이 포스트에서는 직사각형 영역에서 정의된 함수의 이중적분을 정의하고, 연속함수의 적분 가능성을 증명합니다. 리만 적분의 엄밀한 정의가 기억나지 않는다면 일변수 함수의 리만 적분을 소개하는 이전 글(바로가기)을 먼저 읽어 보기 바랍니다. 리만 적분의 정의 먼저 이중적분을 정의하자. \(I = [a,\,b]\)와 \(J = [c,\,d]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(R = I \times J\)라고 하자. 그리고 \[\begin{gather} P_I = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_m \right\} , \tag{1}\\[7pt] P_J = \left\{ y_0 ,\, y_1 ,\, y_2 ,\, \cdots ,\, y_n \right\} …
가우스의 보조정리에 관한 질문이 Share Your Math에 있어서 이에 대해 소개하고자 합니다. ‘가우스의 정리’라고 말하면 그 종류가 너무 많아서 무엇을 일컫는지 혼동의 여지가 있습니다. 지금 살펴보고자 하는 가우스의 보조정리는, 물론, 질문과 관련있는 다항식의 인수분해와 관련된 정리입니다. 달빛학사 Share Your Math 게시판에 올라온 질문의 요지는 정수계수 다항식이 (차수가 더 낮은) 유리계수 다항식 두 개로 인수분해될 필요충분조건이 그 다항식이 (차수가 더 낮은) 정수계수 다항식 두 개로 인수분해되는 것임을 어떻게 증명할 수 있는가? 입니다. 인수분해를 섬세하게 살펴본 학생은 위의 질문에 언급된 사실을 어느 …
‘자기주도적 학습 과제’는 스스로 공부하는 학생들에게 학습의 방향을 안내해주기 위한 문제입니다. 매주 5문제가 제공됩니다. Thomas Calculus 관련 단원을 공부한 후 충분히 생각하면서 문제를 풀어보세요. 여러분의 실력 향상에 도움이 될 것입니다. **** **** **** 9주차 9주차 문제의 관련 단원은 2.5, 10.2, 14.1절입니다. 다음 문제에서 \(D\)는 \(\mathbb{R}^2\)의 부분집합을 나타냅니다. \(D\)가 닫힌집합이라고 합시다. 또한 수열 \(\left\{ \textbf{x}_n \right\}\)의 모든 점이 \(D\)에 속한다고 합시다. 만약 \(\left\{ \textbf{x}_n \right\}\)이 \(\textbf{L}\)에 수렴하면 \(\textbf{L} \in D\)임을 증명하세요. [도움말: \(\textbf{L}\notin D\)라고 가정하면 \(\textbf{L}\)은 \(\mathbb{R}^2 \setminus D\)의 내부점이 됩니다. …
라그랑주의 방법을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결하는 예를 살펴 보자. 문제. \(\mathbb{R}^3\)에 놓은 사면체 \(\mathrm{P-ABC}\)를 생각하자. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)가 \(xy\) 평면에 고정되어 있고, 점 \(\mathrm{P}\)는 \(z > 0\)인 위쪽 반공간에 놓여 있으며 사면체 \(\mathrm{P-ABC}\)의 부피가 일정하다고 하자. 그리고 점 \(\mathrm{P}\)로부터 \(xy\) 평면에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{Q}\)라 하자. 이때 사면체 \(\mathrm{P-ABC}\)의 겉넓이가 최소가 되도록 하는 점 \(\mathrm{Q}\)의 위치를 구하시오. 풀이. 점 \(\mathrm{Q}\)가 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 내부에 있는 경우를 생각하자. 그리고 점 \(\mathrm{Q}\)로부터 세 변 \(\mathrm{BC},\) \(\mathrm{CA},\) \(\mathrm{AB}\)까지의 거리를 각각 \(x,\) \(y,\) \(z\)라고 하자. …
\(D\)가 \(\mathbb{R}^2\)의 부분집합으로서 다음과 같이 정의된 집합이라고 하자. \[D = \left\{ (x,\,y) \,\vert\, x^2 + y^2 \le 9 \right\}\] 그리고 함수 \(f\)가 \(D\)를 포함하는 영역에서 정의되었으며 정의역의 모든 점에서 두 번 이상 미분 가능하다고 하자. 이제 \(D\)에서 \(f\)의 극댓값과 극솟값, 최댓값과 최솟값은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. 도함수 판정법: \(D\)의 내부점 중에서 \(f_x (x,\,y) = 0,\) \(f_y (x,\,y)=0\)인 점 \((x,\,y)\)를 모두 구한다. 이계도함수 판정법: 구한 점 \((x,\,y)\) 중에서 \(f\)의 Hesse 행렬식을 이용하여 \(f\)가 극값을 갖는 점, \(f\)의 그래프가 변곡점인 …
예제 1. 함수 \(f(x,\,y,\,z)\)가 모든 점에서 미분 가능하고 \[f(x,\,y,\,z)=0 \tag{1.1}\] 을 만족시킬 때 \[\left( \frac{\partial x}{\partial g} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z}\right)_x \left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)_y =-1\tag{1.2}\] 임을 보이시오. (Thomas’ Calculus 13ed 14.10. Exercise 9.) 풀이. 먼저 \(y,\) \(z\)를 독립변수로 두고 (1.1)의 양변을 \(y\)에 관하여 미분하면 다음과 같다. \[\begin{align} &\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y} =0 \\[6pt] \Rightarrow \quad & \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y} …