직관적으로 열린 집합은 경계점을 원소로 갖지 않는 집합이며 닫힌 집합은 모든 경계점을 원소로 갖는 집합이다. 이 포스트에서는 열린 집합과 닫힌 집합을 논리적으로 정의하고 그와 관련된 성질들을 살펴본다. 열린 집합과 닫힌 집합 수열의 극한의 성질에 의하여, 닫힌 구간 \(I\)에 속한 수열이 수렴하면 그 극한값은 닫힌 구간 \(I\)에 속한다. 이것을 일반화하여 닫힌 집합을 정의할 수 있다. (관련 포스트: 수열의 극한 정리 8.) 정의 1. (닫힌 집합) \(F\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(F\)의 원소들로 이루어진 수열이 수렴할 때마다 그 극한이 \(F\)에 속하면 \(F\)를 …
함수 \(f\)가 \(c\)에서 수렴하지 않을 때 ‘\(f\)는 \(c\)에서 발산한다’라고 말한다. 함수가 수렴하지 않는 경우를 모두 발산이라고만 하기에는 아까우므로, 발산하는 경우 중에서도 특별한 몇 가지 경우에 대해서는 극한을 따로 정의하고 그 성질을 살펴볼 필요가 있다. 예컨대 \(x\)의 값이 \(c\)에 다가갈 때 \(f(x)\)의 값이 무한히 커지거나 무한히 작아지는 경우의 극한을 생각할 수 있으며, \(x\)의 값이 무한히 커지거나 무한히 작아지는 경우의 극한도 생각할 수 있다. 이 포스트에서는 무한대가 포함된 극한을 정의하고, 이들의 성질을 살펴본다. 무한대에서 점에 수렴하는 극한 \(x\)의 값이 무한히 커지거나 \(x\)의 …
직관적으로, 함수가 연속이라는 것은 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있는 것이다. 그러나 이와 같은 직관적 개념만으로는 명확하게 다룰 수 없는 연속함수의 성질들이 있다. 이 글에서는 연속성을 엄밀하게 정의하고 연속성으로부터 파생되는 여러 가지 성질들을 살펴본다. 연속함수의 정의 연속의 정의는 한 점에서의 연속과 집합에서의 연속으로 구분하여 생각할 수 있다. 먼저 한 점에서의 연속의 정의를 살펴보자. 정의 1. (점에서의 연속성; 극한을 이용한 정의) 함수 \(f\)가 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의되었다고 하자. 이 때 만약 \[\lim_{x\to c}f(x) = f(c)\] 이면 ‘\(f\)는 \(c\)에서 …
\(x\)축에서 한 점 \(c\)에 다가갈 수 있는 방향은 두 가지가 있다. 즉 \(c\)의 왼쪽에서 \(c\)에 다가갈 수도 있으며, \(c\)의 오른쪽에서 \(c\)에 다가갈 수도 있다. 이와 같이 \(x\)가 \(c\)에 다가가는 방향에 따라 \(c\)에서 \(f\)의 극한을 구분할 수 있다. 좌극한과 우극한의 정의 \(x\)가 \(c\)의 왼쪽에서 \(c\)에 접근할 때 \(f(x)\)의 값이 \(L\)에 다가가면 \(f\)는 \(c\)에서 좌극한 \(L\)을 가진다고 말한다. 우극한에 대해서도 비슷한 방법으로 정의한다. 논리적인 정의는 다음과 같다. 정의 1. (좌극한과 우극한) \(L\)과 \(c\)가 실수이고 함수 \(f : D \to \mathbb{R}\)가 \(c\)를 오른쪽 …
함수의 극한은 미적분의 시작부터 끝까지 모든 곳에 나타나는 개념이다. 이 글에서는 함수의 극한의 엄밀한 정의를 살펴보고, 극한과 관련된 기본적인 성질을 증명한다. 이 글에서 다루는 함수는 정의역과 공역이 \(\mathbb{R}\)의 부분집합인 것으로 한정한다. 극한의 엄밀한 정의 \(f\)가 실수 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의된 함수라고 하자. 직관적으로 \(c\)에서 \(f\)의 극한값이 \(L\)이라는 것은 \(x\)가 \(c\)에 한없이 가까이 다가갈 때 \(f(x)\)의 값이 \(L\)에 한없이 가까이 다가감을 의미한다. 논리적 정의는 다음과 같다. 정의 1. \(c\)와 \(L\)이 실수이고, 함수 \(f\)가 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 …
이 포스트에서는 수열의 극한을 엄밀하게 정의하고 극한과 관련된 기본적인 성질을 증명한다. 내용 순서 수열의 극한의 정의 극한의 대수적 성질 수열의 극한의 성질 발산하는 수열 미리 알아야 할 내용 집합과 실수 (관련 글) 수열의 극한의 정의 적당한 정수 \(n_0\)에 대하여 정의역을 \(\left\{ n \in \mathbb{Z} \,\vert\, n \ge n_0 \right\}\) 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 점열(sequence)이라고 부르며, 공역이 \(\mathbb{R}\)인 점열을 실수열(real sequence)이라고 부른다. [미적분학을 공부하는 동안에는 실수열을 간단히 수열이라고 부르기로 하자.] 예컨대 \[x_n = 3^n\tag{1}\] 은 정수 \(n\)을 \(3^n\)에 대응시킨다. 이 …