거리공간

1장에서는 실수열의 수렴을 두 실수 사이의 거리 \(|x-y|\)를 이용하여 정의하였다. 거리공간은 이러한 ‘멀고 가까움’의 개념을 일반적인 집합 위로 추상화한 것이다. 이 장에서는 거리공간의 정의와 여러 예를 살펴보고, 부분공간과 거리동형을 정의한다.

거리공간의 정의

집합 \(X\)와 함수 \(d\colon X\times X\to\mathbb R\)이 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, \(d\)를 \(X\) 위의 거리(metric) 또는 거리함수라고 부르고, \((X,d)\)를 거리공간(metric space)이라고 부른다.

1. (M1) 양의 정부호성: \(d(x,y)=0\)이기 위한 필요충분조건은 \(x=y\)이다.
2. (M2) 대칭성: 임의의 \(x,y\in X\)에 대하여 \(d(x,y)=d(y,x)\)이다.
3. (M3) 삼각부등식: 임의의 \(x,y,z\in X\)에 대하여 \(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\)이다.

거리함수를 혼동할 염려가 없을 때는 \((X,d)\)를 간단히 \(X\)로 나타낸다. 위 정의에서는 거리의 공역을 \([0,\infty)\)로 미리 제한하지 않았다. 거리의 비음수성은 세 조건에서 따라오며, 다음 문제에서 확인한다.

거리공간 \((X,d)\)에서 점 \(x\in X\)와 양수 \(r>0\)에 대하여 다음과 같이 정의한다.

• 중심이 \(x\)이고 반지름이 \(r\)인 열린공(open ball): \[ B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)<r\} \]
• 중심이 \(x\)이고 반지름이 \(r\)인 닫힌공(closed ball): \[ \overline B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\} \]
• 중심이 \(x\)이고 반지름이 \(r\)인 구면(sphere): \[ S(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)=r\} \]
• 중심이 \(x\)이고 반지름이 \(r\)인 구멍뚫린 열린공(punctured open ball): \[ B'(x,r)=\{y\in X\mid 0<d(x,y)<r\} \]

책에 따라서는 위 집합들을 기호로 각각 \(B_r(x)\), \(\overline B_r(x)\), \(S_r(x)\), \(B'_r(x)\)와 같이 나타내기도 한다.

거리공간의 예시

유클리드 거리

\(\mathbb R^n\)에서 유클리드 거리(Euclidean metric)를 다음과 같이 정의한다. \[ d_2(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}. \] 특히 \(\mathbb R\)에서는 \(d_2(x,y)=|x-y|\)이고, \(\mathbb R^2\)에서는 \(d_2\)가 일반적인 평면에서의 거리가 된다.

더 일반적으로, \(1\leq p<\infty\)일 때 \(\mathbb R^n\)에서 \(p\)-거리를 다음과 같이 정의한다. \[ d_p(x,y)=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^p\right)^{1/p}. \] 일반적인 \(p\)에 대하여 삼각부등식을 보이는 핵심은 다음 민코프스키 부등식(Minkowski's inequality)이다. \[ \left(\sum_{i=1}^n|u_i+v_i|^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum_{i=1}^n|u_i|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{i=1}^n|v_i|^p\right)^{1/p}. \] 이 부등식의 증명은 이 장의 범위를 벗어나므로 여기서는 증명 없이 사용한다.

또한 \(p=\infty\)에 대응하는 거리로 \[ d_\infty(x,y)=\max_{1\leq i\leq n}|x_i-y_i| \] 를 정의한다. 이 거리를 최대 거리 또는 균등 거리라고 부른다.

\(\mathbb R^2\)에서 점 \(O=(0,0)\)을 중심으로 하고 반지름이 1인 열린공의 모양은 거리함수에 따라 다르다.

• 거리함수가 \(d_1\)일 때 \(B(O,1)\)은 마름모 모양이다.
• 거리함수가 \(d_2\)일 때 \(B(O,1)\)은 원 모양이다.
• 거리함수가 \(d_\infty\)일 때 \(B(O,1)\)은 정사각형 모양이다.

복소평면

문제 1.13에서처럼 복소수 \(z=a+bi\)를 점 \((a,b)\in\mathbb R^2\)와 대응시키자. \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)로 정의하고 \[ d(z,w)=|z-w| \] 로 두면 \(\mathbb C\)는 거리공간이 된다. 실제로 \(z=a+bi\), \(w=c+di\)이면 \[ |z-w|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}, \] 이므로 이 거리는 \(\mathbb R^2\)의 유클리드 거리와 정확히 대응한다.

이산거리공간

임의의 집합 \(X\)에 대하여 이산거리(discrete metric)를 다음과 같이 정의한다. \[ d(x,y)= \begin{cases} 0 & \text{if }\;x=y,\\[5pt] 1 & \text{if }\;x\neq y. \end{cases} \] 이산거리공간에서는 각 점을 충분히 작은 열린공 하나로 따로 떼어낼 수 있다. 실제로 \(0<r\leq1\)일 때 \(B(x,r)=\{x\}\)이다.

함수공간

\(E\)가 공집합이 아닌 집합이라고 하자. 함수 \(f\colon E\to\mathbb R\)에 대하여 어떤 \(M>0\)이 존재하여 모든 \(x\in E\)에서 \(|f(x)|\leq M\)이면 \(f\)가 \(E\)에서 유계라고 한다. \(E\)에서 유계인 실함수들의 집합을 \(B(E)\)라고 하자. \(f,g\in B(E)\)에 대하여 \[ d_\infty(f,g)=\sup_{x\in E}|f(x)-g(x)| \] 로 두면 \(d_\infty\)는 \(B(E)\) 위의 거리함수가 된다. \(f-g\)가 유계이므로 위 상한은 유한한 실수로 존재한다.

뒤에서 연속함수를 정의하면 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속인 실함수들의 집합 \(C[a,b]\)도 이 거리의 중요한 예가 된다. 적분을 정의한 뒤에는 \(L^p\) 형태의 거리도 다룰 수 있다.

노름공간

선형대수학에서 다루는 실벡터공간 \(V\)를 생각하자. 함수 \(\lVert\cdot\rVert\colon V\to[0,\infty)\)가 다음 세 조건을 만족시키면 이를 노름(norm)이라고 하고, \((V,\lVert\cdot\rVert)\)를 노름공간(normed space)이라고 부른다.

1. (N1) \(\lVert u\rVert=0\)이기 위한 필요충분조건은 \(u=0\)이다.
2. (N2) 임의의 \(\alpha\in\mathbb R\), \(u\in V\)에 대하여 \(\lVert\alpha u\rVert=|\alpha|\lVert u\rVert\)이다.
3. (N3) 임의의 \(u,v\in V\)에 대하여 \(\lVert u+v\rVert\leq\lVert u\rVert+\lVert v\rVert\)이다.

노름공간에서 \[ d(u,v)=\lVert u-v\rVert \] 로 정의하면 \(d\)는 거리함수가 된다. 따라서 모든 노름공간은 자연스럽게 거리공간이 된다. 예를 들어 \(\mathbb R^n\)에서 \[ \|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{1/p}, \qquad \|x\|_\infty=\max_{1\leq i\leq n}|x_i| \] 로 두면 \[ d_p(x,y)=\|x-y\|_p,\qquad d_\infty(x,y)=\|x-y\|_\infty \] 이다.

부분공간과 거리동형

거리공간 \((X,d)\)의 부분집합 \(Y\subseteq X\)에 대하여, \(d\)의 정의역을 \(Y\times Y\)로 제한한 함수 \(d_Y\)는 \(Y\) 위의 거리가 된다. 이때 거리공간 \((Y,d_Y)\)를 \((X,d)\)의 부분거리공간(metric subspace) 또는 간단히 부분공간이라고 부른다.

예를 들어, 구간 \([0,1]\)은 \(\mathbb R\)의 부분거리공간이고, 단위원 \[ S^1=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\} \] 은 \(\mathbb C\)의 부분거리공간이다.

두 거리공간 \((X,d_X)\)와 \((Y,d_Y)\) 사이의 함수 \(f\colon X\to Y\)가 \[ d_Y(f(x_1),f(x_2))=d_X(x_1,x_2) \] 를 모든 \(x_1,x_2\in X\)에 대하여 만족시킬 때 \(f\)를 거리보존함수(isometry)라고 부른다. 거리보존함수는 일대일함수이다. 실제로 \(f(x_1)=f(x_2)\)이면 \[ d_X(x_1,x_2)=d_Y(f(x_1),f(x_2))=0 \] 이므로 \(x_1=x_2\)이다. 거리보존함수 \(f\colon X\to Y\)가 위로의 함수이면 두 거리공간 \(X\)와 \(Y\)가 거리동형이다(isometric)라고 말한다.

두 거리공간 \((X,d_X)\)와 \((Y,d_Y)\)의 곱집합 \(X\times Y\)에는 다음과 같이 여러 거리를 정의할 수 있다.

• 유클리드 곱거리: \[ d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) =\sqrt{d_X(x_1,x_2)^2+d_Y(y_1,y_2)^2} \]
• 택시 곱거리: \[ d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2)) =d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2) \]
• 최대 곱거리: \[ d_\infty((x_1,y_1),(x_2,y_2)) =\max\{d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\} \]

세 거리 중 하나를 준 거리공간 \((X\times Y,d)\)를 곱거리공간(product metric space)이라고 부른다. 이들이 모두 거리함수임은 다음 문제에서 확인한다. 또한 모든 \(p,q\in X\times Y\)에 대하여 \[ d_\infty(p,q)\leq d_2(p,q)\leq d_1(p,q)\leq2d_\infty(p,q) \] 가 성립하므로 세 거리는 서로 정량적으로 비교할 수 있다.