미적분학을 공부하다 보면 수렴하는 극한을 증명하는 예를 자주 볼 수 있다. 반면에 발산하는 극한을 증명하는 예는 상대적으로 자주 볼 수 없다. 이 포스트에서는 발산하는 극한을 증명하는 예를 살펴보자. 이 포스트에서 말하는 ‘함수’는 모두 공역이 실수 집합인 함수를 나타낸다. 무한대로 발산하는 극한 함수 \(f\)가 점 \(c\)의 근처에서 정의되었다고 하자. (엄밀히 말하면, 점 \(c\)가 \(f\)의 정의역의 집적점이라고 하자.) 만약 임의의 양수 \(M\)에 대하여, 양수 \(\delta\)가 존재하여, …
\[ \newcommand{\vecu}{\mathrm{\bf{u}}} \newcommand{\vecv}{\mathrm{\bf{v}}} \newcommand{\vecw}{\mathrm{\bf{w}}} \newcommand{\vecx}{\mathrm{\bf{x}}} \newcommand{\vecy}{\mathrm{\bf{y}}} \newcommand{\vecz}{\mathrm{\bf{z}}} \newcommand{\veczero}{\mathrm{\bf{0}}} \] 동형의 의미 다음과 같은 집합 \(\mathbb{Z}_3\)을 생각해 보자. \[\mathbb{Z}_3 = \left\{ 0 ,\,\, 1,\,\,2 \right\}\] 이 집합 위에서 덧셈과 곱셈을 새롭게 정의해 보자. 즉 \(m\)과 \(n\)이 \(\mathbb{Z}_3\)의 원소일 때, 새로운 합 \(m+n\)을 \(m\)과 \(n\)의 합을 \(3\)으로 나눈 나머지로, 새로운 곱 \(mn\)을 \(m\)과 \(n\)의 곱을 \(3\)으로 나눈 나머지로 정의하자. 이와 같은 합과 곱을 표로 나타내면 다음 …
다음과 같은 문제를 생각해 보자. 세 점을 지나는 그래프를 갖는 이차함수 \(a_1 ,\) \(a_2 ,\) \(a_3\)이 서로 다른 실수이고, \(b_1 ,\) \(b_2 ,\) \(b_3\)이 실수일 때, 그래프가 세 점 \((a_1 ,\, b_1 ),\) \((a_2 ,\, b_2 ),\) \((a_3 ,\, b_3 )\)을 모두 지나는 이차함수의 식을 어떻게 구할 것인가? 만약 이차함수의 식을 \(y = ax^2 + bx + c \)라고 둔다면, 위 문제는 다음 연립일차방정식에서 …
\[ \newcommand{\vecu}{\mathrm{\bf{u}}} \newcommand{\vecv}{\mathrm{\bf{v}}} \newcommand{\vecw}{\mathrm{\bf{w}}} \newcommand{\vecx}{\mathrm{\bf{x}}} \newcommand{\vecy}{\mathrm{\bf{y}}} \newcommand{\vecz}{\mathrm{\bf{z}}} \] \(V\)와 \(W\)가 집합이고 \(f\)와 \(g\)가 \(V\)로부터 \(W\)로의 함수라고 하자. 정의역 \(V\)에 속하는 몇 개의 점 \(x\)에 대하여 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다고 하더라도, \(V\) 전체에서 \(f(x) = g(x)\)가 성립한다는 보장은 없다. 그러나 함수가 벡터공간 사이에서 정의되어 있는 선형변환인 경우에는, 정의역의 기저 원소에 대해서 두 함수의 함숫값이 일치하면 두 함수는 완전히 같은 함수가 된다. 즉 다음 정리가 성립한다. …
이란의 전통 월별 상환금 계산 방법 글쓴이: 페이만 밀란파(Peyman Milanfar) 옮긴이: 이슬비(designeralice＠daum.net) 최근에 나는 대출 금액의 월별 상환금을 추정하는 매우 빠르고 효과적인 방법을 배웠다. 이 방법은 아버지께서 가르쳐 주셨는데, 아버지께서는 19세기 이란에서 무역을 하셨던 할아버지로부터 배우셨다고 한다. 이 공식이 처음 만들어진 기원은 미스테리이지만, 이 방법은 이란을 포함한 많은 지역에서 사용되고 있다. 아버지께서 알려주신 공식은 다음과 같다. \[(\text{월별 상환금}) = \frac{1}{(\text{월수})} [(\text{원금}) + (\text{이자})].\] 여기서 …
무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \sin \frac{n+1}{n^2 – 5n + 4} \right ). \tag{1}\] \(n \rightarrow 0\)일 때 사인 함수 안에 있는 분수식이 \(0\)에 수렴하고, \(x=0\) 근처에서 \(\sin x\)는 \(x\)와 비슷하게 움직이므로, 위 무한급수에서 사인을 그냥 없애고 판정해도 될 것 같다. 즉 위 무한급수의 수렴 여부는 \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \frac{n+1}{n^2 -5n +4} …
이 글은 세종과학예술영재학교 2023학년도 1학기 해석기하 수업 교재 4단원 「복소평면과 복소수의 극형식」 유제 해설입니다. 눈으로 읽기만 하지 말고 꼭 손으로 직접 풀어보세요♡ \[ \newcommand{\complexI}{\boldsymbol{i}} \newcommand{\rpart}{\operatorname{Re}} \newcommand{\ipart}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \] 유제 4.1 \(z\)를 복소수라 할 때, 복소평면 위에서 다음 두 복소수 사이의 위치관계를 조사하시오. (1) \(z\)와 \(-z.\) (2) \(z\)와 \(\overline{z}.\) 해설. (1) 복소평면에서 \(-z\)가 나타내는 점은 \(z\)가 나타내는 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점이다. (2) 복소평면에서 \(\overline{z}\)가 …
이 글에서는 변수가 하나인 실숫값 함수의 이상적분을 정의하고, 이상적분의 수렴 판정법을 살펴본다. 또한 이상적분을 활용하는 예로서 감마 함수를 살펴본다. 내용 순서 들어가기 길이가 무한인 구간에서 정의되는 이상적분 유계가 아닌 함수의 이상적분 이상적분의 수렴 판정법 (적분 구간의 길이가 무한인 경우) 이상적분의 수렴 판정법 (함수가 유계가 아닌 경우) 이상적분을 활용하는 예: 감마 함수 맺음말 미리 알아야 할 내용 정적분 (관련 글) 미적분의 기본정리 (관련 글) 들어가기 …
집합을 공부할 때 도움이 되도록 집합의 성질을 증명하는 예제와 풀이를 모았습니다. 모든 예제와 풀이에서 \(U\)는 공집합이 아닌 전체집합을 나타내며, \(A,\) \(B,\) \(C\)는 \(U\)의 부분집합을 나타냅니다. 또한 \(\varnothing\)은 공집합을 나타내며, \(P(A)\)는 \(A\)의 멱집합을 나타냅니다. \(C\)가 윗첨자로 쓰였을 때는 여집합을 나타냅니다. 예제 1. 공집합이 임의의 집합의 부분집합임을 증명하시오. 풀이 \(\varnothing\)이 공집합이고 \(A\)가 임의의 집합이라고 하자. 이제 임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음 조건부 명제가 참임을 보여야 한다. …
\(A\)가 \(n\)차 정사각행렬이고 모든 성분이 체 \(K\)의 성분이라고 하자. 즉 \(A\in M_n (K)\)라고 하자. 그리고 \(A\)의 특성다항식을 \(p_A (t)\)라고 하자. 그러면 \(\lambda \in K\)가 \(A\)의 고윳값일 필요충분조건은 \(p_A(\lambda)=0\)인 것이다. 이때 \(p_A (t)\)는 다음과 같은 꼴로 인수분해된다. \[p_A (t) = (t-\lambda )^r q(t).\] 여기서 \((t-\lambda)\)의 차수 \(r\)를 고윳값 \(\lambda\)의 대수적 중복도라고 부른다. 고윳값 \(\lambda\)를 고정시켜 두고 다음 집합을 생각하자. \[\left\{ \mathbf{v}\in \mathbb{R}^n \,\vert\, A\mathbf{v} = …