집합론에서 사용하는 기본적인 집합의 연산을 살펴보자. 우리는 앞에서 두 집합의 합집합과 교집합에 대해서 살펴보았다. 이 장에서는 이것을 확장하여 집합의 개수가 임의일 때 합집합과 교집합을 정의하고, 그 성질을 살펴본다.
1. 유한 개 집합의 합집합과 교집합
\(A_1,\, A_2,\, \ldots,\, A_n\)이 \(n\)개의 집합이라고 하자. 이들의 합집합(union)은 이들 집합 중 적어도 하나에 속하는 원소들의 집합이다. 즉 \(n\)개의 집합의 합집합을 다음과 같이 정의한다. \[A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x \mid x \in A_i \text{ for some } i \in \{1,\, 2,\, \ldots,\, n\}\}.\] 이것을 간단히 다음과 같이 나타낸다. \[\bigcup_{i=1}^{n} A_i \] 마찬가지로 \(n\)개의 집합의 교집합(intersection)을 다음과 같이 정의한다. \[A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{x \mid x \in A_i \text{ for all } i \in \{1,\, 2,\, \ldots,\, n\}\} .\] 이것을 간단히 다음과 같이 나타낸다. \[\bigcap_{i=1}^{n} A_i\] 예를 들어, \(A_1 = \{1,\, 2,\, 3\}\), \(A_2 = \{2,\, 3,\, 4\}\), \(A_3 = \{3,\, 4,\, 5\}\)일 때, 세 집합의 합집합과 교집합은 각각 다음과 같다. \[\begin{aligned} \bigcup_{i=1}^{3} A_i = \{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5\} \quad \text{그리고} \quad \bigcap_{i=1}^{3} A_i = \{3\} . \end{aligned}\]
문제 3.1. 다음 합집합과 교집합을 구하시오.
- \(A_1 = \left\{ 2,\,4,\,6\right\}\), \(A_2 = \left\{ 2,\,4,\,8 \right\}\), \(A_3 = \left\{ 4,\,6,\,13 \right\}\)일 때 \(\bigcup_{i=1}^{3} A_i\)와 \(\bigcap_{i=1}^{3} A_i .\)
- \(B_j = \left\{ j,\, j+1 ,\, j+2 ,\, j+3 \right\}\)일 때 \(\bigcup_{j=1}^{3} B_j\)와 \(\bigcap_{j=1}^{3} B_j .\)
- \(C_k = \left\{ n \,\vert\, n\text{은}\,\,k\text{의 배수인 자연수}\right\}\)일 때 \(\bigcup_{k=3}^{6} C_k\)와 \(\bigcap_{k=3}^{7} C_k\).
- \(D_k = \left\{ n \,\vert\, n\text{은}\,\,k\text{의 약수인 자연수}\right\}\)일 때 \(\bigcup_{k=3}^{6} D_k\)와 \(\bigcap_{k=4}^{6} D_{3k}\).
- \(E_{(i,\,j)} = \left\{ n\,\vert\, n\text{은}\,\, i \le n \le j\text{인 정수}\right\}\)일 때 \(\bigcup_{i=1}^{3} \left( \bigcap_{j=5}^{7} E_{(i,\,j)} \right)\).
2. 집합의 개수가 가산일 때 합집합과 교집합
개수가 가산 무한[유한이거나 또는 자연수 만큼 많은 무한]인 집합 \(A_1,\, A_2,\, A_3,\, \ldots\)에 대해 생각해보자. 이들의 합집합과 교집합은 각각 다음과 같이 정의한다. \[\begin{aligned} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i &= \{x \mid x \in A_i \text{ for some } i \in \mathbb{Z}^+\} ,\\ \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i &= \{x \mid x \in A_i \text{ for all } i \in \mathbb{Z}^+\} . \end{aligned}\] 예를 들어, \(A_n = \{n,\, n+1,\, n+2,\, \ldots\}\)라고 하면, \(A_n\)들의 합집합과 교집합은 다음과 같다. \[\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \mathbb{Z}^+ \quad \text{그리고} \quad \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \varnothing .\]
문제 3.2. 다음 합집합과 교집합을 구하시오.
- \(A_n = [n-3 ,\, n+3]\)일 때 \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\)과 \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\).
- \(B_k = \left[ 2-\frac{1}{k} ,\, 4+ \frac{1}{k} \right]\)일 때 \(\bigcup_{k=1}^{\infty} B_k\)와 \(\bigcap_{k=1}^{\infty} B_k\).
- \(C_k = \left[ 2+\frac{1}{k} ,\, 4- \frac{1}{k} \right]\)일 때 \(\bigcup_{k=1}^{\infty} C_k\)와 \(\bigcap_{k=1}^{\infty} C_k\).
- \(D_k = \left[ 2-\frac{1}{k} ,\, 4+ \frac{1}{k} \right)\)일 때 \(\bigcup_{k=1}^{\infty} D_k\)와 \(\bigcap_{k=1}^{\infty} D_k\).
- \(E_k = \left[ 2+\frac{1}{k} ,\, 4- \frac{1}{k} \right)\)일 때 \(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\)와 \(\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k\).
- \(G_k = \left( 2 ,\, 2+ \frac{1}{k} \right)\)일 때 \(\bigcup_{k=1}^{\infty} G_k\)와 \(\bigcap_{k=1}^{\infty} G_k\).
3. 집합의 개수가 임의일 때 합집합과 교집합
더 일반적으로, 첨자집합(index set) \(I\)에 의해 첨자가 매겨진 집합족 \(\{A_i\}_{i \in I}\)를 생각할 수 있다. [\(\{A_i\}_{i \in I}\)를 \(\{A_i \mid i \in I\}\)와 같이 나타내기도 한다.] 여기서 \(I\)는 유한집합일 수도 있고, 가산무한집합일 수도 있으며, 비가산무한집합일 수도 있다.
집합족 \(\{A_i\}_{i \in I}\)의 합집합을 다음과 같이 정의한다. \[\bigcup_{i \in I} A_i = \{x \mid \exists i \in I : x \in A_i\} .\] 즉, 이 합집합은 적어도 하나의 \(A_i\)에 속하는 모든 원소들의 집합이다.
마찬가지로, 집합족 \(\{A_i\}_{i \in I}\)의 교집합을 다음과 같이 정의한다. \[\bigcap_{i \in I} A_i = \{x \mid \forall i \in I : x \in A_i\} .\] 즉, 이 교집합은 모든 \(A_i\)에 속하는 원소들의 집합이다.
4. 합집합과 교집합 연산의 성질
임의의 집합족 \(\{A_i\}_{i \in I}\)와 집합 \(B\)에 대하여 다음이 성립한다.
- 분배법칙: \[B \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \bigcup_{i \in I} (B \cap A_i) \quad\text{그리고}\quad B \cup \left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) = \bigcap_{i \in I} (B \cup A_i) .\]
- 드 모르간의 법칙: 전체집합 \(U\)에 대하여, \[\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)^c = \bigcap_{i \in I} A_i^c \quad\text{그리고}\quad \left(\bigcap_{i \in I} A_i\right)^c = \bigcup_{i \in I} A_i^c .\]
문제 3.3. 집합의 연산의 분배법칙과 드 모르간의 법칙을 증명하시오. (단, \(I\ne\varnothing\)인 것으로 가정한다.)
5. 첨자집합이 공집합인 경우
첨자집합이 공집합인 경우, 즉 \(I = \varnothing\)인 경우를 생각해보자. 이때 합집합과 교집합을 어떻게 정의해야 할까?
합집합의 정의에 의하면 \(\bigcup_{i \in \varnothing} A_i\)는 '어떤 \(i \in \varnothing\)에 대해 \(x \in A_i\)'인 \(x\)들의 집합이다. 그런데 \(\varnothing\)에는 원소가 없으므로, 이러한 \(x\)는 존재하지 않는다. 따라서 \[\bigcup_{i \in \varnothing} A_i = \varnothing\] 이다. 한편, 교집합의 정의에 의하면 \(\bigcap_{i \in \varnothing} A_i\)는 '모든 \(i \in \varnothing\)에 대해 \(x \in A_i\)'인 \(x\)들의 집합이다. 공집합에는 원소가 없으므로 '\(i \in \varnothing\)'이라는 가정을 가진 명제는 공허하게 참이 된다. 따라서 전체집합 \(U\)가 주어졌을 때, \[\bigcap_{i \in \varnothing} A_i = U\] 이다. 이러한 정의는 처음에는 직관적이지 않을 수 있지만, 집합의 연산과 관련된 성질이 일관성 있게 성립하도록 한다는 관점에서는 자연스러운 정의이다. 즉 더 적은 개수를 합집합할수록 그 결과 얻어지는 집합은 더 작아지며, 더 적은 개수를 교집합할수록 그 결과 얻어지는 집합은 더 커진다. 그러므로 첨자집합이 가장 작은 집합인 공집합일 때, 합집합은 공집합이고 교집합은 전체집합인 것이 자연스럽다.
6. 데카르트 곱
두 집합 \(A\)와 \(B\)의 데카르트 곱(Cartesian product) \(A \times B\)는 다음과 같이 순서쌍들의 집합으로 정의한다. \[A \times B = \{(a,\, b) \mid a \in A,\,\, b \in B\} .\] 예를 들어, \(A = \{1,\, 2\}\), \(B = \{x,\, y,\, z\}\)일 때, \[A \times B = \{(1,\,x),\, (1,\,y),\, (1,\,z),\, (2,\,x),\, (2,\,y),\, (2,\,z)\}.\] 유한 개의 집합 \(A_1,\, A_2,\, \ldots,\, A_n\)의 데카르트 곱은 다음과 같이 정의한다. \[A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_n) \mid a_i \in A_i \text{ for all } i\}.\] 이것을 간단히 다음과 같이 나타내기도 한다. \[\prod_{i=1}^{n} A_i \]
문제 3.4. 집합 \(A\)와 \(B\)가 유한집합이라고 하자. 이때 \(n(A)\), \(n(B)\), \(n(A\times B)\) 사이의 관계를 설명하시오.
문제 3.5. \(A\), \(B\), \(C\)가 집합일 때, 세 집합 \[A \times B \times C ,\quad (A\times B)\times C ,\quad A\times (B\times C)\] 는 서로 같은 집합인가, 아니면 다른 집합인가?
7. 함수를 사용한 데카르트 곱의 정의
\(n\)-순서쌍 \((a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_n)\)은 정의역이 \(\{1,\, 2,\, 3,\, \ldots,\, n\}\)인 함수로 생각할 수 있다. 즉, 함수 \[f: \{1,\, 2,\, 3,\, \ldots,\, n\} \to \bigcup_{i=1}^{n} A_i\] 로서 \(f(i) = a_i \in A_i\)인 것이다.
이러한 관점에서 데카르트 곱 \(\prod_{i=1}^{n} A_i\)를 다음과 같이 정의할 수도 있다. \[\prod_{i=1}^{n} A_i = \left\{f: \{1,\, 2,\, 3,\, \ldots,\, n\} \to \bigcup_{i=1}^{n} A_i \,\bigg|\, f(i) \in A_i \text{ for all } i\right\}.\] 이 정의는 무한 개의 집합의 데카르트 곱으로 자연스럽게 확장된다. 즉, 첨자집합 \(I\)에 대해, \(A_i\)들의 데카르트 곱을 다음과 같이 정의한다. \[\prod_{i \in I} A_i = \left\{f: I \to \bigcup_{i \in I} A_i \,\bigg|\, f(i) \in A_i \text{ for all } i \in I\right\}.\] \(A\)와 \(B\)가 집합일 때, 정의역이 \(B\)이고 공역이 \(A\)인 함수의 모임을 \(A^B\)와 같이 나타낸다. 집합의 거듭제곱과 데카르트 곱은 밀접한 관계가 있다(문제 3.6).
문제 3.6. \(I = \left\{ 1,\,2,\,3,\,\ldots ,\, n\right\}\)이고 \(A\)가 공집합이 아닌 유한집합이라고 하자.
- 세 집합 \(A\), \(I\), \(A^I\)의 원소의 개수의 관계를 설명하시오.
- 세 집합 \(A^n\), \(A^I\), \(\prod_{i\in I} A\) 사이의 관계를 설명하시오.
8. 데카르트 곱의 성질
집합 \(A,\, B,\, C,\, D\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\)
- \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\)
- \((A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)\)
- \((A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)\)
- \(A \subseteq C\)이고 \(B \subseteq D\)이면 \(A \times B \subseteq C \times D\)이다.
- \(A \times B = \varnothing\)일 필요충분조건은 \(A = \varnothing\) 또는 \(B = \varnothing\)이다.
문제 3.7. 위 성질을 증명하시오.
데카르트 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉, 일반적으로 \(A \times B \neq B \times A\)이다. 왜냐하면 \((a,\, b) \neq (b,\, a)\)이기 때문이다.
문제 3.8. 첨자집합이 동일한 두 집합족 \(\left\{ A_i \right\}_{i\in I}\)와 \(\left\{ B_i \right\}_{i\in I}\)에 대하여 다음 등식이 성립하는지 확인하시오. \[\left( \prod_{i\in I} A_i \right) \cap \left( \prod_{i\in I} B_i \right) = \prod_{i\in I} \left( A_i \cap B_i \right)\] 성립한다면 증명하고, 성립하지 않는다면 반례를 제시하시오.