중학교와 고등학교 과정에서 삼각함수는 기하학적으로 정의된다. 그러나 삼각함수를 기하학적으로 정의하면 여러 모로 불편한 점이 많다. 먼저 삼각함수의 정의역은 각(angle)의 집합이므로 삼각함수를 다른 함수와 합성할 때 각이 수와 혼용되어야 한다. 또한 컴퓨터 시스템에서 삼각함수의 값을 계산할 때 기하학적인 방법을 사용하기가 어렵다. 게다가 기하학적으로 정의된 삼각함수는 그 정의역을 복소수 범위로 확장하기도 어렵다. 이와 같은 불편함 때문에 삼각함수를 다른 방법으로 정의해야 한다. 이 포스트에서는 거듭제곱급수를 이용하여 삼각함수를 정의하고, 그렇게 정의된 삼각함수가 유일하게 결정됨을 보인다. 내용 순서 삼각함수의 해석적 정의 삼각함수의 유일성 몇 가지 …
거듭제곱급수를 공부할 때 중점적으로 살펴보아야 할 내용은 다음과 같은 세 가지이다. 거듭제곱급수 \(\sum a_n (x-c)^n \)이 수렴하도록 하는 \(x\)의 값(범위)을 어떻게 구할 것인가? 거듭제곱급수로 정의된 함수를 미분하거나 적분할 땐 어떻게 하는가? 어떠한 함수를 거듭제곱급수로 나타낼 수 있는가? 이 중 세 번째 질문에 대한 답이 바로 테일러 급수와 테일러의 정리이다. 테일러 급수는 주어진 함수 \(f\)를 거듭제곱급수로 나타내는 방법을 제공한다. 즉 함수 \(f\)가 주어졌을 때 이 함수로부터 거듭제곱급수 \(\sum a_n (x-c)^n\)을 구하는 방법을 제공한다. 그러나 테일러 급수를 구했다고 해서 그 급수가 원래의 …
유한 개의 수를 더할 때에는 교환법칙이 성립한다. 무한급수에서는 유한 개의 항의 순서를 바꾸는 교환법칙이 성립한다. 그러나 무한급수에서 무한 개의 항의 순서를 바꿀 때에는 본래의 급수와는 다른 값에 수렴할 수도 있고, 발산할 수도 있다. 이 포스트에서는 무한급수의 항의 순서를 바꿀 때 어떠한 일이 벌어지는지 살펴보자. 내용 순서 재배열의 뜻 재배열한 무한급수의 값 미리 알아야 할 내용 수열의 극한 (관련 글) 무한급수 (관련 글) 무한급수의 수렴 판정법 (관련 글) 재배열의 뜻 재배열된 급수란 직관적으로는 급수의 항의 순서를 바꾸어 더한 것을 뜻한다. 정확한 …
무한급수가 수렴하는지 판별하는 방법을 수렴 판정법(convergence test) 또는 간단히 판정법(test)이라고 부른다. 이 포스트에서는 무한급수의 다양한 판정법을 살펴본다. 내용 순서 양항급수의 수렴 판정법 무한급수의 절대수렴 판정법 교대급수 판정법 코시의 응집 판정법 미리 알아야 할 내용 수열의 극한 (관련 글) 무한급수 (관련 글) 양항급수의 수렴 판정법 모든 항이 \(0\) 이상인 수열의 무한급수를 양항급수라고 부른다. 양항급수의 판정법을 이용하면 양항이 아닌 급수에 대해서도 절대수렴 여부를 판정할 수 있기 때문에, 양항급수 판정법은 수렴 판정법의 기본이다. 정리 1. (유계 판정법) \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 양항급수일 때, \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 …
무한급수는 오래 전부터 수학자들을 당혹스럽게 만든 주제 중 하나였다. 예컨대 \[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots\] 는 양수를 무한히 많이 더함에도 불구하고 수렴하지만 \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\] 은 발산한다. 제논의 역설도 고대에 무한급수가 수학자들을 얼마나 괴롭혔는지를 보여주는 방증이다. 이 포스트에서는 무한급수를 정의하고 중요한 성질을 살펴본다. 내용 순서 무한급수의 뜻 수렴하는 무한급수의 대수적 연산 미리 알아야 할 내용 수열의 극한 (관련 글) 무한급수의 뜻 무한수열 \[a_1 ,\,\, a_2 ,\,\, a_3 ,\,\, \cdots\] …
자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)는 \(1,\) \(0,\) \(i\)와 더불어 수학에서 가장 많이 사용되는 상수이다. \(\pi\)는 초등학교 과정에서 처음 등장하고 \(e\)는 고등학교 과정에서 처음 등장하는데, 중등학교 교육과정에서 이 두 상수가 무리수라는 사실은 증명 없이 받아들인다. 이 포스트에서는 자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)가 무리수임을 증명한다. 이 포스트에서 소개하는 증명 방법은 고등학교 과정의 미적분을 공부하면 이해할 수 있다. 내용 순서 \(e\)가 무리수라는 사실의 증명 \(\pi\)가 무리수라는 사실의 증명 미리 알아야 할 내용 자연상수 (관련 글) 무한급수의 수렴 판정법 (관련 글) 단조수렴 정리 (관련 글) 부분적분법 …