문제. \(\mathbb{N}\)이 모든 자연수의 집합이라고 하자. 이때, \(\mathbb{N}\)으로부터 \(\mathbb{N}\)으로의 함수, 즉 정의역과 공역이 모두 \(\mathbb{N}\)인 함수의 개수가 실수의 개수와 같음을 보이시오. 풀이. 표기를 편하게 하기 위하여 정의역이 \(A\)이고 공역이 \(B\)인 함수의 모임을 \(B^A\)로 나타낸다. 1단계. 정의역이 \(\mathbb{N}\)이고 공역이 \(E = \left\{ 0,\,1 \right\}\)인 함수의 개수를 세어 보자. 즉 \(E^\mathbb{N}\)의 원소의 개수를 생각해 보자. \(f\in E^\mathbb{N}\)라고 하자. 그러면 각 자연수 \(n\)에 대하여 함숫값 \(f(n)\)은 \(0\) 또는 \(1\)이다. 이제 정수 부분이 \(0\)이고 소수점 아래 \(n\)째 자리의 숫자가 \(f(n)\)인 이진수를 생각하자. 그러면 함수 …
문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \sin x + \sin y\] 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. (\(\epsilon – \delta\) 논법을 사용할 것.) 풀이. 점 \((x,\,y)\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[\delta = \frac{\epsilon}{2}\] 이라고 하면 모든 실수 \(s,\) \(t\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{align} \lvert s-x \rvert < \delta \quad &\Rightarrow \quad \lvert \sin s - \sin x \rvert \le \lvert s-x \rvert < \delta = \frac{\epsilon}{2} , \tag{1.1} ...
열린집합들의 합집합은 열린집합이다. 열린집합의 개수가 무한일지라도 그들을 합집합하여 얻은 결과는 항상 열린집합이다. (참고: 열린집합과 닫힌집합) 그러나 열린집합을 교집합한 결과는 열린집합이 아닐 수도 있다. 그 예를 살펴보자. 전체집합을 \(\mathbb{R}\)라고 하고, 자연수 \(j\)에 대하여 집합 \(A_j\)를 다음과 같이 정의하자. \[A_j = \left( – \frac{1}{j} ,\, 1+ \frac{1}{j} \right).\tag{1}\] 그러면 임의의 \(j\)에 대하여 \(A_j\)는 열린구간이므로, \(\mathbb{R}\)에서의 열린집합이다. 다음으로 \[A = \bigcap_{j=1}^{\infty} A_j\tag{2}\] 라고 하자. 이제 \[A = [0, 1]\tag{3}\] 임을 보이자. 우선 \(x\in[0,\,1]\)이라고 하자. 그러면 임의의 자연수 \(j\)에 대하여 \[x\in \left( – \frac{1}{j} …
미적분학 II 과제입니다. 다음 문제 중 하나 이상을 풀어서 제출하세요. 문제에서 \(f\)는 항상 정의역이 \(\mathbb{R}^2\)이고 공역이 \(\mathbb{R}\)인 함수를 나타냅니다. 또한 증명은 모두 극한과 연속의 엄밀한 정의(\(\epsilon – \delta\) 논법)를 사용해야 합니다. (문제에서 ‘참고’는 힌트가 아닙니다.) 문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \sin x + \sin y\] 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. 문제 2. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \begin{cases} 1 \quad & \text{if} \,\, y=x^2 \text{ and } x > 0 …
\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n\)이 모두 \(0\) 이상인 실수라고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. \[\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\tag{1}\] 여기서 등식이 성립할 필요충분조건은 \(x_1 = x_2 = \cdots = x_n\)인 것이다. 라그랑주 승수법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이것을 증명해 보자. 증명을 마칠 때까지 첨수 \(i\)는 \(n\) 이하의 자연수를 나타내는 것으로 약속한다. 만약 \(x_i\) 중에서 \(0\)인 것이 있으면 증명은 자명하게 끝난다. 그러므로 모든 \(x_i\)가 양수라고 가정하자. \[x = …
제3장 문자와 식 3.1 다항식 다항식의 구조 문자 또는 수들의 곱으로 이루어진 식을 항이라 하고, 항 또는 항들의 합으로 이루어진 식을 다항식(polynomial)이라고 한다. 예를 들어 \[ \pi,\quad x,\quad 3z+1,\quad -x+2x^{2020}+2, \quad -xy^{2}+x^{2}+a^{4}y^{2}+x \] 는 모두 다항식이다. 다항식은 동류항끼리 모아서 정리하여 간단히 나타낸다. 그리고 차수가 높은 항부터 순서대로 나열하는 내림차순 혹은 차수가 낮은 항부터 순서대로 나열하는 오름차순으로 정리하면 보기 좋다. 예를 들어 다항식 \(-x+2x^{2020}+2\)를 내림차순과 오름차순으로 정리하면 다음과 같다. \[ 2x^{2020}-x+2,\quad 2-x+2x^{2020} \] 문자가 두 개 이상있는 다항식은 하나의 문자를 기준으로 …