힐베르트의 영점 정리(Nullstellensatz)는 준동형사상의 확장 정리를 유한생성환에 적용한 정리이다. 먼저 몇 개의 보조정리를 도입한 후 영점 정리를 증명하자. 정리 1. \(k\)가 체이고 \(k[x] = k[x_1 ,\, \cdots ,\, x_n ]\)이 \(k\) 위에서의 유한생성환이라고 하자. 또한 \(\varphi : k \,\to\,L\)이 \(k\)로부터 대수적으로 닫힌 체 \(L\)로의 매장함수라고 하자. 그러면 \(\varphi\)를 확장하여 \(k[x]\)로부터 \(L\)로의 일대일인 준동형사상을 만들 수 있다. 증명 \(\mathfrak{M}\)이 \(k\)의 극대아이디얼이고, \(\sigma\)가 \(k[x]\)로부터 \(k[x]/\mathfrak{M}\)으로의 표준준동형사상이라고 하자. 그러면 \(\sigma k[\sigma x_1 ,\, \cdots ,\, \sigma x_n ]\)은 \(\sigma k\)의 확대체이다. 만약 유한생성환이 …
하르토크의 확장 정리(Hartog’s extension theorem)는 \(X\)가 \(\mathbb{C}^n\)의 열린부분집합이고 \(n\ge 2\)이며 \(K\subseteq X\)가 컴팩트이고 \(X\setminus K\)가 연결집합일 때 \(X\setminus K\)에서 해석적인 함수는 \(X\)에서 해석적인 함수로 유일하게 확장될 수 있다는 정리이다. 먼저 단순한 경우부터 살펴보자. 집합 \(D\subseteq \mathbb{C}^n\)에 대하여, \(\mathbb{T}^n\)이 \(D\)에 대하여 성분별 연산으로 작용하면 \(D\)를 다중고리라고 부른다. 이때 만약 \(D\)가 영역(열린 연결집합)이면 \(D\)를 라인하르트 영역(Reinhardt domain)이라고 부른다. 거듭제곱급수의 수렴영역은 라인하르츠 영역이다. 그러나 \(f : D \mapsto M\)과 그 역함수가 모두 해석적이고 \(D\)가 라인하르츠 영역일지라도 \(M\)은 라인하르츠 영역이 아닐 수 있다. 예컨대 …
이 글에서는 추상공간에서의 적분을 살펴보자. \(E\)를 노름벡터공간이라고 하고, \(K\)를 닫힌구간 \([0,\,1]\)이라고 하자. \(K\)에서 \(E\)로의 함수 \(x = x(t)\)를 생각하자. (선형인 경우뿐만 아니라 일반적인 함수를 생각하자.) 앞으로 이러한 함수를 구간 \([0,\,1]\) 위에서 정의된 추상화된 함수라고 부를 것이다. 이러한 함수에 대하여, 해석학의 기본적인 연산을 정의하고 그 성질을 유도하자. 적분의 정의 닫힌구간 \([a,\,b]\)를 닫힌 부분구간 \([t_i ,\, t_{i+1}]\)로 나눈 분할 \(A = A[t_0 ,\, t_1 ,\, \cdots ,\, t_n ]\)을 생각하자. 이때 \[a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\] ...
이 글에서는 추상공간에서의 미분을 살펴보자. 도함수의 정의 \(E\)를 노름벡터공간이라고 하고, \(K\)를 닫힌구간 \([0,\,1]\)이라고 하자. \(K\)에서 \(E\)로의 함수 \(x = x(t)\)를 생각하자. (선형인 경우뿐만 아니라 일반적인 함수를 생각하자.) 앞으로 이러한 함수를 구간 \([0,\,1]\) 위에서 정의된 추상화된 함수라고 부를 것이다. 이러한 함수에 대하여, 해석학의 기본적인 연산을 정의하고 그 성질을 유도하자. 정의 1. \(x\in E\)이고 \(t\in [0,\,1]\)인 함수 \(x = x(t)\)를 생각하자. 이 함수의 도함수 \(x ‘ (t)\)를 \[x ‘ (t) := \frac{d}{dt} x(t) := \lim_{\varDelta t \to 0} \frac{1}{\varDelta t}[x(t+\varDelta t) – …
바이어슈트라스의 근사 정리에 의하면 \(f\)가 닫힌 구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 연속함수일 때 \([a,\,b]\) 위에서 \(f\)에 균등수렴하는 다항함수열이 존재한다. 여기서는 더 일반적인 경우를 살펴보자. 정의 1. (대수; algebra) \(X\)가 거리공간이고 \(C(X)\)가 정의역이 \(X\)인 연속 실함수들의 모임이라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 \(C(X)\)의 부분집합이고 공집합이 아니며 두 조건 \(f,\,g\in\mathcal{A}\)일 때 \(f+g \in \mathcal{A},\) \(fg\in\mathcal{A}\) \(f\in\mathcal{A},\) \(c\in\mathbb{R}\)일 때 \(cf\in\mathcal{A}\) 를 모두 만족시키면 \(\mathcal{A}\)를 \(C(X)\)의 실함수 대수(real function algebra) 또는 간단히 대수(algebra)라고 부른다. \(X\)가 거리공간이고 \(f\in C(X)\)일 때 \(f\)의 균등노름(uniform norm)을 \[\lVert f \rVert := \sup_{x\in X} \lvert …
가산집합과 비가산집합은 원소의 개수에 따라 집합을 분류한 것이다. 해석학과 위상수학에서는 원소의 개수뿐만 아니라 원소의 분포 형태까지 고려하여 집합을 분류하는데 그러한 분류법 중 하나가 집합의 범주이다. 정의 1. \(X\)가 위상공간이고 \(E\subseteq X\)라고 하자. 만약 \(\left(\overline{E}\right)^o = \varnothing\)이면 \(E\)는 \(X\)의 어느 곳에서도 조밀하지 않다(nowhere dense)고 말한다. 보기 1. \(\mathbb{R}\)가 보통위상공간이라고 하자. 이때 \(\mathbb{N}\)은 \(\mathbb{R}\)의 어느 곳에서도 조밀하지 않다. 보기 2. \(\mathbb{Z}\)가 보통위상공간이라고 하자. 이때 \[\left(\overline{\mathbb{N}}\right)^o = \mathbb{N}^o = \mathbb{N}\]이므로 \(\mathbb{N}\)은 \(\mathbb{Z}\)의 어느 곳에서도 조밀하지 않다고 할 수 없다. 위 두 보기를 통해 …