Problem 9.1 Describe geometrically the linear transformation \(T_A : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) given by \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\] and then interpret the meanings of the eigenvalues and eigenvectors accordingly. Solution. \(T_A\) is a reflection about the line \(y=x.\) Hence \(v\) is an eigenvector of \(T_A\) if and only if \(v\) is parallel to or orthogonal to the …
I Seul Bee
I Seul Bee
I Seul Bee is a mathematics teacher in Sejong Academy of Science and Arts. I Seul Bee is teaching middle and high school students, and undergraduate students. I Seul Bee has written several books on mathematics -- analysis, set theory, etc.
지난 포스트에서 벡터공간 \(K^n,\) \(K^m\) 사이에서 정의된 선형변환과 \(m\times n\) 행렬의 관계를 살펴보았다(지난 포스팅 보기). 이번에는 일반적인 유한차원 벡터공간 \(V,\) \(V’\) 사이에서 정의된 선형변환과 행렬의 관계를 살펴보자. \(K\)가 체이고 \(n\)과 \(m\)이 양의 정수라고 하자. 그리고 \(V\)와 \(V’\)이 \(K\) 위에서 정의된 \(n\)차원 벡터공간, \(m\)차원 벡터공간이라고 하자. 또한 \[\begin{align} B: &\,\, v_1 ,\, v_2 ,\, \cdots ,\, v_n, \\[6pt] B’ : & \,\, v_1 ‘ ,\, …
벡터공간 \(K^n,\) \(K^m\) 사이에서 정의된 선형변환과 \(m\times n\) 행렬의 관계를 살펴보자. \(K\)가 체(field)이고 \(n\)과 \(m\)이 양의 정수라고 하자. 모든 성분이 \(K\)에 속하는 \(m\times n\) 행렬들의 모임을\(\newcommand{\MatK}{\operatorname{Mat}_{m \times n}(K)}\) \[\MatK\] 로 나타낸다. 또한 정의역이 \(K^n\)이고 공역이 \(K^m\)인 선형변환들의 모임을\(\newcommand{\HomK}{\operatorname{Hom}(K^n ,\, K^m )}\) \[\HomK\] 으로 나타낸다. [여기서 \(K^n\)과 \(K^m\)은 통상적인 벡터 합과 스칼라 곱이 주어진 벡터공간이다.] 스칼라 \(k\in K\)와 \(m\times n\) 행렬 \(A = (a_{ij})_{m\times n}\), …
\[ \newcommand{\parallelsym}{\mathbin{\!/\mkern-5mu/\!}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \] This is a set of problems with which you can take exercise on linear algebra. Day 1. The problems for the first day are related to: Representation of Linear Transformations. Explain why every linear transformation between finite dimensional vector spaces can be regarded as a matrix. (Hint: Consider bases for domain and codomain of the transformation.) Use matrix multiplication to …
This is a set of problems with which you can take exercise on multiple integrals and integrals of vector fields. Day 1. The problems for the first day are related to chapter 15. In problem 1-5, evaluate the integrals. \[\int_1^2 \int_{-1}^1 \frac{x}{y^2} \,dx\,dy.\] \[\int_0^{\ln 2} \int_0 ^{\pi/2} e^x\,\cos y \,dy\,dx.\] \[\int_0^2 \int_{y/2}^1 e^{x^2} \,dx\,dy .\] \[\int_0^\pi \int_0^\pi \int_0^\pi \cos(x+y+z) dx\,dy\,dz.\] \[\int_{-1}^1 \int_0^{\sqrt{1-y^2}}\int_0^x (x^2 + …
유한차원 벡터공간 \(V\) 위에서 자기준동형사상 \(T\)가 정의되어 있을 때 \(T\)의 표현행렬은 \(V\)에 어떠한 기저가 주어졌는지에 따라 달라진다. \(V\)와 \( T\)가 적절한 조건을 만족시키면 \(V\)의 기저를 적절히 택하여 \(T\)의 표현행렬이 ‘대단히 좋은 형태’가 되도록 할 수 있다. 이 포스트에서는 벡터공간을 특성부분공간의 직합으로 나타내는 방법과 자기준동형사상을 조르당 표준형으로 나타내는 방법을 살펴본다. 이 포스트에서 다루는 벡터공간은 유한차원 벡터공간인 것으로 약속한다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \newcommand{\adj}{{\operatorname{adj}}} \newcommand{\Ker}{{\operatorname{Ker}}} \] …
정사각행렬의 특성다항식을 이용한 흥미로운 등식을 살펴보자. \(A\)가 이차장사각행렬이고 \[A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\] 일 때 다음이 성립한다. \[A^2 – (a+d)A + (ad-bc)I_2 = O.\] \(A\)의 특성다항식을 \(p(t)\)라고 하고 \(t=A\)를 대입함으로써 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다. \[p(A) = O.\] 이 등식이 성립하는 것은 우연이 아니며, Cayley-Hamilton 정리의 결과이다. 이 포스트에서는 특성다항식의 성질과 \(T\)-불변 공간의 개념을 살펴보고, …
이 포스트에서는 고윳값과 고유벡터의 개념을 살펴보고 특성다항식을 이용하여 고윳값을 구하는 방법을 살펴봅니다. 또한 에르미트 변환과 유니타리 변환의 개념을 바탕으로 스펙트럼 분해 정리를 살펴봅니다. \[ \newcommand{\parallelsym}{\mathbin{\!/\mkern-5mu/\!}} \] 고윳값과 고유벡터의 뜻 \(V\)가 체 \(K\) 위에서 정의된 벡터공간이고 \(T : V \rightarrow V\)가 선형변환이라고 하자. 그리고 스칼라 \(\lambda \in K\)와 영벡터가 아닌 벡터 \(v\in V\)가 존재하여 \[T(v) = \lambda v\tag{1}\] 을 만족시킨다고 하자. 이때 \(\lambda\)를 \(T\)의 고윳값(eigenvalue)이라고 …
계수와 상수가 실수인 이차방정식이 실수 범위에서 몇 개의 해를 갖는지 알아보기 위해서는 판별식의 부호를 살펴보면 된다. 이와 비슷하게 정사각행렬의 역행렬이 존재하는지 알아보는 공식이 있는데, 그것이 행렬식이다. 행렬식은 특정한 조건을 만족시키는 선형범함수로 정의될 수도 있는데, 그러한 함수는 크기가 작은 행렬의 행렬식을 이용하여 크기가 큰 행렬의 행렬식을 계산하는 귀납적인 방법으로 정의된다. 또한 행렬식은 행렬의 각 성분들을 이용하여 직접 계산하는 방식으로 정의될 수도 있다. 이 포스트에서는 행렬식의 …