무한급수는 오래 전부터 수학자들을 당혹스럽게 만든 주제 중 하나였다. 예컨대 \[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots\] 는 양수를 무한히 많이 더함에도 불구하고 수렴하지만 \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\] 은 발산한다. 제논의 역설도 고대에 무한급수가 수학자들을 얼마나 괴롭혔는지를 보여주는 방증이다. 이 포스트에서는 무한급수를 정의하고 중요한 성질을 살펴본다. 내용 순서 무한급수의 뜻 수렴하는 무한급수의 대수적 연산 미리 알아야 …
자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)는 \(1,\) \(0,\) \(i\)와 더불어 수학에서 가장 많이 사용되는 상수이다. \(\pi\)는 초등학교 과정에서 처음 등장하고 \(e\)는 고등학교 과정에서 처음 등장하는데, 중등학교 교육과정에서 이 두 상수가 무리수라는 사실은 증명 없이 받아들인다. 이 포스트에서는 자연상수 \(e\)와 원주율 \(\pi\)가 무리수임을 증명한다. 이 포스트에서 소개하는 증명 방법은 고등학교 과정의 미적분을 공부하면 이해할 수 있다. 내용 순서 \(e\)가 무리수라는 사실의 증명 \(\pi\)가 무리수라는 사실의 증명 미리 …
이 포스트에서는 모멘트와 질량중심을 수학적으로 정의하고, 질량중심을 계산하는 공식을 살펴본다. 더불어 질량중심을 이용하여 회전체의 부피와 넓이를 쉽게 계산할 수 있는 파푸스의 정리를 살펴본다. 모멘트와 질량중심의 정의 모멘트와 질량중심은 세 단계로 정의한다. 먼저 직선 위에 놓인 유한 개의 물체에 대하여 정의하고, 다음으로 평면에 놓인 유한 개의 물체에 대하여 정의한 뒤, 마지막으로 평면에 놓인 물체(각 좌표에서 밀도가 함수로 주어진)에 대하여 정의한다. (1) 직선 위에 놓인 유한 …
이 포스트는 미적분학보다 상급 과정의 내용을 다루고 있습니다. 미적분학을 처음 공부하는 학생들은 이 포스트의 내용을 이해하기 어려울 수 있습니다. 이 포스트의 내용을 이해하기 위해서는 리만 적분의 엄밀한 정의, 리만 적분 가능성에 대한 리만 판정법, 상한과 하한의 성질을 알아야 합니다. 미적분학을 처음 공부하지만 이 포스트의 내용을 꼭 알고 싶은 사람은 정의 1, 정리 1, 예제 1, 정리 2의 내용(풀이와 증명 제외)과 예제 5, 예제 6을 …
Download: GongjuHarmony-Regular.ttf (ZIP) Font Name: Gongju Harmony공주조화체 Designers: Kim Deokyong, Kim Sunjin, Han Kyunghoon, Kwon Taegyu김덕용, 김선진, 한경훈, 권태규 License: Personal use only; Not for commercial, not allowed to be modified nor to be redistributed.All rights are reserved. 개인적인 용도로만 사용하는 것을 허가합니다.상업적 용도로 사용하는 것을 허가하지 않으며,글꼴을 수정하거나다른 미디어를 통해 재배포하는 것을 금지합니다. 모든 저작권은 만든이에게 있습니다.
함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x) > 0\)일 때, \(x\)축과 \(y=f(x)\)의 그래프, 그리고 두 직선 \(x=a,\) \(x=b\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 정적분이라고 부른다. 이와 같은 정의는 직관적인 정의이며 연속함수에 대해서만 정의되므로 대단히 협소하다. 이 포스트에서는 리만 적분을 엄밀하게 정의하고, 적분 가능성과 정적분의 성질을 살펴본다. 구분구적법 \(I = [a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되었다고 하자. 그리고 자연수 \(n\)에 대하여 …
이 포스트에서는 미분의 역계산인 역도함수와 부정적분의 개념을 살펴보고, 부정적분을 구하는 몇 가지 방법을 살펴본다. 역도함수와 부정적분 정의 1. \(I\)가 길이가 양수인 구간이고 \(F\)와 \(f\)가 \(I\)에서 정의된 함수라고 하자. 만약 \(I\)에서 \(F ‘ = f\)가 성립하면 ‘\(F\)는 \(I\)에서 \(f\)의 역도함수(antiderivative)이다’라고 말한다. 한 함수의 역도함수는 유일하게 정해지지 않는다. 예컨대 \[f(x) = \cos x\] 일 때, 다음 함수들은 모두 \(f\)의 역도함수이다. \[\begin{align} F_1 (x) &= \sin x …
두 함수 \(f\)와 \(g\)모두 점 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의되어 있고, \(x\to c\)일 때 \(f(x) \to A,\) \(g(x) \to B\)이며 \(B \ne 0\)이라고 하자. 그러면 \[\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\] 가 성립한다. 그러나 만약 \(A = B = 0\)이거나, \(x\to c\)일 때 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 모두 무한대로 발산하면 위와 같은 등식을 사용할 수 없다. 예컨대 \(x\to 0\)일 때 \(\sin x \to 0\)이므로 극한 …
이차함수 \(y=ax^2 + bx +c\)의 그래프는 \(a > 0\)일 때 아래쪽으로 볼록하고 \(a < 0\)일 때 위쪽으로 볼록하다. 사인이나 코사인의 경우에는 \(x\)의 값이 커짐에 따라 함수의 그래프가 볼록한 방향이 위쪽과 아래쪽으로 번갈아가면서 나타난다. 이와 같은 그래프의 볼록성은 그래프의 모양을 관찰하면 알 수 있다. 하지만 그래프를 그리지 않더라도 도함수를 이용하여 함수의 그래프의 볼록성을 조사할 수 있다. 이 포스트에서는 함수의 그래프의 볼록성을 정의하고 그와 관련된 성질을 ...
함수 \(f\)의 정의역의 내점 \(a\)에서의 미분계수 \(f ‘ (a)\)는 \(x=a\)일 때 \(y=f(x)\)의 그래프에 접하는 직선의 기울기와 같다. 즉 미분계수는 함수의 그래프의 모양에 의하여 결정되므로, 미분을 이용하여 함수의 그래프의 성질을 밝힐 수 있다. 이 포스트에서는 함수의 극값, 증가와 감소를 정의하고 이와 관련된 미분의 성질을 살펴본다. 함수의 극값 \(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(M \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(x\le M\)이면 \(M\)을 \(E\)의 최댓값이라고 부른다. …