\(x\)축에서 한 점 \(c\)에 다가갈 수 있는 방향은 두 가지가 있다. 즉 \(c\)의 왼쪽에서 \(c\)에 다가갈 수도 있으며, \(c\)의 오른쪽에서 \(c\)에 다가갈 수도 있다. 이와 같이 \(x\)가 \(c\)에 다가가는 방향에 따라 \(c\)에서 \(f\)의 극한을 구분할 수 있다. 좌극한과 우극한의 정의 \(x\)가 \(c\)의 왼쪽에서 \(c\)에 접근할 때 \(f(x)\)의 값이 \(L\)에 다가가면 \(f\)는 \(c\)에서 좌극한 \(L\)을 가진다고 말한다. 우극한에 대해서도 비슷한 방법으로 정의한다. 논리적인 정의는 다음과 같다. 정의 1. (좌극한과 우극한) \(L\)과 \(c\)가 실수이고 함수 \(f : D \to \mathbb{R}\)가 \(c\)를 오른쪽 …
함수의 극한은 미적분의 시작부터 끝까지 모든 곳에 나타나는 개념이다. 이 글에서는 함수의 극한의 엄밀한 정의를 살펴보고, 극한과 관련된 기본적인 성질을 증명한다. 이 글에서 다루는 함수는 정의역과 공역이 \(\mathbb{R}\)의 부분집합인 것으로 한정한다. 극한의 엄밀한 정의 \(f\)가 실수 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의된 함수라고 하자. 직관적으로 \(c\)에서 \(f\)의 극한값이 \(L\)이라는 것은 \(x\)가 \(c\)에 한없이 가까이 다가갈 때 \(f(x)\)의 값이 \(L\)에 한없이 가까이 다가감을 의미한다. 논리적 정의는 다음과 같다. 정의 1. \(c\)와 \(L\)이 실수이고, 함수 \(f\)가 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 …
이 포스트에서는 수열의 극한을 엄밀하게 정의하고 극한과 관련된 기본적인 성질을 증명한다. 내용 순서 수열의 극한의 정의 극한의 대수적 성질 수열의 극한의 성질 발산하는 수열 미리 알아야 할 내용 집합과 실수 (관련 글) 수열의 극한의 정의 적당한 정수 \(n_0\)에 대하여 정의역을 \(\left\{ n \in \mathbb{Z} \,\vert\, n \ge n_0 \right\}\) 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 점열(sequence)이라고 부르며, 공역이 \(\mathbb{R}\)인 점열을 실수열(real sequence)이라고 부른다. [미적분학을 공부하는 동안에는 실수열을 간단히 수열이라고 부르기로 하자.] 예컨대 \[x_n = 3^n\tag{1}\] 은 정수 \(n\)을 \(3^n\)에 대응시킨다. 이 …
이 포스트에서는 미적분학을 공부하기 위해 필요한 기초 개념인 수학의 논리, 집합의 성질, 실수계의 성질을 간략하게 살펴본다. 수학의 논리 먼저 논리를 나타내는 기호를 살펴보자. \(p\)와 \(q\)가 수학적 문장일 때 다음과 같이 정의한다. 논리곱 : ‘\(p\) 그리고 \(q\)’를 \((p \,\wedge\, q)\)로 나타낸다. \((p \,\wedge\, q)\)가 참이라는 것은 \(p\)와 \(q\)가 모두 참이라는 것을 의미한다. 논리합: ‘\(p\) 또는 \(q\)’를 \((p\,\vee\,q)\)로 나타낸다. \((p\,\vee\,q)\)가 참이라는 것은 \(p\)와 \(q\) 중 하나 이상이 참이라는 것을 의미한다. 조건문: ‘\(p\)이면 \(q\)이다’를 \((p\,\rightarrow \,q)\)로 나타낸다. \((p\,\rightarrow \,q)\)가 참이라는 것은 ‘\(p\)가 참일 …
\(\mathbb{R}^3\)에서의 유향선적분은 1형식을 이용하여 \[\int_C \mathbb{F} \cdot \mathbb{T} \,dx = \int_C P \,dx + Q\,dy + R\,dz\] 의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 \(C\)는 \(\mathbb{R}^3\)에 포함되는 매끄러운 곡선이다. 즉 \(C\)는 \(\mathbb{R}^3\)에 포함되는 1차원 집합이다. 한편 \(\mathbb{R}^3\)에서의 유향면적분은 2형식을 이용하여 \[\iint_S \mathbb{F} \cdot \mathbb{n} \,d\sigma = \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy\] 의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 \(S\)는 \(\mathbb{R}^3\)에 포함되는 매끄러운 곡면이다. 즉 \(S\)는 \(\mathbb{R}^3\)에 포함되는 2차원 집합이다. 이러한 개념을 확장하여 \(r\)가 \(n\)보다 작은 자연수일 때 \(\mathbb{R}^n\)에 포함되는 \(r\)차원 집합을 …
이 포스팅에서는 측도론을 기반으로 확률과 관련된 개념을 정의하고 확률변수의 독립성을 살펴본다. 확률공간과 확률측도 \(\varOmega\)가 집합이고 \(\mathcal{F}\)가 \(\varOmega\)의 부분집합들의 \(\sigma\)-대수이며 \(P\)가 \(\mathcal{F}\) 위에서의 측도이고 \(P(\varOmega ) = 1\)일 때, \((\varOmega ,\, \mathcal{F} ,\, P)\)를 확률공간(probability space)이라고 부른다. 여기서 \(P\)를 확률측도(probability measure) 또는 간단히 확률이라고 부르며, \(\mathcal{F}\)의 원소를 사건(event)이라고 부른다. \(B\)가 사건이고 \(P(B) > 0\)이라고 하자. 이때 \[ P(A|B) := \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\] 를 ‘\(B\)가 주어졌을 때 \(A\)의 조건부확률(conditional probability of A given B)’이라고 부른다. 독립과 종속의 정의 두 사건 \(A\)와 \(B\)에 대하여 …