앞 장에서는 두 집합의 합집합과 교집합 및 기본적인 집합 연산의 법칙을 살펴보았다. 이 장에서는 이를 집합족으로 확장하여 유한 개 또는 임의 개의 집합에 대한 합집합과 교집합을 정의하고, 그 성질을 살펴본다. 이어서 두 집합의 데카르트 곱과 일반화된 데카르트 곱을 다룬다.
1. 유한 개 집합의 합집합과 교집합
양의 정수 \(n\)에 대하여 \(A_1,\, A_2,\, \ldots,\, A_n\)이 \(n\)개의 집합이라고 하자. 이들의 합집합은 이들 집합 중 적어도 하나에 속하는 원소들의 집합이다. 즉 \[A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x \mid \text{어떤 } i \in \{1,\,2,\,\ldots,\,n\}\text{에 대하여 } x \in A_i\}\] 로 정의하고, 이를 간단히 \[\bigcup_{i=1}^{n} A_i\] 로 나타낸다. 마찬가지로 \(n\)개의 집합의 교집합을 \[A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{x \mid \text{모든 } i \in \{1,\,2,\,\ldots,\,n\}\text{에 대하여 } x \in A_i\}\] 로 정의하고, 이를 간단히 \[\bigcap_{i=1}^{n} A_i\] 로 나타낸다. 예를 들어, \(A_1 = \{1,\, 2,\, 3\}\), \(A_2 = \{2,\, 3,\, 4\}\), \(A_3 = \{3,\, 4,\, 5\}\)일 때, 세 집합의 합집합과 교집합은 각각 다음과 같다. \[ \bigcup_{i=1}^{3} A_i = \{1,\,2,\,3,\,4,\,5\},\quad \bigcap_{i=1}^{3} A_i = \{3\}. \]
문제 3.1. 다음 합집합과 교집합을 구하시오.
- \(A_1 = \left\{ 2,\,4,\,6\right\}\), \(A_2 = \left\{ 2,\,4,\,8 \right\}\), \(A_3 = \left\{ 4,\,6,\,13 \right\}\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{3} A_i\)와 \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{3} A_i .\)
- \(B_j = \left\{ j,\, j+1 ,\, j+2 ,\, j+3 \right\}\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{j=1}^{3} B_j\)와 \(\displaystyle\bigcap_{j=1}^{3} B_j .\)
- \(C_k = \left\{ n \,\vert\, n\text{은 }k\text{의 배수인 양의 정수}\right\}\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{k=3}^{6} C_k\)와 \(\displaystyle\bigcap_{k=3}^{7} C_k\).
- \(D_k = \left\{ n \,\vert\, n\text{은 }k\text{의 양의 약수}\right\}\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{k=3}^{6} D_k\)와 \(\displaystyle\bigcap_{k=4}^{6} D_{3k}\).
- \(E_{(i,\,j)} = \left\{ n\,\vert\, n\text{은}\,\, i \le n \le j\text{인 정수}\right\}\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{3} \left( \bigcap_{j=5}^{7} E_{(i,\,j)} \right)\).
2. 자연수로 첨자가 매겨진 집합족의 합집합과 교집합
양의 정수 \(1,\,2,\,3,\,\ldots\)로 첨자가 매겨진 집합족 \(A_1,\,A_2,\,A_3,\,\ldots\)을 생각해 보자. 가산성과 가산무한집합은 뒤에서 정식으로 정의하므로, 여기서는 자연수로 첨자가 매겨진 집합족만 다룬다. 이들의 합집합과 교집합은 각각 다음과 같이 정의한다. \[\begin{aligned} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i &= \{x \mid \text{어떤 } i \in \mathbb{Z}^+\text{에 대하여 } x \in A_i\},\\ \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i &= \{x \mid \text{모든 } i \in \mathbb{Z}^+\text{에 대하여 } x \in A_i\}. \end{aligned}\]
예를 들어, \(A_n = \{n,\, n+1,\, n+2,\, \ldots\}\)라고 하면, \(A_n\)들의 합집합과 교집합은 다음과 같다. \[\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \mathbb{Z}^+ \quad \text{그리고} \quad \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \varnothing .\]
문제 3.2. 다음 합집합과 교집합을 구하시오.
- \(A_n = [n-3 ,\, n+3]\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\)과 \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\).
- \(B_k = \left[ 2-\frac{1}{k} ,\, 4+ \frac{1}{k} \right]\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} B_k\)와 \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty} B_k\).
- \(C_k = \left[ 2+\frac{1}{k} ,\, 4- \frac{1}{k} \right]\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} C_k\)와 \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty} C_k\).
- \(D_k = \left[ 2-\frac{1}{k} ,\, 4+ \frac{1}{k} \right)\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} D_k\)와 \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty} D_k\).
- \(E_k = \left[ 2+\frac{1}{k} ,\, 4- \frac{1}{k} \right)\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\)와 \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k\).
- \(G_k = \left( 2 ,\, 2+ \frac{1}{k} \right)\)일 때 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} G_k\)와 \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty} G_k\).
3. 집합의 개수가 임의일 때 합집합과 교집합
더 일반적으로, 첨자집합(index set) \(I\)의 각 원소 \(i\)에 집합 \(A_i\)가 대응되어 있다고 하자. 이와 같이 첨자가 매겨진 집합들의 모임 \(\{A_i\}_{i\in I}\)를 집합족(family of sets)이라고 한다. [문맥에 따라 집합족에 나타나는 집합들만 표시할 때 \(\{A_i \mid i\in I\}\)라고 쓰기도 한다. 다만 이 표기는 서로 다른 첨자가 같은 집합을 가리키는 정보를 구별하지 않는다.] 여기서는 먼저 \(I\ne\varnothing\)인 경우를 생각한다.
집합족 \(\{A_i\}_{i\in I}\)의 합집합을 \[\bigcup_{i\in I} A_i = \{x \mid \exists i\in I,\, x\in A_i\}\] 로 정의한다. 즉, 이 합집합은 적어도 하나의 \(A_i\)에 속하는 모든 원소들의 집합이다.
마찬가지로 집합족 \(\{A_i\}_{i\in I}\)의 교집합을 \[\bigcap_{i\in I} A_i = \{x \mid \forall i\in I,\, x\in A_i\}\] 로 정의한다. 즉, 이 교집합은 모든 \(A_i\)에 속하는 원소들의 집합이다.
문제 3.3. 열린구간으로 정의된 첨자집합 \(I=(0,\,\infty)\)에 대하여, 각 \(t\in I\)에 대해 \[ A_t=(-t,\,t),\quad B_t=(-\infty,\,t) \] 라고 하자. 다음 집합을 구하시오.
- \(\displaystyle\bigcup_{t\in I}A_t\)
- \(\displaystyle\bigcap_{t\in I}A_t\)
- \(\displaystyle\bigcup_{t\in I}B_t\)
- \(\displaystyle\bigcap_{t\in I}B_t\)
4. 합집합과 교집합 연산의 성질
정리 3.1. (집합족의 합집합과 교집합의 법칙)
전체집합 \(U\)를 고정시키고, \(I\ne\varnothing\), \(A_i\subseteq U\) \((i\in I)\), \(B\subseteq U\)라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
- 분배법칙: \[\begin{aligned} B \cap \left(\bigcup_{i\in I} A_i\right) &= \bigcup_{i\in I}(B\cap A_i),\\ B \cup \left(\bigcap_{i\in I} A_i\right) &= \bigcap_{i\in I}(B\cup A_i). \end{aligned}\]
- 드 모르간의 법칙: \[\begin{aligned} \left(\bigcup_{i\in I} A_i\right)^c &= \bigcap_{i\in I} A_i^c,\\ \left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)^c &= \bigcup_{i\in I} A_i^c. \end{aligned}\] 여기서 여집합은 모두 \(U\)에 대한 여집합이다.
문제 3.4. 정리 3.1의 분배법칙과 드 모르간의 법칙을 증명하시오. (단, \(I\ne\varnothing\)인 것으로 가정한다.)
5. 첨자집합이 공집합인 경우
첨자집합이 공집합인 경우, 즉 \(I=\varnothing\)인 경우를 생각해 보자. 교집합까지 하나의 집합으로 다루기 위해 전체집합 \(U\)를 고정시키고 모든 \(A_i\)가 \(U\)의 부분집합이라고 하자. [여기서 \(U\)는 현재 논의의 대상 영역으로 고정시킨 하나의 집합이며, 모든 집합을 원소로 가지는 '모든 집합의 집합'을 뜻하지 않는다.]
합집합의 정의에서 \(\bigcup_{i\in\varnothing}A_i\)에 속하려면 어떤 \(i\in\varnothing\)에 대하여 \(x\in A_i\)이어야 한다. 그러나 그런 \(i\)는 존재하지 않으므로 \[\bigcup_{i\in\varnothing}A_i=\varnothing\] 로 둔다.
한편 모든 \(x\in U\)에 대하여 "모든 \(i\in\varnothing\)에 대하여 \(x\in A_i\)이다"라는 전칭명제는 공허하게 참이다. 따라서 \[\bigcap_{i\in\varnothing}A_i=U\] 로 둔다. 이는 첨자집합을 줄였을 때 합집합은 작아지고 교집합은 커지는 성질과도 일치한다. 실제로 \(J\subseteq I\)이면 \[\bigcup_{j\in J}A_j\subseteq\bigcup_{i\in I}A_i \quad\text{이고}\quad \bigcap_{i\in I}A_i\subseteq\bigcap_{j\in J}A_j.\] 따라서 첨자집합으로서 공집합을 허용하면 합집합의 최소값은 \(\varnothing\), 교집합의 최대값은 \(U\)가 된다. 이 약속을 사용하면 정리 3.1의 등식들도 \(I=\varnothing\)인 경우까지 그대로 성립한다.
문제 3.5. 전체집합 \(U\)를 고정시키고 첨자집합을 \(I=\varnothing\)이라 하자. 또한 \(B\subseteq U\)라 하자.
- \(\displaystyle\bigcup_{i\in I}A_i\)와 \(\displaystyle\bigcap_{i\in I}A_i\)를 구하시오.
- 다음 네 집합을 각각 구하고, \(I=\varnothing\)일 때에도 분배법칙이 성립함을 확인하시오. \[ B\cap\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right),\quad \bigcup_{i\in I}(B\cap A_i),\quad B\cup\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right),\quad \bigcap_{i\in I}(B\cup A_i). \]
- 드 모르간의 법칙 \[ \left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)^c=\bigcap_{i\in I}A_i^c, \quad \left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)^c=\bigcup_{i\in I}A_i^c \] 도 직접 확인하시오.
6. 데카르트 곱
두 집합 \(A\)와 \(B\)의 데카르트 곱(Cartesian product) \(A\times B\)는 다음과 같이 순서쌍들의 집합으로 정의한다. \[A\times B=\{(a,\,b)\mid a\in A,\, b\in B\}.\] 순서쌍에서는 성분의 순서가 중요하며, \[(a,b)=(a',b')\quad\Longleftrightarrow\quad a=a'\text{이고 }b=b'\] 가 성립한다.
예를 들어, \(A = \{1,\, 2\}\), \(B = \{x,\, y,\, z\}\)일 때, \[A \times B = \{(1,\,x),\, (1,\,y),\, (1,\,z),\, (2,\,x),\, (2,\,y),\, (2,\,z)\}.\]
유한 개의 집합 \(A_1,\, A_2,\, \ldots,\, A_n\)의 데카르트 곱은 다음과 같이 정의한다. \[A_1\times A_2\times\cdots\times A_n =\{(a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n)\mid a_i\in A_i\text{이고 }i=1,\,\ldots,\,n\}.\] 이것을 간단히 다음과 같이 나타내기도 한다. \[\prod_{i=1}^{n} A_i \]
문제 3.6. 집합 \[ A=\{1,\,2\},\quad B=\{a,\,b\},\quad C=\{0,\,1,\,2\} \] 에 대하여 다음을 구하거나 답하시오.
- \(A\times B\)와 \(B\times A\)를 원소나열법으로 나타내시오.
- \(A\times B=B\times A\)인지 판단하고 그 이유를 설명하시오.
- \(A\times B\times C\)의 원소의 개수를 구하고, 첫 번째 성분이 \(2\)인 원소를 모두 쓰시오.
- \(A\times\varnothing\)과 \(\varnothing\times B\)를 구하시오.
문제 3.7. \(A_1,\,\ldots,\,A_n\)이 유한집합일 때 \(n(A_1),\,\ldots,\,n(A_n)\)과 \(n\!\left(\prod_{i=1}^{n}A_i\right)\) 사이의 관계를 설명하시오.
문제 3.8. \(A\), \(B\), \(C\)가 집합일 때, 세 집합 \[A\times B\times C,\quad (A\times B)\times C,\quad A\times(B\times C)\] 가 일반적으로 같은 집합인지 확인하시오. 또한 이 세 집합 사이의 자연스러운 일대일 대응을 제시하시오.
7. 함수를 사용한 데카르트 곱의 정의
함수의 정확한 정의는 다음 장에서 다룬다. 여기서는 각 입력에 하나의 값을 대응시키는 대상으로 함수를 직관적으로 사용한다.
\(n\)-순서쌍 \((a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n)\)은 정의역이 \(\{1,\,2,\,\ldots,\,n\}\)인 함수와 자연스럽게 대응시킬 수 있다. 즉, \[f\colon\{1,\,2,\,\ldots,\,n\}\to\bigcup_{i=1}^{n}A_i,\quad f(i)=a_i\in A_i\] 인 함수 \(f\)를 순서쌍 \((a_1,\,\ldots,\,a_n)\)에 대응시킨다.
이러한 관점은 임의의 첨자집합에 대한 데카르트 곱의 정의로 자연스럽게 확장된다. 첨자집합 \(I\)와 집합족 \(\{A_i\}_{i\in I}\)에 대하여 \[\prod_{i\in I}A_i =\left\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i\,\middle|\, \text{모든 }i\in I\text{에 대하여 }f(i)\in A_i\right\}\] 로 정의한다. \(I=\{1,\ldots,n\}\)이면 이는 위의 \(n\)-순서쌍 표현과 자연스럽게 대응한다.
문제 3.9. \(I=\{1,\,2,\,3\}\)이고 \[ A_1=\{a,\,b\},\quad A_2=\{0,\,1\},\quad A_3=\{\ast\} \] 라고 하자.
- \(\displaystyle\prod_{i\in I}A_i\)의 모든 원소를 \(3\)-순서쌍으로 나타내시오.
- (1)의 각 순서쌍 \((x_1,\,x_2,\,x_3)\)을 함수 \(f\colon I\to A_1\cup A_2\cup A_3\)로 보았을 때 \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\)을 어떻게 정해야 하는지 설명하시오.
- \(\displaystyle n\!\left(\prod_{i\in I}A_i\right)\)을 구하고, \(n(A_1)n(A_2)n(A_3)\)과 비교하시오.
\(A\)와 \(B\)가 집합일 때, \(B\)에서 \(A\)로 가는 모든 함수의 집합을 \(A^B\)로 나타낸다. 한편 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(A\)의 \(n\)-중 데카르트 곱 \[\underbrace{A\times\cdots\times A}_{n\text{개}}\] 를 \(A^n\)으로 나타내기도 한다. 특히 \(I=\{1,\,\ldots,\,n\}\)일 때 \(A^n\)과 \(A^I\)는 문제 3.10에서 설명하는 자연스러운 대응으로 연결된다.
문제 3.10. \(I=\{1,\,2,\,\ldots,\,n\}\)이고 \(A\)가 공집합이 아닌 유한집합이라고 하자.
- \(n(A)\), \(n(I)\), \(n(A^I)\) 사이의 관계를 설명하시오.
- \(A^n\), \(A^I\), \(\displaystyle\prod_{i\in I}A\) 사이의 관계를 설명하고, \(A^n\)과 \(A^I\) 사이의 자연스러운 일대일 대응을 제시하시오.
8. 데카르트 곱의 성질
정리 3.2. (데카르트 곱의 성질)
집합 \(A,\,B,\,C,\,D\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)\).
- \(A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)\).
- \((A\cup B)\times C=(A\times C)\cup(B\times C)\).
- \((A\cap B)\times C=(A\times C)\cap(B\times C)\).
- \(A\subseteq C\)이고 \(B\subseteq D\)이면 \(A\times B\subseteq C\times D\)이다.
- \(A\times B=\varnothing\)일 필요충분조건은 \(A=\varnothing\) 또는 \(B=\varnothing\)이다.
문제 3.11. 위 성질을 증명하시오.
데카르트 곱에는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 \(A=\{1\}\), \(B=\{2\}\)이면 \(A\times B=\{(1,\,2)\}\)이고 \(B\times A=\{(2,\,1)\}\)이므로 서로 다르다. 다만 \(A=B\)이거나 \(A\) 또는 \(B\)가 공집합인 경우에는 두 데카르트 곱이 같다.
문제 3.12. 첨자집합이 동일한 두 집합족 \(\left\{ A_i \right\}_{i\in I}\)와 \(\left\{ B_i \right\}_{i\in I}\)에 대하여 다음 등식이 성립하는지 확인하시오. \[\left( \prod_{i\in I} A_i \right) \cap \left( \prod_{i\in I} B_i \right) = \prod_{i\in I} \left( A_i \cap B_i \right)\] 성립한다면 증명하고, 성립하지 않는다면 반례를 제시하시오.