Recent Articles – Page 16

하르토크의 확장 정리

by I Seul Bee

written by I Seul Bee

하르토크의 확장 정리(Hartog’s extension theorem)는 \(X\)가 \(\mathbb{C}^n\)의 열린부분집합이고 \(n\ge 2\)이며 \(K\subseteq X\)가 컴팩트이고 \(X\setminus K\)가 연결집합일 때 \(X\setminus K\)에서 해석적인 함수는 \(X\)에서 해석적인 함수로 유일하게 확장될 수 있다는 정리이다. 먼저 단순한 경우부터 살펴보자. 집합 \(D\subseteq \mathbb{C}^n\)에 대하여, \(\mathbb{T}^n\)이 \(D\)에 대하여 성분별 연산으로 작용하면 \(D\)를 다중고리라고 부른다. 이때 만약 \(D\)가 영역(열린 연결집합)이면 \(D\)를 라인하르트 영역(Reinhardt domain)이라고 부른다. 거듭제곱급수의 수렴영역은 라인하르츠 영역이다. 그러나 \(f : D \mapsto M\)과 그 역함수가 모두 해석적이고 \(D\)가 라인하르츠 영역일지라도 \(M\)은 라인하르츠 영역이 아닐 수 있다. 예컨대 …

March 5, 2019 0 comments

Functional Analysis

Integration of Abstract Functions

by I Seul Bee

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In this post we will study integration in abstract spaces. Let \(E\) be a normed linear space and \(K\) the closed interval \([a,\,b]\) of the real number line. We consider an operator \(x = x(t),\) which need not be linear and maps \(K\) into \(E.\) In the following, we will call such an operator an abstract function on the interval \([a,\,b].\) For these functions, we shall define and deduce properties of the fundamental operations of analysis. Definition of the Integral …

March 5, 2019 0 comments

Functional Analysis

Differentiation of Abstract Functions

by I Seul Bee

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In this post we will study differentiation in abstract spaces. Definition of Derivatives Let \(E\) be a normed linear space and \(K\) the closed interval \([0,\,1]\) of the real number line. We consider an operator \(x = x(t),\) which need not be linear and maps \(K\) into \(E.\) In the following, we will call such an operator an abstract function on the interval \([0,\,1].\) For these functions, we shall define and deduce properties of the fundamental operations of analysis. Definition …

March 5, 2019 0 comments

Mathematical Analysis

스톤-바이어슈트라스 정리

by I Seul Bee

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바이어슈트라스의 근사 정리에 의하면 \(f\)가 닫힌 구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 연속함수일 때 \([a,\,b]\) 위에서 \(f\)에 균등수렴하는 다항함수열이 존재한다. 여기서는 더 일반적인 경우를 살펴보자. 정의 1. (대수; algebra) \(X\)가 거리공간이고 \(C(X)\)가 정의역이 \(X\)인 연속 실함수들의 모임이라고 하자. \(\mathcal{A}\)가 \(C(X)\)의 부분집합이고 공집합이 아니며 두 조건 \(f,\,g\in\mathcal{A}\)일 때 \(f+g \in \mathcal{A},\) \(fg\in\mathcal{A}\) \(f\in\mathcal{A},\) \(c\in\mathbb{R}\)일 때 \(cf\in\mathcal{A}\) 를 모두 만족시키면 \(\mathcal{A}\)를 \(C(X)\)의 실함수 대수(real function algebra) 또는 간단히 대수(algebra)라고 부른다. \(X\)가 거리공간이고 \(f\in C(X)\)일 때 \(f\)의 균등노름(uniform norm)을 \[\lVert f \rVert := \sup_{x\in X} \lvert …

March 5, 2019 0 comments

General Topology

배어의 범주 정리

by I Seul Bee

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가산집합과 비가산집합은 원소의 개수에 따라 집합을 분류한 것이다. 해석학과 위상수학에서는 원소의 개수뿐만 아니라 원소의 분포 형태까지 고려하여 집합을 분류하는데 그러한 분류법 중 하나가 집합의 범주이다. 정의 1. \(X\)가 위상공간이고 \(E\subseteq X\)라고 하자. 만약 \(\left(\overline{E}\right)^o = \varnothing\)이면 \(E\)는 \(X\)의 어느 곳에서도 조밀하지 않다(nowhere dense)고 말한다. 보기 1. \(\mathbb{R}\)가 보통위상공간이라고 하자. 이때 \(\mathbb{N}\)은 \(\mathbb{R}\)의 어느 곳에서도 조밀하지 않다. 보기 2. \(\mathbb{Z}\)가 보통위상공간이라고 하자. 이때 \[\left(\overline{\mathbb{N}}\right)^o = \mathbb{N}^o = \mathbb{N}\]이므로 \(\mathbb{N}\)은 \(\mathbb{Z}\)의 어느 곳에서도 조밀하지 않다고 할 수 없다. 위 두 보기를 통해 …

March 5, 2019 0 comments

Real Analysis

가측함수 근사와 리만-르베그의 보조정리

by I Seul Bee

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이 포스트에서는 \(\mathcal{L}^1\) 노름을 기준으로 했을 때 계단함수를 이용하여 가측함수에 근사시키는 방법과 연속함수를 이용하여 \(\mathcal{L}^1\)에 속하는 함수에 근사키는 방법을 살펴보고, 그 응용으로서 리만-르베그의 보조정리를 살펴본다. 정리 1. (계단함수를 이용한 가측함수의 근사) \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계인 가측함수라고 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 계단함수 \(h\)가 존재하여 \[\int_a^b |f-h| \, dm < \epsilon\] 을 만족시킨다. 증명 먼저 \(f \ge 0\)인 경우를 증명하자. 그러면 르베그 적분의 정의에 의하여 \[\int_a^b f\,dm = \sup \left\{ \left. \int_a^b \varphi \,dm \,\right\vert\, 0 \le \varphi \le f ...

March 5, 2019 0 comments