함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x) > 0\)일 때, \(x\)축과 \(y=f(x)\)의 그래프, 그리고 두 직선 \(x=a,\) \(x=b\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 정적분이라고 부른다. 이와 같은 정의는 직관적인 정의이며 연속함수에 대해서만 정의되므로 대단히 협소하다. 이 포스트에서는 리만 적분을 엄밀하게 정의하고, 적분 가능성과 정적분의 성질을 살펴본다. 구분구적법 \(I = [a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되었다고 하자. 그리고 자연수 \(n\)에 대하여 \[x_i = a + \frac{b-a}{n} i \,\,\, (i = 0,\,1,\,2,\,\cdots,\,n) \] 이라고 하자. 이때 점 \(x_i\)들에 …
이 포스트에서는 미분의 역계산인 역도함수와 부정적분의 개념을 살펴보고, 부정적분을 구하는 몇 가지 방법을 살펴본다. 역도함수와 부정적분 정의 1. \(I\)가 길이가 양수인 구간이고 \(F\)와 \(f\)가 \(I\)에서 정의된 함수라고 하자. 만약 \(I\)에서 \(F ‘ = f\)가 성립하면 ‘\(F\)는 \(I\)에서 \(f\)의 역도함수(antiderivative)이다’라고 말한다. 한 함수의 역도함수는 유일하게 정해지지 않는다. 예컨대 \[f(x) = \cos x\] 일 때, 다음 함수들은 모두 \(f\)의 역도함수이다. \[\begin{align} F_1 (x) &= \sin x ,\\[8pt] F_2 (x) &= \sin x +4 ,\\[8pt] F_3 (x) &= \sin x – \pi . …
두 함수 \(f\)와 \(g\)모두 점 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의되어 있고, \(x\to c\)일 때 \(f(x) \to A,\) \(g(x) \to B\)이며 \(B \ne 0\)이라고 하자. 그러면 \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\] 가 성립한다. 그러나 만약 \(A = B = 0\)이거나, \(x\to c\)일 때 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 모두 무한대로 발산하면 위와 같은 등식을 사용할 수 없다. 예컨대 \(x\to 0\)일 때 \(\sin x \to 0\)이므로 극한 \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\] 는 극한 공식을 이용하여 구할 수 없다. 이처럼 극한이 \(0/0\)꼴, \(\infty / \infty\)꼴, …
이차함수 \(y=ax^2 + bx +c\)의 그래프는 \(a > 0\)일 때 아래쪽으로 볼록하고 \(a < 0\)일 때 위쪽으로 볼록하다. 사인이나 코사인의 경우에는 \(x\)의 값이 커짐에 따라 함수의 그래프가 볼록한 방향이 위쪽과 아래쪽으로 번갈아가면서 나타난다. 이와 같은 그래프의 볼록성은 그래프의 모양을 관찰하면 알 수 있다. 하지만 그래프를 그리지 않더라도 도함수를 이용하여 함수의 그래프의 볼록성을 조사할 수 있다. 이 포스트에서는 함수의 그래프의 볼록성을 정의하고 그와 관련된 성질을 살펴본다. 볼록성의 정의 함수의 그래프의 볼록성을 정의하는 방법은 몇 가지가 있다. 여기서는 비교적 엄밀한 방법으로 볼록성을 ...
함수 \(f\)의 정의역의 내점 \(a\)에서의 미분계수 \(f ‘ (a)\)는 \(x=a\)일 때 \(y=f(x)\)의 그래프에 접하는 직선의 기울기와 같다. 즉 미분계수는 함수의 그래프의 모양에 의하여 결정되므로, 미분을 이용하여 함수의 그래프의 성질을 밝힐 수 있다. 이 포스트에서는 함수의 극값, 증가와 감소를 정의하고 이와 관련된 미분의 성질을 살펴본다. 함수의 극값 \(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(M \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(x\le M\)이면 \(M\)을 \(E\)의 최댓값이라고 부른다. 만약 \(m \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(m\le x\)이면 \(m\)을 \(E\)의 최솟값이라고 부른다. 비슷한 방법으로 …
이 포스트에서는 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수를 정의하고 이 함수들의 도함수를 살펴본다. 쌍곡선함수의 정의 \(\mathbb{R}\)에서 정의된 함수는 기함수와 우함수의 합으로 나타낼 수 있다. 즉 함수 \(f\)는 \[f(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} + \frac{f(x)+f(-x)}{2}\] 로서 기함수와 우함수의 합으로 표현된다. 이와 같은 방법으로 자연지수함수를 기함수와 우함수의 합으로 표현하면 \[e^x = \frac{e^x – e^{-x}}{2} + \frac{e^x + e^{-x}}{2}\] 이다. 이때 \(e^x\)의 기함수 부분을 쌍곡선사인, 우함수 부분을 쌍곡선코사인이라고 부른다. 즉 쌍곡선사인(hyperbolic sine)이란 \[\sinh x = \frac{e^x – e^{-x}}{2}\] 으로 정의된 함수 \(\sinh\)를 이르며, 쌍곡선코사인(hyperbolic cosine)이란 \[\cosh x = \frac{e^x …