\(3\)차원 공간에 서로 다른 두 점 \(P,\) \(S\)와 벡터 \(\textbf{v}\)가 주어졌다고 하자. 그리고 점 \(S\)를 지나고 \(\textbf{v}\)와 평행한 직선을 \(\ell\)이라고 하자. 이때 \(P\)와 \(\ell\) 사이의 거리 \(d\)는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. \[d = \frac{\lvert \overrightarrow{PS} \times \textbf{v}\rvert}{\lvert\textbf{v}\rvert}.\tag{1}\] 평행사변형의 인접한 두 변이 각각 \(\overrightarrow{PS},\) \(\textbf{v}\)와 평행하고, 두 변의 길이가 각각 \(\vert\overrightarrow{PS}\lvert,\) \(\lvert\textbf{v}\vert\)와 같을 때, 이 평행사변형의 넓이는 두 벡터의 외적의 크기인 \(\lvert \overrightarrow{PS} …
문제. \(\mathbb{N}\)이 모든 자연수의 집합이라고 하자. 이때, \(\mathbb{N}\)으로부터 \(\mathbb{N}\)으로의 함수, 즉 정의역과 공역이 모두 \(\mathbb{N}\)인 함수의 개수가 실수의 개수와 같음을 보이시오. 풀이. 표기를 편하게 하기 위하여 정의역이 \(A\)이고 공역이 \(B\)인 함수의 모임을 \(B^A\)로 나타낸다. 1단계. 정의역이 \(\mathbb{N}\)이고 공역이 \(E = \left\{ 0,\,1 \right\}\)인 함수의 개수를 세어 보자. 즉 \(E^\mathbb{N}\)의 원소의 개수를 생각해 보자. \(f\in E^\mathbb{N}\)라고 하자. 그러면 각 자연수 \(n\)에 대하여 함숫값 \(f(n)\)은 \(0\) …
문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \sin x + \sin y\] 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. (\(\epsilon – \delta\) 논법을 사용할 것.) 풀이. 점 \((x,\,y)\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[\delta = \frac{\epsilon}{2}\] 이라고 하면 모든 실수 \(s,\) \(t\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{align} \lvert s-x \rvert < \delta \quad &\Rightarrow \quad \lvert ...
열린집합들의 합집합은 열린집합이다. 열린집합의 개수가 무한일지라도 그들을 합집합하여 얻은 결과는 항상 열린집합이다. (참고: 열린집합과 닫힌집합) 그러나 열린집합을 교집합한 결과는 열린집합이 아닐 수도 있다. 그 예를 살펴보자. 전체집합을 \(\mathbb{R}\)라고 하고, 자연수 \(j\)에 대하여 집합 \(A_j\)를 다음과 같이 정의하자. \[A_j = \left( – \frac{1}{j} ,\, 1+ \frac{1}{j} \right).\tag{1}\] 그러면 임의의 \(j\)에 대하여 \(A_j\)는 열린구간이므로, \(\mathbb{R}\)에서의 열린집합이다. 다음으로 \[A = \bigcap_{j=1}^{\infty} A_j\tag{2}\] 라고 하자. 이제 \[A = …
미적분학 II 과제입니다. 다음 문제 중 하나 이상을 풀어서 제출하세요. 문제에서 \(f\)는 항상 정의역이 \(\mathbb{R}^2\)이고 공역이 \(\mathbb{R}\)인 함수를 나타냅니다. 또한 증명은 모두 극한과 연속의 엄밀한 정의(\(\epsilon – \delta\) 논법)를 사용해야 합니다. (문제에서 ‘참고’는 힌트가 아닙니다.) 문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \sin x + \sin y\] 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. 문제 2. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 …
\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n\)이 모두 \(0\) 이상인 실수라고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. \[\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\tag{1}\] 여기서 등식이 성립할 필요충분조건은 \(x_1 = x_2 = \cdots = x_n\)인 것이다. 라그랑주 승수법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이것을 증명해 보자. 증명을 마칠 때까지 첨수 \(i\)는 \(n\) 이하의 자연수를 나타내는 것으로 약속한다. …
‘자기주도적 학습 과제’는 스스로 공부하는 학생들에게 학습의 방향을 안내해주기 위한 문제입니다. 매주 5문제가 제공됩니다. Thomas Calculus 관련 단원을 공부한 후 충분히 생각하면서 문제를 풀어보세요. 여러분의 실력 향상에 도움이 될 것입니다. **** **** **** 1주차 1주차 문제의 관련 단원은 12.1 ~ 12.4절입니다. ‘유클리드 공간’의 정의는 무엇인가요? 수학에서 ‘공간(space)’이란 어떤 의미를 갖나요? ‘공간을 정의한다’라는 것은 무슨 뜻인가요? Thomas Calculus에서는 유클리드 공간에서 벡터의 내적(inner product)을 기하학적 방법으로 …
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평면에서 선적분과 이중적분의 관계를 설명하는 그린 정리가 있는 것처럼 공간에서도 선적분과 면적분의 관계를 설명하는 정리, 면적분과 삼중적분의 관계를 설명하는 정리가 있다. 이 포스트에서는 그린 정리를 3차원으로 확장한 적분 정리를 살펴본다. 내용 순서 회전벡터장 스토크스 정리 스토크스 정리의 응용 발산 정리 발산 정리의 응용 미리 알아야 할 내용 Line integral (관련 글) Green’s theorem (관련 글) Surface integral (관련 글) \[ \newcommand{\curl}{{\operatorname{curl}}} \newcommand{\grad}{{\operatorname{grad}}} \newcommand{\opdiv}{{\operatorname{div}}} \] …