\(a\)가 \(1\)이 아닌 양수일 때 \[ y = a^x \,\,\,(x\in\mathbb{R})\tag{1}\] 꼴로 정의된 함수를 지수함수라고 부른다. 또한 지수함수 (1)의 역함수를 로그함수라고 부르고 \[ y = \log _a x \,\,\,(x > 0 )\] 로 나타낸다. 이 포스트에서는 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하고, 로그 미분법을 이용하여 지수가 실수인 거듭제곱 미분법을 증명한다. 지수함수의 미분 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하기 위해서는 자연상수라고 불리는 상수 \(e\)를 도입해야 한다. \(e\)를 정의하는 방법은 여러 가지가 있는데, 여기서는 미분과 적분을 하기에 가장 유용한 방법으로 정의하도록 하자. 즉 \(a\)가 양수일 때 극한 …
이 포스트에서는 삼각함수와 역삼각함수의 미분 공식을 살펴본다. 삼각함수의 미분 삼각함수의 미분 공식을 유도할 때에는 삼각함수의 덧셈 공식 \[\sin (x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\] 와 극한 공식 \[\lim_{h\to 0}\frac{\cos h -1}{h} = 0 ,\quad \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} =1\] 이 사용된다. 이 공식을 이용하여 사인 함수의 도함수를 구하면 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) – \sin x}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{(\sin x \cos h + \cos x \sin h) – \sin …
사칙계산과 관련된 미분 법칙을 이용하면 유리함수의 미분은 할 수 있지만, 그 외의 복잡한 함수를 미분하기에는 어려움이 있다. 합성함수, 음함수, 역함수의 미분법을 이용하면 더 다양한 종류의 함수를 미분할 수 있다. 합성함수의 미분 다음과 같은 함수를 생각하자. \[h(x) = (2x+4)^3 \tag{1}\] 이 함수를 미분하고 미분계수 \(h ‘ (1)\)을 구해 보자. 우변을 전개하면 \[h(x) = 8x^3 + 48x^2 + 96x + 64 \] 이므로 \[h ‘ (x) = 24x^2 + 96x + 96\] 이고 \[h ‘ (1) = 24 + 96 + 96 …
이 포스트에서는 일차함수를 이용하여 미분 가능한 함수의 근사함수를 만드는 방법을 살펴본다. 또한 미분소의 개념을 도입하고 변화량의 근삿값을 구하는 방법을 살펴본다. 할선, 접선, 법선 함수 \(y=f(x)\)가 서로 다른 두 점 \(a,\) \(b\)를 원소로 갖는 한 구간에서 연속이라고 하자. 이때 두 점 \((a,\,f(a)),\) \((b,\,f(b))\)를 모두 지나는 직선을 함수 \(f\)의 그래프의 할선이라고 부른다. 만약 \(f\)의 그래프 위에서 점 \((b,\,f(b))\)가 점 \((a,\,f(a))\)에 가까이 다가감에 따라 이 두 점을 지나는 할선이 하나의 직선 \(L\)에 가까이 다가가면, 이 직선 \(L\)을 \((a,\,f(a))\)에서 함수 \(f\)의 그래프의 접선이라고 부른다. …
이 포스트에서는 사칙계산과 관련된 미분의 계산 법칙을 유도하고 다항함수와 유리함수의 미분법을 살펴본다. 먼저 상수함수와 단항함수의 미분법을 살펴보자. 정리 1. (상수함수의 미분) \(f\)가 상수함수이고 \(f(x)=c\)일 때 \(f ‘ (x) = 0\)이다. 증명 \[f ‘ (x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} = 0.\tag*{\(\blacksquare\)}\] 정리 2. (거듭제곱 미분 법칙) \(n\)이 자연수이고 \(f(x)=x^n\)일 때 \(f ‘ (x) = nx^{n-1}\)이다. (단, \(n=1,\) \(x=0\)일 때에는 \(f ‘ (0) = 1\)이다.) 증명 먼저 \(n \ge 2\)인 경우를 증명하자. \(t\ne x\)일 때 \[t^n – x^n = …
함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 뾰족한 부분이 없고 매끄럽게 이어져 있을 때 그래프 위의 한 점에서 접선을 생각할 수 있다. 이 접선의 기울기는 접점 근처에서 \(x\)의 변화량과 \(y\)의 변화량의 비의 극한값으로 구할 수 있다. 이러한 개념을 일반화하여 미분을 정의할 수 있다. 이 포스트에서는 실숫값 함수의 미분을 정의하고 그 성질을 살펴본다. 미분의 정의 함수 \(f\)가 서로 다른 두 점 \(a,\) \(b\)를 원소로 갖는 구간에서 정의되어 있다고 하자. 이 때 \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\tag{1}\] 를 \(x\)가 \(a\)에서 \(b\)까지 변하는 동안 \(f\)의 평균변화율이라고 부른다. 이 평균변화율은 함수 \(f\)의 …