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평면에서 선적분과 이중적분의 관계를 설명하는 그린 정리가 있는 것처럼 공간에서도 선적분과 면적분의 관계를 설명하는 정리, 면적분과 삼중적분의 관계를 설명하는 정리가 있다. 이 포스트에서는 그린 정리를 3차원으로 확장한 적분 정리를 살펴본다. 내용 순서 회전벡터장 스토크스 정리 스토크스 정리의 응용 발산 정리 발산 정리의 응용 미리 알아야 할 내용 Line integral (관련 글) Green’s theorem (관련 글) Surface integral (관련 글) \[ \newcommand{\curl}{{\operatorname{curl}}} \newcommand{\grad}{{\operatorname{grad}}} \newcommand{\opdiv}{{\operatorname{div}}} \] 회전벡터장 앞에서 그린 정리를 공부하면서 평면벡터장 \(\mathbf{F}(x,\,y) = M(x,\,y)\mathbf{i} + N(x,\,y)\mathbf{j}\)의 순환밀도가 다음과 같음을 살펴보았다. \[\frac{\partial …
지난 포스트에서 테일러 급수를 정의하고 함수를 테일러 급수로 나타내는 방법을 살펴보았다. 또한 \(f\)에 의하여 생성된 테일러 급수가 \(f\)에 수렴함을 증명하는 방법도 살펴보았다. 더불어 거듭제곱급수를 이용하여 삼각함수를 정의하는 방법(관련 포스트)과 거듭제곱급수를 이용하여 지수함수를 정의하는 방법(관련 포스트)도 살펴보았다. 이 포스트에서는 테일러 급수를 활용한 다양한 예를 살펴본다. 내용 순서 이항급수 비초등적분 라이프니츠 공식 부정형 극한의 계산 함수의 정의역 확장하기 미리 알아야 할 내용 거듭제곱급수 (관련 글) 테일러 급수 (관련 글) 이항정리 (관련 글) 로피탈의 법칙 (관련 글) 이항급수 이항정리에 의하면 \(n\)이 \(2\) 이상인 …
중학교와 고등학교 과정에서는 같은 수를 여러 번 곱한 것으로 거듭제곱을 정의한 뒤 거듭제곱의 지수를 정수, 유리수 범위로 확장하며, 극한을 이용하여 실수 지수를 정의한다. 그 뒤에 지수를 변수로 갖는 함수를 지수함수로 정의하며, 지수함수의 역함수를 로그함수로 정의한다. 이와 같이 정의된 지수함수는 미분 가능한 함수가 되며, 특히 밑이 자연지수인 함수는 다음과 같은 거듭제곱급수로 나타낼 수 있다. \[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\] 이 포스트에서는 순서를 바꾸어 거듭제곱급수를 이용하여 지수함수를 정의하고, 그렇게 정의된 지수함수가 우리가 원하는 성질을 …
중학교와 고등학교 과정에서 삼각함수는 기하학적으로 정의된다. 그러나 삼각함수를 기하학적으로 정의하면 여러 모로 불편한 점이 많다. 먼저 삼각함수의 정의역은 각(angle)의 집합이므로 삼각함수를 다른 함수와 합성할 때 각이 수와 혼용되어야 한다. 또한 컴퓨터 시스템에서 삼각함수의 값을 계산할 때 기하학적인 방법을 사용하기가 어렵다. 게다가 기하학적으로 정의된 삼각함수는 그 정의역을 복소수 범위로 확장하기도 어렵다. 이와 같은 불편함 때문에 삼각함수를 다른 방법으로 정의해야 한다. 이 포스트에서는 거듭제곱급수를 이용하여 삼각함수를 정의하고, 그렇게 정의된 삼각함수가 유일하게 결정됨을 보인다. 내용 순서 삼각함수의 해석적 정의 삼각함수의 유일성 몇 가지 …