일계논리의 중요한 특성 중 하나는 콤팩트성이다. 이것은 명제논리에서와 마찬가지로 유한성과 관련된 중요한 성질이다.
정리 17.1. (일계논리의 콤팩트성)
\(\varSigma\)가 가산인 일계논리언어의 문장의 모임이고 \(\varSigma\)의 임의의 유한부분집합이 모델을 가지면 \(\varSigma\) 자체도 모델을 가진다.
증명 개요 완전성 정리에 의하면, \(\varSigma\)가 모델을 가질 필요충분조건은 \(\varSigma\)가 무모순인 것이다. 만약 \(\varSigma\)가 모순을 포함한다면, 그 모순은 유한한 증명에 의해 도출되므로 \(\varSigma\)의 유한부분집합으로부터 모순이 도출된다. 그러나 가정에 의해 모든 유한부분집합은 모델을 가지므로 모순을 포함할 수 없다. 따라서 \(\varSigma\)는 무모순이고, 완전성 정리에 의해 모델을 가진다.
콤팩트성 정리는 수학의 다양한 상황에서 활용된다. 예를 들어, 유한 평면지도의 사색 정리로부터 임의의 평면지도(무한 포함)에 대한 사색 정리를 증명하는 데 사용된다.
일계논리의 또 다른 중요한 특성은 뢰벤하임-스콜렘 정리이다.
정리 17.2. (뢰벤하임-스콜렘 정리)
\(\varSigma\)가 가산인 일계논리언어의 문장의 모임이고 모델을 가지면 \(\varSigma\)는 유한이거나 가산인 모델을 가진다.
증명 개요 \(\varSigma\)가 무모순이라면, 완전성 정리의 증명에서 사용한 방법으로 \(\varSigma\)의 모델을 구성할 수 있다.
- \(\varSigma\)에 가산 개의 새로운 상수기호를 추가하여 완전한 집합 \(T\)를 구성한다.
- 언어의 닫힌항들로 구성된 구조 \(N\)을 구성한다.
- \(N\)에서 적절한 동치관계를 정의하고 상집합을 취하여 최종 구조를 만든다.
이렇게 구성된 모델은 가산이며 \(\varSigma\)의 모델이 된다.
즉 일계논리언어로 표현 가능한 이론이 무한 모델을 가진다면, 그 이론은 가산 무한 모델도 가진다.
뢰벤하임-스콜렘 정리의 확장으로 다음 정리도 알려져 있다.
정리 17.3. (위방향 뢰벤하임-스콜렘 정리)
\(\varSigma\)가 문장의 집합이고 무한 모델을 가진다면, \(\varSigma\)는 임의의 무한 기수보다 큰 모델을 가진다.
이 정리들은 일계논리의 독특한 성질을 보여준다. 예를 들어, 실수체 \(\mathbb{R}\)만을 유일한 모델로 가지는 일계논리 공리 체계는 존재할 수 없다. 왜냐하면 뢰벤하임-스콜렘 정리에 의해 그러한 공리 체계는 가산 모델도 가져야 하기 때문이다.