일계논리의 의미론은 구문론에서 정의한 기호들에 '의미'(진릿값)를 부여하는 방법을 다룬다. 명제논리에서는 명제변수에 진릿값을 배정하는 것으로 충분했지만, 일계논리에서는 더 복잡한 구조가 필요하다.
일계논리에서의 값매김
\(\mathcal{L}\)이 일계논리언어라고 하자. \(\mathcal{L}\)-구조(L-structure)란 다음 요소들로 이루어진 구조이다.
- 공집합이 아닌 집합 \(V\) (논리식의 해석 영역)
- \(\mathcal{L}\)의 각 관계기호에 대응하는 \(V\)에서의 관계
- \(\mathcal{L}\)의 각 함수기호에 대응하는 \(V\)에서의 함수
- \(\mathcal{L}\)의 각 상수기호에 대응하는 \(V\)의 원소
명제논리에서 값매김(valuation)이 명제변수에 진릿값을 할당하는 함수였다면, 일계논리에서는 변수에 \(V\)의 원소를 할당하는 함수로 확장된다. 즉, 값매김 \(v\)는 변수들의 집합으로부터 \(V\)로의 함수이다.
값매김 \(v\)를 확장하여 항의 값과 논리식의 진릿값을 다음과 같이 정의한다.
먼저, 항에 대한 값매김을 다음과 같이 정의한다.
- 변수 \(x\)에 대해 \(v(x)\)는 이미 정의되어 있다.
- 상수기호 \(c\)에 대해 \(v(c)\)는 \(c\)에 대응되는 \(V\)의 원소이다.
- 함수기호 \(f\)와 항 \(t_1,\) \(t_2,\) \(\ldots,\) \(t_n\)에 대해 \(v(f(t_1,\, t_2,\, \ldots,\, t_n))\)은 \(V\)의 원소 \(v(t_1),\) \(v(t_2),\) \(\ldots,\) \(v(t_n)\)을 인수로 갖는 함수 \(f\)의 값이다.
다음으로 논리식에 대한 값매김을 다음과 같이 정의한다. (명제논리의 결합자에 대한 부분은 생략함.)
- 관계기호 \(R\)과 항 \(t_1,\) \(t_2,\) \(\ldots,\) \(t_n\)에 대해 \(v(R(t_1,\, t_2,\, \ldots,\, t_n)) = \mathrm{T}\)일 필요충분조건은 \(V\)의 원소 \(v(t_1),\) \(v(t_2),\) \(\ldots,\) \(v(t_n)\)이 \(R\)에 대응되는 관계를 만족시키는 것이다.
- \(v((t_1 = t_2)) = \mathrm{T}\)일 필요충분조건은 \(v(t_1) = v(t_2)\)인 것이다.
- \(v((\forall x_i)\phi) = \mathrm{T}\)일 필요충분조건은 \(v\)에 대하여 \(i\)-인접한 임의의 값매김 \(v'\)에 대하여 \(v'(\phi) = \mathrm{T}\)인 것이다. (\(v\)와 \(v'\)이 \(i\)-인접하다는 것은 \(j\neq i\)인 임의의 \(j\)에 대하여 \(v(x_j) = v'(x_j)\)임을 의미한다.)
- \(v((\exists x_i)\phi) = \mathrm{T}\)일 필요충분조건은 \(v\)에 대하여 \(i\)-인접한 값매김 \(v'\)이 존재하여 \(v'(\phi) = \mathrm{T}\)인 것이다.
모델과 이론
문장 \(\phi\)가 구조 \(M\)에서 참일 때 \(M \models \phi\)로 나타내고, "\(M\)은 \(\phi\)의 모델이다"라고 읽는다. 구조 \(M\)에서 참인 모든 문장들의 모임을 \(M\)의 이론(theory)이라고 부르고 \(\operatorname{Th}(M)\)으로 나타낸다.
예를 들어, 군론에서 모델 \(M\)이 군의 공리를 만족한다면 \(M\)은 군이다.