실수계의 성질

이 장에서는 실수계를 완비순서체로 정의하고 그 성질을 살펴본다.

순서체

집합 \(F\)에 덧셈과 곱셈이 정의되어 있고, 이 연산이 다음 조건을 모두 만족시킬 때, \(F\)를 체(field)라고 부른다.

1. 덧셈: 결합법칙과 교환법칙을 만족시키고, 덧셈에 대한 항등원 0이 존재하며, 임의의 원소의 덧셈에 대한 역원이 존재한다.
2. 곱셈: 결합법칙과 교환법칙을 만족시키고, 곱셈에 대한 항등원 1이 존재하며, 0이 아닌 임의의 원소의 곱셈에 대한 역원이 존재한다.
3. 분배법칙: 임의의 원소 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a(b + c) = ab + ac\)가 성립한다.

\(b\)의 덧셈에 대한 역원을 \(-b\)로 나타낸다. 또한 \(a+(-b)\)를 간단히 \(a-b\)로 나타낸다. \(b\neq 0\)일 때, \(b\)의 곱셈에 대한 역원을 \(\frac{1}{b}\) 또는 \(1/b\) 또는 \(b^{-1}\)로 나타낸다. 또한 \(a\)와 \(\frac{1}{b}\)의 곱을 \(\frac{a}{b}\) 또는 \(a/b\)로 나타낸다.

체 \(F\)에 순서 관계 \(\leq\)가 정의되어 있으며 다음 조건을 모두 만족시킬 때 \(F\)를 순서체(ordered field)라고 부른다.

1. 임의의 \(a,\, b \in F\)에 대해 \(a \leq b\) 또는 \(b \leq a\)이다.
2. \(a \leq b\)이고 \(b \leq c\)이면 \(a \leq c\)이다.
3. \(a \leq b\)이고 \(b \leq a\)이면 \(a = b\)이다.
4. \(a \leq b\)이면 \(a + c \leq b + c\)이다.
5. \(a \leq b\)이고 \(0 \leq c\)이면 \(ac \leq bc\)이다.

\(a\le b\)이면서 \(a\neq b\)인 것을 \(a0\)일 때 \(a\)를 양수라고 부르고, \(a<0\)일 때 \(a\)를 음수라고 부른다. 순서체의 모든 원소는 양수, \(0\), 음수 중 하나로 결정된다.

순서체 \(F\)의 원소 \(a\)의 절댓값 \(\lvert a \rvert\)를 다음과 같이 정의한다. \[\lvert a \rvert = \begin{cases} a & \text{ if }\, a\ge 0 ,\\[6pt] -a & \text{ if }\, a < 0 . \end{cases}\]

수학에서 자주 다루는 대표적인 체는 다음과 같은 것들이 있다.

• 유리수체 \(\mathbb{Q}\), 실수체 \(\mathbb{R}\), 복소수체 \(\mathbb{C}\)는 모두 체이다. 특히 \(\mathbb{Q}\)와 \(\mathbb{R}\)은 순서체이다.
• \(p\)가 소수(prime number)이고 \(\mathbb{Z}_p = \left\{ 0,\,1,\,2,\,\cdots,\,p-1 \right\}\)이라고 하자. 여기서 덧셈과 곱셈을 통상적인 정수의 연산의 결과를 \(p\)로 나눈 나머지로 정의하자. 예를 들면 \(p=5\)일 때 \[\begin{gathered} 1+0=1,\quad 1+2=3,\quad 3+2=0,\quad 3+4=2,\quad \cdots, \\[6pt] 1\cdot 0=0,\quad 1\cdot 2=2,\quad 3\cdot 2=1,\quad 3\cdot 4=2,\quad \cdots \end{gathered}\] 이다. 그러면 \(\mathbb{Z}_p\)는 체이다.

유리수 집합 \(\mathbb{Q}\)는 순서체이다. 그러나 유리수 집합에서는 유리수 수열의 극한이 유리수가 아닐 수 있다. 이러한 한계를 극복하기 위해 완비성(completeness)이라는 개념이 필요하다.

상한과 완비성

집합 \(A \subseteq \mathbb{R}\)과 실수 \(M\), \(m\)에 대하여 다음과 같이 정의한다.

• 모든 \(x \in A\)에 대해 \(x \leq M\)이면 \(M\)을 \(A\)의 상계(upper bound)라고 부른다.
• 모든 \(x \in A\)에 대해 \(x \geq m\)이면 \(m\)을 \(A\)의 하계(lower bound)라고 부른다.
• 집합 \(A\)의 상계가 존재할 때, "\(A\)는 위로 유계이다(bounded above)"라고 말한다.
• 집합 \(A\)의 하계가 존재할 때, "\(A\)는 아래로 유계이다(bounded below)"라고 말한다.
• 집합 \(A\)가 위로 유계이면서 아래로 유계일 때, "\(A\)는 유계이다(bounded)"라고 말한다.

집합 \(A\)가 위로 유계일 때, \(A\)의 상계의 최솟값을 \(A\)의 상한(supremum) 또는 최소상계(least upper bound)라고 부르고 \(\sup A\)로 나타낸다. 마찬가지로 집합 \(A\)가 아래로 유계일 때, \(A\)의 하계의 최댓값을 \(A\)의 하한(infimum) 또는 최대하계(greatest lower bound)라고 부르고 \(\inf A\)로 나타낸다.

즉 실수 \(\alpha\)가 집합 \(A\)의 상한일 필요충분조건은 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.

• \(\alpha\)가 \(A\)의 상계이다.
• \(\beta\)가 \(A\)의 상계이면, \(\alpha \le \beta\)이다.

실수 \(\alpha\)가 집합 \(A\)의 상한일 필요충분조건을 다음 두 조건을 모두 만족시키는 것으로 진술할 수도 있다.

• 임의의 \(x \in A\)에 대해 \(x \leq \alpha\)이다.
• 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\alpha - \varepsilon < x\)인 \(x \in A\)가 존재한다.

다음 공리는 실수계와 유리수계의 본질적인 차이를 설명하는 진술이다.

완비성을 만족시키는 체를 완비체(complete field)라고 부른다. 완비인 순서체가 유일하게 존재함이 알려져 있다. 완비인 순서체를 실수계(real number system)라고 부르고 \(\mathbb{R}\)로 나타낸다.

집합 \(A\)가 위로 유계가 아닐 때는 \(A\)의 상한을 \(\infty\)로 정의한다. 또한 \(A\)가 아래로 유계가 아닐 때는 \(A\)의 하한을 \(-\infty\)로 정의한다.

공집합의 상한은 책에 따라서 \(-\infty\)로 정의하기도 하고, 존재하지 않는 것으로 정의하기도 한다. 공집합의 하한 또한 책에 따라서 \(\infty\)로 정의하기도 하고, 존재하지 않는 것으로 정의하기도 한다.

자연수, 정수, 유리수

\(\mathbb{R}\)의 부분집합 \(N\)이 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, \(N\)을 귀납적 집합(inductive set)이라고 부른다.

1. \(1\in N\)이다.
2. \(n\in N\)이면 \(n+1\in N\)이다.

또한 모든 귀납적 집합의 교집합을 자연수 집합이라고 부르고 \(\mathbb{N}\)으로 나타낸다. [책에 따라서는 \(0\) 이상인 정수를 자연수라고 부르기도 한다. 이 노트에서는 \(1\) 이상인 정수를 자연수라고 부르겠다.]

\(n\)이 자연수일 때 \(-n\)을 음의 정수라고 부른다. 이러한 관점에서 자연수를 양의 정수라고 부르기도 한다. 양의 정수와 음의 정수, 그리고 \(0\)을 통틀어 정수라고 부른다. 모든 정수의 집합을 \(\mathbb{Z}\)로 나타낸다.

두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수를 유리수라고 부른다. 물론 \(0\)의 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않으므로, 분모가 \(0\)인 비는 생각하지 않는다. 모든 유리수의 집합을 \(\mathbb{Q}\)로 나타낸다. 즉 \[\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{k} \,\Big\vert\, m\in \mathbb{Z} ,\, k\in\mathbb{Z} ,\, k\neq 0 \right\} .\]

실수열의 극한

실수열 \(\{a_n\}\)이 실수 \(L\)로 수렴한다(converge)는 것은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때 \(|a_n - L| < \varepsilon\)이 성립하는 것을 의미한다. 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다. \[\lim_{n \to \infty} a_n = L \quad\text{ 또는 }\quad a_n \to L.\]

수렴하는 수열의 극한은 유일하다. 즉 \(a_n \to L\)이고 \(a_n \to M\)이라고 하자. 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해, 충분히 큰 \(n\)이 존재하여 \(|a_n - L| < \frac{\varepsilon}{2}\)이고 \(|a_n - M| < \frac{\varepsilon}{2}\)이다. 이때 삼각부등식에 의해 \[|L - M| \leq |L - a_n| + |a_n - M| < \varepsilon\] 이 성립한다. 여기서 \(\varepsilon\)이 임의의 양수이므로 \(L = M\)이다.

실수 \(M\)이 존재하여 임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \le M\)일 때, "\(\left\{ a_n \right\}\)이 위로 유계이다(bounded above)"라고 말한다. 실수 \(m\)이 존재하여 임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \ge m\)일 때, "\(\left\{ a_n \right\}\)이 아래로 유계이다(bounded below)"라고 말한다. 수열이 위로 유계이면서 아래로 유계일 때 "수열이 유계이다"라고 말한다. 즉 수열이 유계라는 것은 그 수열의 모든 항을 원소로 갖고 길이가 유한인 구간이 존재하는 것이다.

사칙계산 및 순서관계와 관련하여, 수열의 극한은 다음과 같은 성질을 가진다.

• 선형성: \(c\)와 \(d\)가 상수이고 \(a_n \to A\), \(b_n \to B\)이면 \(ca_n + db_n \to cA + dB\)이다.
• 곱의 극한: \(a_n \to A\), \(b_n \to B\)이면 \(a_n b_n \to AB\)이다.
• 몫의 극한: \(a_n \to A\), \(b_n \to B \neq 0\)이면 \(a_n/b_n \to A/B\)이다.
• 순서 보존: \(a_n \leq b_n\)이고 \(a_n \to A\), \(b_n \to B\)이면 \(A \leq B\)이다.
• 샌드위치 정리: \(a_n \leq b_n \leq c_n\)이고 \(a_n \to L\), \(c_n \to L\)이면 \(b_n \to L\)이다.

수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 어떠한 실수에도 수렴하지 않을 때, "\(\left\{ a_n \right\}\)이 발산한다(diverge)"라고 말한다. 발산하는 수열의 극한을 다음과 같이 분류한다.

• 임의의 \(M > 0\)에 대해 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때 \(a_n > M\)이면 "\(\left\{ a_n \right\}\)이 양의 무한대로 발산한다"라고 말하고, 이것을 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \infty\) 또는 \(a_n \rightarrow \infty\)로 나타낸다.
• 임의의 \(M > 0\)에 대해 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때 \(a_n < -M\)이면 "\(\left\{ a_n \right\}\)이 음의 무한대로 발산한다"라고 말하고, 이것을 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = -\infty\) 또는 \(a_n \rightarrow -\infty\)로 나타낸다.
• 수열이 수렴하지 않고, 양의 무한대로 발산하지 않고, 음의 무한대로 발산하지도 않을 때, "수열이 진동한다(oscillate)"라고 말한다.

완비성과 관련 정리들

유계인 수열이 항상 수렴하는 것은 아니다. 그러나 단조이면서 유계인 수열은 반드시 수렴한다.

수열 \(\left\{ a_n \right\}\)에 대하여 다음과 같이 정의한다.

• 임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \le a_{n+1}\)이 성립하면 \(\left\{ a_n \right\}\)을 단조증가하는 수열이라고 부른다.
• 임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n < a_{n+1}\)이 성립하면 \(\left\{ a_n \right\}\)을 순증가하는 수열이라고 부른다.
• 임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n \ge a_{n+1}\)이 성립하면 \(\left\{ a_n \right\}\)을 단조감소하는 수열이라고 부른다.
• 임의의 \(n\)에 대하여 \(a_n > a_{n+1}\)이 성립하면 \(\left\{ a_n \right\}\)을 순감소하는 수열이라고 부른다.
• 단조증가하는 수열과 단조감소하는 수열을 통틀어 단조수열(monotone sequence)이라고 부른다.

단조수렴 정리를 사용하여 자연상수 \(e\)를 정의할 수 있다. 즉 \(e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\)이라고 정의된 수열 \(\left\{ e_n \right\}\)은 단조증가하고 위로 유계이므로 수렴한다. 이 극한을 \(e\)로 정의한다. 즉 \[e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 2.718281828459045\cdots .\]

다음 정리는 길이가 \(0\)으로 수렴하는 닫힌 축소구간의 열의 교집합이 단 하나의 원소를 가진다는 성질을 설명한다.

이 정리는 실수를 십진법 전개로 표현하는 방법을 정당화하는 데 사용된다. 예를 들어, 원주율의 십진법 표현 \(\pi = 3.14159\cdots\)의 값이 유일하게 존재한다는 사실은 구간 \[[3,\, 4],\, [3.1,\, 3.2],\, [3.14,\, 3.15],\, \cdots\] 의 교집합에 단 하나의 원소가 존재한다는 사실에 의하여 보장된다.

극한의 정의를 사용하여 어떤 수열이 수렴한다는 사실을 설명하려면 극한값을 알아야 한다. 그러나 극한값을 알지 못한 상태에서도 수열의 수렴을 설명할 수 있는 방법이 존재한다.

수열 \(\{a_n\}\)이 코시 수열(Cauchy sequence)이라는 것은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 자연수 \(N\)이 존재하여 \(m >N \), \(n > N\)일 때 \(|a_m - a_n| < \varepsilon\)이 성립하는 것을 뜻한다.

정리 1.4는 실수계와 유리수계를 구분하게 해주는 중요한 성질이다. 즉 \(\mathbb{Q}\)에서는 코시 수열이 수렴함을 보장할 수 없다. 예를 들어 \(e_n = \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\)이라고 정의된 수열 \(\left\{ e_n \right\}\)은 모든 항이 유리수이고 코시 수열이지만 극한은 유리수가 아니다.

일반적으로 거리 공간에서는 그 공간이 완비인 것을 코시 수열이 그 공간의 점으로 수렴하는 것으로 정의한다. 이러한 관점에서 정리 1.4는 실수계 \(\mathbb{R}\)이 완비인 거리공간임을 의미한다.

몇 가지 유용한 성질

해석학의 이론을 전개할 때 자주 사용되는 몇 가지 성질을 살펴보자.

아르키메데스 성질로부터 다음과 같은 중요한 결과들이 따라온다.

• 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\frac{1}{n} < \varepsilon\)인 자연수 \(n\)이 존재한다.
• 임의의 실수 \(x\)에 대해 \(n \leq x < n+1\)인 정수 \(n\)이 유일하게 존재한다. (이때 \(n = \lfloor x \rfloor\)로 나타낸다.)
• 유리수는 실수 집합에서 조밀하다. 즉, 임의의 두 실수 사이에 유리수가 존재한다.
• 무리수는 실수 집합에서 조밀하다.