이 포스트에서는 삼각함수와 역삼각함수의 미분 공식을 살펴본다. 삼각함수의 미분 삼각함수의 미분 공식을 유도할 때에는 삼각함수의 덧셈 공식 \[\sin (x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\] 와 극한 공식 \[\lim_{h\to 0}\frac{\cos h -1}{h} = 0 ,\quad \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} =1\] 이 사용된다. 이 공식을 이용하여 사인 함수의 도함수를 구하면 다음과 같다. \[\begin{align} \frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) – \sin x}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to 0} \frac{(\sin x \cos h + \cos x \sin h) – \sin …
사칙계산과 관련된 미분 법칙을 이용하면 유리함수의 미분은 할 수 있지만, 그 외의 복잡한 함수를 미분하기에는 어려움이 있다. 합성함수, 음함수, 역함수의 미분법을 이용하면 더 다양한 종류의 함수를 미분할 수 있다. 합성함수의 미분 다음과 같은 함수를 생각하자. \[h(x) = (2x+4)^3 \tag{1}\] 이 함수를 미분하고 미분계수 \(h ‘ (1)\)을 구해 보자. 우변을 전개하면 \[h(x) = 8x^3 + 48x^2 + 96x + 64 \] 이므로 \[h ‘ (x) = 24x^2 + 96x + 96\] 이고 \[h ‘ (1) = 24 + 96 + 96 …
이 포스트에서는 일차함수를 이용하여 미분 가능한 함수의 근사함수를 만드는 방법을 살펴본다. 또한 미분소의 개념을 도입하고 변화량의 근삿값을 구하는 방법을 살펴본다. 할선, 접선, 법선 함수 \(y=f(x)\)가 서로 다른 두 점 \(a,\) \(b\)를 원소로 갖는 한 구간에서 연속이라고 하자. 이때 두 점 \((a,\,f(a)),\) \((b,\,f(b))\)를 모두 지나는 직선을 함수 \(f\)의 그래프의 할선이라고 부른다. 만약 \(f\)의 그래프 위에서 점 \((b,\,f(b))\)가 점 \((a,\,f(a))\)에 가까이 다가감에 따라 이 두 점을 지나는 할선이 하나의 직선 \(L\)에 가까이 다가가면, 이 직선 \(L\)을 \((a,\,f(a))\)에서 함수 \(f\)의 그래프의 접선이라고 부른다. …
이 포스트에서는 사칙계산과 관련된 미분의 계산 법칙을 유도하고 다항함수와 유리함수의 미분법을 살펴본다. 먼저 상수함수와 단항함수의 미분법을 살펴보자. 정리 1. (상수함수의 미분) \(f\)가 상수함수이고 \(f(x)=c\)일 때 \(f ‘ (x) = 0\)이다. 증명 \[f ‘ (x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} = 0.\tag*{\(\blacksquare\)}\] 정리 2. (거듭제곱 미분 법칙) \(n\)이 자연수이고 \(f(x)=x^n\)일 때 \(f ‘ (x) = nx^{n-1}\)이다. (단, \(n=1,\) \(x=0\)일 때에는 \(f ‘ (0) = 1\)이다.) 증명 먼저 \(n \ge 2\)인 경우를 증명하자. \(t\ne x\)일 때 \[t^n – x^n = …
함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 뾰족한 부분이 없고 매끄럽게 이어져 있을 때 그래프 위의 한 점에서 접선을 생각할 수 있다. 이 접선의 기울기는 접점 근처에서 \(x\)의 변화량과 \(y\)의 변화량의 비의 극한값으로 구할 수 있다. 이러한 개념을 일반화하여 미분을 정의할 수 있다. 이 포스트에서는 실숫값 함수의 미분을 정의하고 그 성질을 살펴본다. 미분의 정의 함수 \(f\)가 서로 다른 두 점 \(a,\) \(b\)를 원소로 갖는 구간에서 정의되어 있다고 하자. 이 때 \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\tag{1}\] 를 \(x\)가 \(a\)에서 \(b\)까지 변하는 동안 \(f\)의 평균변화율이라고 부른다. 이 평균변화율은 함수 \(f\)의 …
직관적으로 열린 집합은 경계점을 원소로 갖지 않는 집합이며 닫힌 집합은 모든 경계점을 원소로 갖는 집합이다. 이 포스트에서는 열린 집합과 닫힌 집합을 논리적으로 정의하고 그와 관련된 성질들을 살펴본다. 열린 집합과 닫힌 집합 수열의 극한의 성질에 의하여, 닫힌 구간 \(I\)에 속한 수열이 수렴하면 그 극한값은 닫힌 구간 \(I\)에 속한다. 이것을 일반화하여 닫힌 집합을 정의할 수 있다. (관련 포스트: 수열의 극한 정리 8.) 정의 1. (닫힌 집합) \(F\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(F\)의 원소들로 이루어진 수열이 수렴할 때마다 그 극한이 \(F\)에 속하면 \(F\)를 …