거듭제곱급수를 공부할 때 중점적으로 살펴보아야 할 내용은 다음과 같은 세 가지이다. 거듭제곱급수 \(\sum a_n (x-c)^n \)이 수렴하도록 하는 \(x\)의 값(범위)을 어떻게 구할 것인가? 거듭제곱급수로 정의된 함수를 미분하거나 적분할 땐 어떻게 하는가? 어떠한 함수를 거듭제곱급수로 나타낼 수 있는가? 이 중 세 번째 질문에 대한 답이 바로 테일러 급수와 테일러의 정리이다. 테일러 급수는 주어진 함수 \(f\)를 거듭제곱급수로 나타내는 방법을 제공한다. 즉 함수 \(f\)가 주어졌을 때 이 함수로부터 거듭제곱급수 \(\sum a_n (x-c)^n\)을 구하는 방법을 제공한다. 그러나 테일러 급수를 구했다고 해서 그 급수가 원래의 …
유한 개의 수를 더할 때에는 교환법칙이 성립한다. 무한급수에서는 유한 개의 항의 순서를 바꾸는 교환법칙이 성립한다. 그러나 무한급수에서 무한 개의 항의 순서를 바꿀 때에는 본래의 급수와는 다른 값에 수렴할 수도 있고, 발산할 수도 있다. 이 포스트에서는 무한급수의 항의 순서를 바꿀 때 어떠한 일이 벌어지는지 살펴보자. 내용 순서 재배열의 뜻 재배열한 무한급수의 값 미리 알아야 할 내용 수열의 극한 (관련 글) 무한급수 (관련 글) 무한급수의 수렴 판정법 (관련 글) 재배열의 뜻 재배열된 급수란 직관적으로는 급수의 항의 순서를 바꾸어 더한 것을 뜻한다. 정확한 …
무한급수가 수렴하는지 판별하는 방법을 수렴 판정법(convergence test) 또는 간단히 판정법(test)이라고 부른다. 이 포스트에서는 무한급수의 다양한 판정법을 살펴본다. 내용 순서 양항급수의 수렴 판정법 무한급수의 절대수렴 판정법 교대급수 판정법 코시의 응집 판정법 미리 알아야 할 내용 수열의 극한 (관련 글) 무한급수 (관련 글) 양항급수의 수렴 판정법 모든 항이 \(0\) 이상인 수열의 무한급수를 양항급수라고 부른다. 양항급수의 판정법을 이용하면 양항이 아닌 급수에 대해서도 절대수렴 여부를 판정할 수 있기 때문에, 양항급수 판정법은 수렴 판정법의 기본이다. 정리 1. (유계 판정법) \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 양항급수일 때, \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 …
무한급수는 오래 전부터 수학자들을 당혹스럽게 만든 주제 중 하나였다. 예컨대 \[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots\] 는 양수를 무한히 많이 더함에도 불구하고 수렴하지만 \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\] 은 발산한다. 제논의 역설도 고대에 무한급수가 수학자들을 얼마나 괴롭혔는지를 보여주는 방증이다. 이 포스트에서는 무한급수를 정의하고 중요한 성질을 살펴본다. 내용 순서 무한급수의 뜻 수렴하는 무한급수의 대수적 연산 미리 알아야 할 내용 수열의 극한 (관련 글) 무한급수의 뜻 무한수열 \[a_1 ,\,\, a_2 ,\,\, a_3 ,\,\, \cdots\] …
자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)는 \(1,\) \(0,\) \(i\)와 더불어 수학에서 가장 많이 사용되는 상수이다. \(\pi\)는 초등학교 과정에서 처음 등장하고 \(e\)는 고등학교 과정에서 처음 등장하는데, 중등학교 교육과정에서 이 두 상수가 무리수라는 사실은 증명 없이 받아들인다. 이 포스트에서는 자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)가 무리수임을 증명한다. 이 포스트에서 소개하는 증명 방법은 고등학교 과정의 미적분을 공부하면 이해할 수 있다. 내용 순서 \(e\)가 무리수라는 사실의 증명 \(\pi\)가 무리수라는 사실의 증명 미리 알아야 할 내용 자연상수 (관련 글) 무한급수의 수렴 판정법 (관련 글) 단조수렴 정리 (관련 글) 부분적분법 …
이 포스트에서는 모멘트와 질량중심을 수학적으로 정의하고, 질량중심을 계산하는 공식을 살펴본다. 더불어 질량중심을 이용하여 회전체의 부피와 넓이를 쉽게 계산할 수 있는 파푸스의 정리를 살펴본다. 모멘트와 질량중심의 정의 모멘트와 질량중심은 세 단계로 정의한다. 먼저 직선 위에 놓인 유한 개의 물체에 대하여 정의하고, 다음으로 평면에 놓인 유한 개의 물체에 대하여 정의한 뒤, 마지막으로 평면에 놓인 물체(각 좌표에서 밀도가 함수로 주어진)에 대하여 정의한다. (1) 직선 위에 놓인 유한 개의 물체 아래 그림처럼 수직선 위에 세 물체가 놓여 있다. 각 물체의 위치는 \(x_k\)이고 질량은 \(m_k\)이다. …