이 포스트에서는 미적분학을 공부하기 위해 필요한 기초 개념인 수학의 논리, 집합의 성질, 실수계의 성질을 간략하게 살펴본다. 수학의 논리 먼저 논리를 나타내는 기호를 살펴보자. \(p\)와 \(q\)가 수학적 문장일 때 다음과 같이 정의한다. 논리곱 : ‘\(p\) 그리고 \(q\)’를 \((p \,\wedge\, q)\)로 나타낸다. \((p \,\wedge\, q)\)가 참이라는 것은 \(p\)와 \(q\)가 모두 참이라는 것을 의미한다. 논리합: ‘\(p\) 또는 \(q\)’를 \((p\,\vee\,q)\)로 나타낸다. \((p\,\vee\,q)\)가 참이라는 것은 \(p\)와 \(q\) 중 하나 이상이 참이라는 것을 의미한다. 조건문: ‘\(p\)이면 \(q\)이다’를 \((p\,\rightarrow \,q)\)로 나타낸다. \((p\,\rightarrow \,q)\)가 참이라는 것은 ‘\(p\)가 참일 …
\(\mathbb{R}^3\)에서의 유향선적분은 1형식을 이용하여 \[\int_C \mathbb{F} \cdot \mathbb{T} \,dx = \int_C P \,dx + Q\,dy + R\,dz\] 의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 \(C\)는 \(\mathbb{R}^3\)에 포함되는 매끄러운 곡선이다. 즉 \(C\)는 \(\mathbb{R}^3\)에 포함되는 1차원 집합이다. 한편 \(\mathbb{R}^3\)에서의 유향면적분은 2형식을 이용하여 \[\iint_S \mathbb{F} \cdot \mathbb{n} \,d\sigma = \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy\] 의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 \(S\)는 \(\mathbb{R}^3\)에 포함되는 매끄러운 곡면이다. 즉 \(S\)는 \(\mathbb{R}^3\)에 포함되는 2차원 집합이다. 이러한 개념을 확장하여 \(r\)가 \(n\)보다 작은 자연수일 때 \(\mathbb{R}^n\)에 포함되는 \(r\)차원 집합을 …
이 포스팅에서는 측도론을 기반으로 확률과 관련된 개념을 정의하고 확률변수의 독립성을 살펴본다. 확률공간과 확률측도 \(\varOmega\)가 집합이고 \(\mathcal{F}\)가 \(\varOmega\)의 부분집합들의 \(\sigma\)-대수이며 \(P\)가 \(\mathcal{F}\) 위에서의 측도이고 \(P(\varOmega ) = 1\)일 때, \((\varOmega ,\, \mathcal{F} ,\, P)\)를 확률공간(probability space)이라고 부른다. 여기서 \(P\)를 확률측도(probability measure) 또는 간단히 확률이라고 부르며, \(\mathcal{F}\)의 원소를 사건(event)이라고 부른다. \(B\)가 사건이고 \(P(B) > 0\)이라고 하자. 이때 \[ P(A|B) := \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\] 를 ‘\(B\)가 주어졌을 때 \(A\)의 조건부확률(conditional probability of A given B)’이라고 부른다. 독립과 종속의 정의 두 사건 \(A\)와 \(B\)에 대하여 …
힐베르트의 영점 정리(Nullstellensatz)는 준동형사상의 확장 정리를 유한생성환에 적용한 정리이다. 먼저 몇 개의 보조정리를 도입한 후 영점 정리를 증명하자. 정리 1. \(k\)가 체이고 \(k[x] = k[x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ]\)이 \(k\) 위에서의 유한생성환이라고 하자. 또한 \(\varphi : k \,\to\,L\)이 \(k\)로부터 대수적으로 닫힌 체 \(L\)로의 매장함수라고 하자. 그러면 \(\varphi\)를 확장하여 \(k[x]\)로부터 \(L\)로의 일대일인 준동형사상을 만들 수 있다. 증명 \(\mathfrak{M}\)이 \(k\)의 극대아이디얼이고, \(\sigma\)가 \(k[x]\)로부터 \(k[x]/\mathfrak{M}\)으로의 표준준동형사상이라고 하자. 그러면 \(\sigma k[\sigma x_1 ,\, \cdots ,\, \sigma x_n ]\)은 \(\sigma k\)의 확대체이다. 만약 유한생성환이 …
하르토크의 확장 정리(Hartog’s extension theorem)는 \(X\)가 \(\mathbb{C}^n\)의 열린부분집합이고 \(n\ge 2\)이며 \(K\subseteq X\)가 컴팩트이고 \(X\setminus K\)가 연결집합일 때 \(X\setminus K\)에서 해석적인 함수는 \(X\)에서 해석적인 함수로 유일하게 확장될 수 있다는 정리이다. 먼저 단순한 경우부터 살펴보자. 집합 \(D\subseteq \mathbb{C}^n\)에 대하여, \(\mathbb{T}^n\)이 \(D\)에 대하여 성분별 연산으로 작용하면 \(D\)를 다중고리라고 부른다. 이때 만약 \(D\)가 영역(열린 연결집합)이면 \(D\)를 라인하르트 영역(Reinhardt domain)이라고 부른다. 거듭제곱급수의 수렴영역은 라인하르츠 영역이다. 그러나 \(f : D \mapsto M\)과 그 역함수가 모두 해석적이고 \(D\)가 라인하르츠 영역일지라도 \(M\)은 라인하르츠 영역이 아닐 수 있다. 예컨대 …
이 글에서는 추상공간에서의 적분을 살펴보자. \(E\)를 노름벡터공간이라고 하고, \(K\)를 닫힌구간 \([0,\,1]\)이라고 하자. \(K\)에서 \(E\)로의 함수 \(x = x(t)\)를 생각하자. (선형인 경우뿐만 아니라 일반적인 함수를 생각하자.) 앞으로 이러한 함수를 구간 \([0,\,1]\) 위에서 정의된 추상화된 함수라고 부를 것이다. 이러한 함수에 대하여, 해석학의 기본적인 연산을 정의하고 그 성질을 유도하자. 적분의 정의 닫힌구간 \([a,\,b]\)를 닫힌 부분구간 \([t_i ,\, t_{i+1}]\)로 나눈 분할 \(A = A[t_0 ,\, t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ]\)을 생각하자. 이때 \[a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\] ...