이 포스트에서는 \(\mathcal{L}^1\) 노름을 기준으로 했을 때 계단함수를 이용하여 가측함수에 근사시키는 방법과 연속함수를 이용하여 \(\mathcal{L}^1\)에 속하는 함수에 근사키는 방법을 살펴보고, 그 응용으로서 리만-르베그의 보조정리를 살펴본다. 정리 1. (계단함수를 이용한 가측함수의 근사) \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계인 가측함수라고 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 계단함수 \(h\)가 존재하여 \[\int_a^b |f-h| \, dm < \epsilon\] 을 만족시킨다. 증명 먼저 \(f \ge 0\)인 경우를 증명하자. 그러면 르베그 적분의 정의에 의하여 \[\int_a^b f\,dm = \sup \left\{ \left. \int_a^b \varphi \,dm \,\right\vert\, 0 \le \varphi \le f ...
