(C^\infty\)이다”라고 말한다.
\(n\)이 자연수일 때, 점 \(a\)의 근방에서 \(n\)번 미분 가능한 함수 \(f\)에 대하여, \(a\) 근처에서 다항함수를 사용하여 \(f\)의 근사함수를 만들 수 있다.
정의 5.8. (테일러 다항식)
함수 \(f\)가 점 \(a\)에서 \(n\)번 이상 미분 가능하다고 하자. 이때 점 \(a\)에서 함수 \(f\)의 \(n\)차 테일러 다항식(Taylor polynomial)을 다음과 같이 정의한다. \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k. \]
많은 경우에 \(P_n(x)\)의 차수가 클수록, 그리고 \(x\)가 \(a\)에 가까울수록, \(P_n(x)\)의 값이 \(f(x)\)의 값에 가까워진다. 이러한 상황에서 \(P_n(x)\)의 값을 \(f(x)\)의 근삿값으로 사용하려면 두 값이 얼마나 가까운지를 가늠할 수 있는 공식이 필요하다.
정리 5.9. (테일러 정리)
\(a<b\)이고 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 \(C^n\)이며 \((a,b)\)에서 \((n+1)\)번 미분 가능하다고 하자. 그러면 어떤 \(c\in(a,b)\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ f(b)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k +\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}. \] 여기서 우변의 마지막 항을 라그랑주 나머지(Lagrange remainder)라고 부른다.
증명 \(a\)에서 \(f\)의 \(n\)차 테일러 다항식을 \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \] 라고 하자. 나머지 \(R_n(x)=f(x)-P_n(x)\)에 대하여 \[ f(b)=P_n(b)+M(b-a)^{n+1} \] 을 만족시키는 상수 \(M\)이 유일하게 존재한다. 함수 \[ g(t)=f(t)-P_n(t)-M(t-a)^{n+1},\quad t\in[a,b] \] 를 정의하자. 그러면 \(g(a)=g(b)=0\)이고, \(g\)는 \([a,b]\)에서 \(n\)번 미분 가능하고 \((a,b)\)에서 \((n+1)\)번 미분 가능하다.
또한 \(k=0,1,\ldots,n\)에 대하여 \(g^{(k)}(a)=0\)이다. 실제로 \(P_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)\)이고 \((t-a)^{n+1}\)의 \(k\)계도함수는 \(t=a\)에서 \(0\)이다.
이제 롤의 정리를 반복하여 적용하자. \(g(a)=g(b)=0\)이므로 어떤 \(c_1\in(a,b)\)에서 \(g'(c_1)=0\)이다. 이어서 \(g'(a)=g'(c_1)=0\)이므로 어떤 \(c_2\in(a,c_1)\)에서 \(g''(c_2)=0\)이다. 이 과정을 계속하면 어떤 \(c\in(a,b)\)에서 \(g^{(n+1)}(c)=0\)이다.
그런데 \[ g^{(n+1)}(t)=f^{(n+1)}(t)-M(n+1)! \] 이므로 \[ M=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}. \] 따라서 바라는 공식을 얻는다.
테일러 정리의 나머지는 라그랑주 나머지 외에 여러 형태로 나타낼 수 있다. 예를 들어 같은 가정 아래 적당한 \(c\in(a,b)\)에 대하여 \[ R_n=\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(b-c)^n(b-a) \] 로 나타내는 코시 나머지(Cauchy remainder)가 있다. 여기서는 이 식을 증명 없이 기록한다. 적분을 정의한 뒤에는 나머지를 적분으로 나타내는 공식도 얻을 수 있다.
함수의 극값과 볼록성
함수 \(f\colon E\to\mathbb R\)와 \(c\in E\)를 생각하자. 어떤 \(\delta>0\)가 존재하여 모든 \(x\in E\cap B(c,\delta)\)에 대하여 \(f(x)\le f(c)\)이면 \(f\)가 \(c\)에서 국소극댓값(local maximum)을 가진다고 한다. 국소극솟값(local minimum)도 부등호를 반대로 하여 정의한다. 국소극댓값과 국소극솟값을 간단히 극댓값과 극솟값이라고 부르기도 하며, 둘을 통틀어 국소극값 또는 극값이라고 부른다.
극값을 판정하는 방법은 다음과 같은 것들이 있다.
정리 5.10. (극값에 대한 일계도함수 판정법)
함수 \(f\)가 \(c\)를 내점으로 갖는 구간 \(I\)에서 미분 가능하다고 하자.
- 어떤 \(\delta>0\)에 대하여 \((c-\delta,c+\delta)\subseteq I\)이고, \(c-\delta<x<c\)이면 \(f'(x)>0\), \(c<x<c+\delta\)이면 \(f'(x)<0\)일 때 \(f\)는 \(c\)에서 극댓값을 가진다.
- 어떤 \(\delta>0\)에 대하여 \((c-\delta,c+\delta)\subseteq I\)이고, \(c-\delta<x<c\)이면 \(f'(x)<0\), \(c<x<c+\delta\)이면 \(f'(x)>0\)일 때 \(f\)는 \(c\)에서 극솟값을 가진다.
증명 (1)의 경우 정리 5.7에 의해 \(f\)는 \(c\)의 왼쪽에서는 순증가하고 오른쪽에서는 순감소한다. 따라서 충분히 \(c\)에 가까운 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x)\le f(c)\)이다. (2)도 같은 방법으로 증명한다.
정리 5.11. (극값에 대한 이계도함수 판정법)
함수 \(f\)가 \(c\)를 내점으로 갖는 구간에서 미분 가능하고 \(c\)에서 두 번 미분 가능하며 \(f'(c)=0\)이라고 하자.
- \(f''(c)>0\)이면 \(f\)는 \(c\)에서 극솟값을 가진다.
- \(f''(c)<0\)이면 \(f\)는 \(c\)에서 극댓값을 가진다.
- \(f''(c)=0\)인 것만으로는 \(f\)가 \(c\)에서 극값을 가지는지 판정할 수 없다.
증명 \(f''(c)>0\)이라고 하자. 정의에 의해 \[ \lim_{x\to c}\frac{f'(x)-f'(c)}{x-c} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{x-c} =f''(c)>0. \] 따라서 충분히 \(c\)에 가까운 \(x\neq c\)에 대하여 \(f'(x)/(x-c)>0\)이다. 즉 \(x<c\)이면 \(f'(x)<0\), \(x>c\)이면 \(f'(x)>0\)이므로 일계도함수 판정법에 의해 \(c\)에서 극솟값을 가진다. \(f''(c)<0\)인 경우도 같은 방법으로 극댓값을 얻는다.
마지막 항은 \(f(x)=x^4\), \(f(x)=-x^4\), \(f(x)=x^3\)을 \(c=0\)에서 비교하면 확인할 수 있다.
문제 5.9. 다음 세 함수에 대하여 \(x=0\)이 극값점인지 판정하고, 이계도함수 판정법만으로 결론을 낼 수 있는지도 설명하시오. \[ f_1(x)=x^4,\quad f_2(x)=-x^4,\quad f_3(x)=x^3. \]
문제 5.10. 함수 \(f(x)=x^3-3x+1\)의 극값을 구하고, 각 극값이 극댓값인지 극솟값인지 판정하시오.
구간 \(I\)에서 정의된 함수 \(f\)가 \(I\)에서 볼록하다(convex)는 것은, 임의의 \(x,y\in I\)와 \(t\in[0,1]\)에 대해 다음이 성립하는 것을 의미한다. \[ f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).\tag{5.1} \] 만약 부등호를 반대로 바꾼 조건이 성립하면 “\(f\)가 \(I\)에서 오목하다(concave)”라고 말한다.
부등식 (5.1)은 \(I\)의 임의의 서로 다른 두 점 \(x\), \(y\)에 대하여, \(f\)의 그래프 위의 두 점 \((x,f(x))\)와 \((y,f(y))\)를 이은 선분이 \(f\)의 그래프보다 아래쪽에 있지 않다는 것을 의미한다.
정리 5.12.
함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 두 번 미분 가능하다고 하자.
- 만약 \(I\)에서 \(f''\geq0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 볼록하다.
- 만약 \(I\)에서 \(f''\leq0\)이면 \(f\)는 \(I\)에서 오목하다.
증명 (1)만 증명하면 충분하다. (2)는 (1)을 \(-f\)에 적용하면 된다.
\(I\)에서 \(f''\ge0\)이라고 하자. \(x<y\)인 \(I\)의 두 점과 \(t\in(0,1)\)을 택하고 \[ z=tx+(1-t)y \] 라고 놓자. 그러면 \(x<z<y\)이다. \(f''\ge0\)이므로 정리 5.7에 의해 \(f'\)은 단조증가한다. 평균값 정리에 의해 어떤 \(\xi_1\in(x,z)\), \(\xi_2\in(z,y)\)가 존재하여 \[ \frac{f(z)-f(x)}{z-x}=f'(\xi_1), \quad \frac{f(y)-f(z)}{y-z}=f'(\xi_2). \] \(\xi_1<\xi_2\)이므로 \(f'(\xi_1)\le f'(\xi_2)\)이다. 따라서 \[ (y-x)f(z)\le(y-z)f(x)+(z-x)f(y). \] 여기서 \(y-z=t(y-x)\), \(z-x=(1-t)(y-x)\)이므로 \[ f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y). \] \(x=y\)이거나 \(t=0,1\)인 경우는 자명하므로 \(f\)는 \(I\)에서 볼록하다.
문제 5.11. \(I\)가 공집합이 아닌 열린구간이고 \(f\)가 \(I\)에서 볼록한 함수라고 하자. 이때 \(f\)가 \(I\)에서 연속임을 보이시오.
문제 5.12. 함수 \(f\)가 열린구간 \(I\)에서 미분 가능한 함수라고 하자. 이때 \(f\)가 \(I\)에서 볼록함수이기 위한 필요충분조건은 \(f'\)이 \(I\)에서 단조증가함수인 것임을 보이시오.
정리 5.13. (옌센 부등식)
함수 \(f\)가 구간 \(I\)에서 볼록한 함수이고 \(i=1,2,\ldots,n\)에 대하여 \(x_i\in I\), \(\lambda_i\geq0\)이며 \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1\)이면 다음이 성립한다. \[ f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_i). \]
증명 수학적 귀납법으로 증명하자. \(n=1\)일 때는 자명하고, \(n=2\)일 때는 볼록함수의 정의이다.
\(n=k\)일 때 성립한다고 가정하고 \(n=k+1\)일 때를 보이자. \(\lambda_1,\ldots,\lambda_{k+1}\geq0\), \(\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i=1\)이라고 하자. \(\lambda_{k+1}=1\)인 경우는 자명하므로 \(\lambda_{k+1}<1\)이라고 하자. \(i=1,\ldots,k\)에 대하여 \[ \mu_i=\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}} \] 로 두면 \(\sum_{i=1}^k\mu_i=1\)이다. 귀납적 가정에 의해 \[ f\left(\sum_{i=1}^k\mu_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^k\mu_i f(x_i). \]
이제 \(y=\sum_{i=1}^k\mu_i x_i\)라고 놓으면 \[ \sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i x_i =(1-\lambda_{k+1})y+\lambda_{k+1}x_{k+1}. \] 볼록함수의 정의와 귀납적 가정에 의해 \[ \begin{aligned} f\left(\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i x_i\right) &\leq(1-\lambda_{k+1})f(y)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1})\\ &\leq(1-\lambda_{k+1})\sum_{i=1}^k\mu_i f(x_i)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1})\\ &=\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i f(x_i). \end{aligned} \] 그러므로 수학적 귀납법에 의하여 바라는 결론을 얻는다.
위 정리는 적분으로 표현할 수도 있다. 뒤에서 적분으로 표현한 옌센 부등식을 문제로 다룬다.
함수 \(f\)가 \(c\)를 내점으로 갖는 구간 \(I\)에서 정의되어 있다고 하자. \(c\)의 한쪽에서는 \(f\)가 볼록하고 다른 쪽에서는 오목하여 \(c\)를 지나면서 볼록성이 바뀌면, \((c,f(c))\)를 \(f\)의 그래프의 변곡점(inflection point)이라고 부른다. 특히 \(f''\)이 \(c\)의 양쪽에서 존재하고 \(c\)를 지나면서 \(f''\)의 부호가 바뀌면 \(c\)는 변곡점이다.
미분의 여러 응용
함수가 구간에서 일대일대응이고 미분 가능할 때 그 역함수의 미분 가능성을 생각할 수 있다.
정리 5.14. (역함수 정리 (1차원))
함수 \(f\colon I\to\mathbb R\)가 구간 \(I\)에서 연속이고 순증가하거나 순감소한다고 하자. 그러면 \(f\colon I\to f(I)\)는 일대일대응이고 역함수 \[ f^{-1}\colon f(I)\to I \] 는 연속이다. 또한 \(c\)가 \(I\)의 내점이고 \(f'(c)\neq0\)이면 \(f^{-1}\)은 \(f(c)\)에서 미분 가능하고 \[ (f^{-1})'(f(c))=\frac1{f'(c)} \] 이다.
증명 \(f\)가 순증가하는 경우만 증명하면 충분하다. 연속성과 사잇값 정리에 의해 \(f(I)\)는 구간이고, 순증가성에 의해 \(f\colon I\to f(I)\)는 일대일대응이다.
먼저 역함수의 연속성을 보이자. 임의의 \(c\in I\)를 택하고 \(d=f(c)\)라고 하자. \(c\)가 내점이면 충분히 작은 \(\varepsilon>0\)에 대하여 \(c-\varepsilon,c+\varepsilon\in I\)이고 \[ f(c-\varepsilon)<d<f(c+\varepsilon). \] 따라서 \[ \eta=\min\{d-f(c-\varepsilon),\,f(c+\varepsilon)-d\}>0 \] 로 두면 \(y\in f(I)\), \(|y-d|<\eta\)일 때 \[ c-\varepsilon<f^{-1}(y)<c+\varepsilon. \] 끝점에서는 한방향으로 같은 논증을 적용할 수 있으므로 \(f^{-1}\)은 \(f(I)\)에서 연속이다. 순감소인 경우도 부등호만 바꾸면 된다.
이제 \(c\)가 \(I\)의 내점이고 \(f'(c)\neq0\)이라고 하자. \(y\to d=f(c)\), \(y\in f(I)\), \(y\neq d\)일 때 \(x=f^{-1}(y)\)라고 놓으면 역함수의 연속성에 의해 \(x\to c\)이고 \(x\neq c\)이다. 따라서 \[ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(d)}{y-d} = \frac{x-c}{f(x)-f(c)} = \frac1{\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}} \longrightarrow\frac1{f'(c)}. \] 그러므로 바라는 공식을 얻는다.
문제 5.13. \(r\)이 \(0\) 아닌 유리수이고 \(x>0\)에 대하여 \(f(x)=x^r\)이라고 할 때 \(f'(x)=rx^{r-1}\)임을 보이시오.
문제 5.14. 미분의 정의를 사용하여 다음과 같이 정의된 함수 \(f\)의 도함수를 구하시오. (문제 4.7을 참조하시오.)
- \(f(x)=e^x\)
- \(f(x)=\ln x\) (단, \(x>0\).)
- \(f(x)=a^x\) (단, \(a>0\), \(a\ne1\).)
- \(f(x)=\log_a x\) (단, \(a>0\), \(a\ne1\), \(x>0\).)
문제 5.15. 함수 \(f(x)=e^x\)의 \(0\)에서의 \(n\)차 테일러 다항식을 사용하여 \(x=1\)에서 \(e\)의 근삿값을 구할 때, 오차가 \[ \frac{3}{(n+1)!} \] 보다 작음을 보이시오. 문제 1.16에서 얻은 \(e<3\)을 사용해도 좋다.
문제 5.16. 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \[ 1+x\le e^x \] 임을 보이시오.
문제 5.17. \(a>0\), \(a\ne1\)이고 \(x\)가 실수일 때, \(a^x=e^{x\ln a}\)가 성립함을 보이시오.
문제 5.18. \(\alpha\)가 무리수이고 \(x>0\)에 대하여 \(f(x)=x^\alpha\)라고 할 때 \(f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\)임을 보이시오.
문제 5.19. 실수 \(r\)에 대하여 다음을 증명하시오.
- \(x>-1\)이고 \(r\ge1\)일 때 \((1+x)^r\ge1+rx\)이다.
- \(x>-1\)이고 \(0\le r\le1\)일 때 \((1+x)^r\le1+rx\)이다.
\(x=-1\)이고 \(r>0\)인 경우에는 정의되는 범위에서 같은 부등식이 직접 성립함을 확인하시오. 이를 베르누이 부등식의 실수 지수 형태라고 부른다.
문제 5.20. 역함수 정리(정리 5.14)를 사용하여 다음 역삼각함수의 도함수를 구하시오.
- \(f(x)=\sin^{-1}x\), 여기서 \(\sin\)은 \((-\pi/2,\pi/2)\)에 제한한다. \((-1<x<1)\)
- \(f(x)=\cos^{-1}x\), 여기서 \(\cos\)은 \((0,\pi)\)에 제한한다. \((-1<x<1)\)
- \(f(x)=\tan^{-1}x\), 여기서 \(\tan\)은 \((-\pi/2,\pi/2)\)에 제한한다. \((x\in\mathbb R)\)
문제 5.21. 함수 \[ f(x)=|\sin x| \] 가 \(\mathbb R\)에서 연속이고, 정확히 \(x=k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\))에서 미분 가능하지 않음을 보이시오.
함수 \(f\)가 미분 가능하더라도 \(f'\)은 연속이 아닐 수 있다. 그럼에도 불구하고 도함수는 다음과 같이 사잇값 성질을 가진다.
정리 5.15. (다르부의 정리)
\(a<b\)이고 \(f\)가 \([a,b]\)에서 미분 가능하며 \(f'(a)\neq f'(b)\)이면, \(f'(a)\)와 \(f'(b)\) 사이의 모든 값이 \(f'\)의 치역에 포함된다.
증명 일반성을 잃지 않고 \(f'(a)<k<f'(b)\)라고 하자. \(g(x)=f(x)-kx\)라고 하면 \(g'(x)=f'(x)-k\)이므로 \[ g'(a)=f'(a)-k<0,\quad g'(b)=f'(b)-k>0. \] \(g'(a)<0\)이므로 충분히 작은 \(h>0\)에 대하여 \[ \frac{g(a+h)-g(a)}{h}<0, \] 따라서 \(g(a+h)<g(a)\)이다. 마찬가지로 \(g'(b)>0\)이므로 충분히 작은 \(h>0\)에 대하여 \(g(b-h)<g(b)\)이다. \(g\)가 컴팩트 집합 \([a,b]\)에서 연속이므로 이 집합에서 최솟값을 가진다. \(g\)는 \(a\)나 \(b\)에서 최솟값을 갖지 않으므로 어떤 \(c\in(a,b)\)에서 최솟값을 갖는다. 페르마의 정리(정리 5.3)에 의해 \(g'(c)=0\)이다. 따라서 \(f'(c)=k\)이다.
함수의 극한이 부정형일 때, 도함수를 사용하여 극한을 구하는 유용한 공식이 있다.
정리 5.16. (로피탈의 정리)
\(a\in\mathbb R\)이고 함수 \(f\)와 \(g\)가 \(a\)의 구멍뚫린 근방에서 미분 가능하며 그 근방에서 \(g'(x)\neq0\)이라고 하자. 다음 두 경우 중 하나가 성립한다고 하자.
- \[ \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0.\tag{5.2} \]
- \[ \lim_{x\to a}|f(x)|=\lim_{x\to a}|g(x)|=\infty. \]
또한 \[ \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L \] 이 존재한다고 하자. 그러면 \[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L.\tag{5.3} \] 여기서 \(L\)은 유한한 실수뿐 아니라 \(+\infty\) 또는 \(-\infty\)일 수도 있다. 같은 명제는 좌극한과 우극한에 대해서도 성립하며, \(x\to\pm\infty\)인 경우에도 성립한다.
증명 먼저 \(0/0\) 꼴의 경우를 보이자. \(f(a)=g(a)=0\)으로 정의하면 두 함수는 \(a\)에서 연속이 된다. \(x\neq a\)가 \(a\)에 충분히 가까울 때 \(a\)와 \(x\) 사이에서 코시의 평균값 정리를 적용하면 어떤 \(c_x\)가 \(a\)와 \(x\) 사이에 존재하여 \[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} \] 이다. 이때 \(c_x\to a\)이므로 오른쪽은 \(L\)로 수렴한다.
다음으로 \(\infty/\infty\) 꼴의 경우를 한방향 극한에서 설명하자. 유한한 \(L\)의 경우, 임의의 \(\varepsilon>0\)에 대하여 \(a\)에 충분히 가까운 한쪽 근방에서 \[ \left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-L\right|<\varepsilon \] 가 성립한다. 그 근방 안의 점 \(x_0\)를 하나 고정하고, \(x\)를 \(a\)에 더 가까운 점으로 택한다. 코시의 평균값 정리에 의해 \(x\)와 \(x_0\) 사이의 어떤 \(c_x\)에 대하여 \[ Q_x:=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} =\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} \] 이므로 \(|Q_x-L|<\varepsilon\)이다. 한편 \[ \frac{f(x)}{g(x)} = Q_x\left(1-\frac{g(x_0)}{g(x)}\right) + \frac{f(x_0)}{g(x)}. \] \(|g(x)|\to\infty\)이므로 뒤의 두 보정항은 사라지고, 따라서 \(f(x)/g(x)\to L\)이다. \(L=\pm\infty\)인 경우에도 위 논증에서 \(|Q_x|\)를 임의로 크게 만드는 방식으로 같은 결론을 얻는다. 반대쪽 한방향 극한도 동일하다.
\(x\to+\infty\) 또는 \(x\to-\infty\)인 경우에는 위의 \(\infty/\infty\) 논증을 충분히 큰 \(|x|\)에서 직접 적용하면 된다. \(0/0\) 꼴은 \(F(t)=f(1/t)\), \(G(t)=g(1/t)\)로 두어 \(t\to0+\) 또는 \(t\to0-\)인 경우로 환원할 수 있고, \[ \frac{F'(t)}{G'(t)} = \frac{f'(1/t)}{g'(1/t)} \] 이다.
문제 5.22. 다음 극한을 구하시오.
- \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}\)
- \(\displaystyle\lim_{x\to0+}x\ln x\)
- \(\displaystyle\lim_{x\to0+}(1+3x)^{1/x}\)
- \(\displaystyle\lim_{x\to1+}(\ln x)^{1-x}\)
문제 5.23. 함수 \(f\)가 \(\mathbb R\)에서 미분 가능하고 \(A\)가 실수이며 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))=A\)이면 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=A\)임을 증명하시오.