19세기 말 칸토어에 의해 창시된 직관적 집합론은 수학에 혁명적 변화를 가져왔지만, 동시에 러셀의 역설과 같은 모순도 드러났다. 이러한 문제를 해결하기 위해 20세기 초에는 공리적 집합론이 개발되었다. 공리적 집합론에서는 집합의 존재와 성질을 엄밀한 공리 체계 위에 세워 모순을 피하고 수학의 기초를 확고히 한다.
ZFC 공리계는 현대 수학의 기초가 되는 공리 체계이다. 이 공리를 통해 우리가 직관적으로 사용해온 집합의 성질이 엄밀하게 증명되며, 어떤 대상이 집합이 될 수 있고 어떤 것은 될 수 없는지가 명확해진다. 특히 선택 공리는 직관적으로는 당연해 보이지만 놀라운 결과들을 가져오는 독특한 공리이다.
이 부에서는 ZFC 공리계를 구성하고 있는 공리를 살펴보고, 이들이 어떻게 집합론의 기본 개념과 이론을 뒷받침하는지 살펴본다.
19세기 말 칸토어가 창시한 소박한 집합론은 직관적 개념을 바탕으로 구성되었으며, 러셀의 역설과 같은 모순을 포함하고 있었다. 이러한 문제를 해결하기 위해 20세기 초에 공리적 집합론(axiomatic set theory)이 개발되었다. 공리적 집합론에서는 모든 수학적 대상을 엄밀한 공리 체계 위에 구축한다.
1. 클래스와 집합
공리적 집합론은 다음과 같은 두 가지 기본 개념으로부터 출발한다.
- 클래스(class): 어떤 성질을 만족시키는 대상들의 모임
- 속한다(membership relation): 기호 \(\in\)으로 나타내는 관계
모든 수학적 대상은 클래스이며, 클래스는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.
- 집합(set): 다른 클래스의 원소가 될 수 있는 클래스
- 고유클래스(proper class): 다른 클래스의 원소가 될 수 없는 클래스
즉, 클래스 \(A\)가 집합일 필요충분조건은 어떤 클래스 \(B\)에 대해 \(A \in B\)인 것이다.
러셀의 역설을 피하기 위해, '모든 집합의 클래스'나 '자기 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합의 클래스' 같은 것들은 고유클래스가 된다. 고유클래스는 너무 '크기' 때문에 다른 클래스의 원소가 될 수 없다.
2. ZFC 공리계
체르멜로-프렝켈 공리계(Zermelo-Fraenkel axioms)에 선택공리(Axiom of Choice)를 추가한 것을 ZFC라고 부른다. ZFC는 현대 수학의 표준적인 기초가 되는 공리 체계이다.
ZFC 공리계는 단번에 완성된 것이 아니라 점진적으로 발전해온 결과이다. 1908년 체르멜로가 러셀의 역설을 피하기 위해 최초의 공리적 집합론(Z)을 제시했고, 1922년 프렝켈과 스콜렘이 독립적으로 치환 공리의 필요성을 인식했다. 1925년 폰 노이만이 정칙성 공리를 제안함으로써 현재 우리가 아는 ZF가 완성되었다. ZFC는 여기에 선택 공리를 포함한 체계이다.
한편, 1925년 폰 노이만은 집합론의 역설을 해결하는 다른 방법으로 클래스와 고유클래스의 개념을 도입했다. 이것은 ZFC와는 별개의 접근으로, 나중에 베르나이스(1937)와 괴델(1940)에 의해 발전되어 NBG(von Neumann-Bernays-Gödel) 공리계가 되었다. 현재 집합론을 논할 때 클래스 개념을 함께 언급하는 것은 교육적 편의를 위한 것이며, 역사적으로는 ZFC가 먼저 확립되고 클래스 개념이 나중에 추가된 것이다.
이제 ZFC의 공리들을 차례로 살펴보자. 이 공리들은 모두 일계논리의 언어로 표현할 수 있지만, 여기서는 직관적인 설명과 함께 제시한다.
(1) 외연 공리 (Axiom of Extension)
두 클래스가 같은 원소를 가지면 두 클래스는 같다. \[\forall A \, \forall B \left( A = B \leftrightarrow \forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B) \right)\] 이 공리는 클래스가 그 원소들에 의해 완전히 결정됨을 보장한다.
(2) 공집합 공리 (Empty Set Axiom)
어떤 원소도 갖지 않는 집합이 존재한다. \[\exists A\, \forall x (x \notin A)\] 외연 공리에 의해 이러한 집합 \(A\)는 유일하다. 이 집합을 공집합이라고 부르고, \(\varnothing\)과 같이 나타낸다.
(3) 짝 공리 (Pairing Axiom)
임의의 두 집합 \(x\), \(y\)에 대해, 정확히 \(x\)와 \(y\)만을 원소로 갖는 집합이 존재한다. \[\forall x\, \forall y\, \exists A\, \forall z (z \in A \leftrightarrow z = x \vee z = y)\] 이 집합을 \(\{x,\, y\}\)로 나타낸다. 특히 \(x = y\)일 때 \(\{x,\, x\} = \{x\}\)는 단원소 집합이 된다.
(4) 합집합 공리 (Union Axiom)
집합 \(A\)에 대해, \(A\)의 원소들의 원소들로 이루어진 집합이 존재한다. \[\forall A\, \exists B\, \forall x (x \in B \leftrightarrow \exists y (y \in A \wedge x \in y))\] 이 집합을 \(\bigcup A\)로 나타낸다. 예를 들어, \(A = \{\{1,\, 2\},\, \{2,\, 3\}\}\)이면 \(\bigcup A = \{1,\, 2,\, 3\}\)이다.
(5) 멱집합 공리 (Power Set Axiom)
집합 \(A\)에 대해, \(A\)의 모든 부분집합들로 이루어진 집합이 존재한다. \[\forall A\, \exists B\, \forall x (x \in B \leftrightarrow x \subseteq A)\] 이 집합을 \(A\)의 멱집합이라고 부르며, \(\mathcal{P}(A)\)로 나타낸다. 예를 들어, \(\mathcal{P}(\{1,\, 2\}) = \{\varnothing,\, \{1\},\, \{2\},\, \{1,\, 2\}\}\)이다.
(6) 무한 공리 (Axiom of Infinity)
다음 두 조건을 만족시키는 집합이 존재한다.
- \(\varnothing \in A\);
- \(x \in A\)이면 \(x \cup \{x\} \in A\)이다.
이 공리는 자연수 전체의 집합이 존재함을 보장한다. 실제로 이 조건을 만족시키는 가장 작은 집합이 자연수 집합 \(\omega = \{0,\, 1,\, 2,\, \ldots\}\)이다.
(7) 분류 공리 (Axiom Schema of Separation)
집합 \(A\)와 성질 \(\phi(x)\)에 대해, \(A\)의 원소 중 \(\phi(x)\)를 만족시키는 것들만으로 이루어진 집합이 존재한다. \[\forall A\, \exists B\, \forall x (x \in B \leftrightarrow x \in A \wedge \phi(x))\] 이 집합을 \(\{x \in A \mid \phi(x)\}\)로 나타낸다. 중요한 점은 이미 존재하는 집합 \(A\)로부터 부분집합을 만든다는 것이다.
(8) 치환 공리 (Axiom Schema of Replacement)
집합 \(A\)와 함수적 성질 \(\psi(x,\, y)\)에 대해, \(A\)의 원소들의 상(image)으로 이루어진 집합 \(B\)가 존재한다. \[\text{If}\,\,\, \forall x \in A\, \exists! y \, \psi(x,\, y), \,\,\, \text{then} \,\,\, \exists B\, \forall y (y \in B \leftrightarrow \exists x \in A \, \psi(x,\, y))\] 이 공리는 함수의 치역이 집합임을 보장한다.
(9) 정칙성 공리 (Axiom of Foundation)
공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 가진다. \[\forall A (A \neq \varnothing \rightarrow \exists x \in A (x \cap A = \varnothing))\] 이 공리는 \(x \in x\)나 무한하강열 \(x_0 \ni x_1 \ni x_2 \ni \cdots\) 같은 개체가 존재할 수 없도록 해준다.
(10) 선택 공리 (Axiom of Choice)
공집합을 원소로 갖지 않는 집합족에 대해, 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하는 함수가 존재한다. \[\forall F \left( \varnothing \notin F \rightarrow \exists f : F \to \bigcup F \, \forall A \in F (f(A) \in A) \right)\] 이 공리는 앞의 다른 공리들과 독립적이다. 즉 ZF와 모순되지도 않고 ZF로부터 증명되지도 않는다.
3. 집합 구성의 예
ZFC 공리를 사용하여 실제로 집합을 구성하는 예를 살펴보자.
(1) 순서쌍의 구성
쿠라토프스키(Kuratowski) 정의에 의하면 순서쌍은 다음과 같이 집합으로 정의된다. \[(a,\, b) = \{\{a\},\, \{a,\, b\}\}.\] 이것은 짝 공리를 두 번 적용하여 얻을 수 있다. 이 정의가 순서쌍의 기본 성질 \[(a,\, b) = (c,\, d) \quad\Longleftrightarrow\quad a = c \,\wedge\, b = d\] 를 만족함을 확인할 수 있다.
문제 9.1. 순서쌍의 성질을 증명하시오.
문제 9.2. 집합을 사용하여 성분이 \(3\)개 이상인 순서쌍을 정의하는 방법을 논하시오.
(2) 데카르트 곱의 구성
두 집합 \(A\), \(B\)의 데카르트 곱은 다음과 같다. \[A \times B = \{(a,\, b) \mid a \in A \wedge b \in B\}.\] 이것은 멱집합 공리와 분류 공리를 사용하여 구성할 수 있다. 먼저 \((a,\, b) \subseteq \mathcal{P}(A \cup B)\)임을 보이고, 분류 공리를 적용한다.
(3) 함수의 구성
함수 \(f: A \to B\)는 다음 조건을 만족시키는 집합이다.
- \(f \subseteq A \times B\)
- \(\forall a \in A\, \exists! b \in B\, ((a,\, b) \in f)\)
함수도 결국 순서쌍들의 집합이므로 ZFC에서 집합으로 존재한다.
4. 러셀의 역설
ZFC에서는 러셀의 역설이 발생하지 않는다. 왜냐하면, 자기 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합의 클래스 \[\mathcal{R} = \{x \mid x \notin x\}\] 는 집합이 아니라 고유클래스이기 때문이다.
만약 \(\mathcal{R}\)이 집합이라고 가정하면
- \(\mathcal{R} \in \mathcal{R}\)이면 \(\mathcal{R} \notin \mathcal{R}\)이어야 하고,
- \(\mathcal{R} \notin \mathcal{R}\)이면 \(\mathcal{R} \in \mathcal{R}\)이어야 한다.
이것은 모순이므로 \(\mathcal{R}\)은 집합이 될 수 없다. 실제로 정칙성 공리에 의해 \(x \in x\)인 집합 \(x\)는 존재하지 않으므로, \(\mathcal{R}\)은 모든 집합의 클래스와 같다.
문제 9.3. 외연 공리와 공집합 공리를 사용하여 공집합이 유일함을 증명하시오. 즉, 원소를 갖지 않는 집합이 두 개 있다면 그들은 같음을 보이시오.
문제 9.4. 짝 공리와 합집합 공리를 사용하여 세 집합 \(a\), \(b\), \(c\)에 대해 \(\{a,\, b,\, c\}\)를 구성할 수 있음을 보이시오.
문제 9.5. 집합 \(A = \{0,\, 1,\, 2\}\)에 대하여 함수적 성질 \(\psi(x,\, y)\)를 "\(y = 2x\)"라고 정의할 때, 치환 공리에 의해 존재하는 집합 \(B\)를 구하시오.
문제 9.6. \(A = \{a,\, b\}\), \(B = \{1,\, 2,\, 3\}\)이라고 하자. 멱집합 공리와 분류 공리를 사용하여 \(A \times B\)가 집합임을 보이시오.
문제 9.7. 다음 클래스가 집합인지 고유클래스인지 판단하고 그 이유를 설명하시오.
- 모든 집합의 클래스
- 모든 단원소 집합의 클래스
- 모든 유한집합의 클래스
- 자기 자신을 원소로 갖는 모든 집합의 클래스
문제 9.8. ZFC 공리계에서 다음 집합이 존재함을 증명하시오.
- \(\{1,\, 2,\, 3\}\)
- \(\{\varnothing,\, \{\varnothing\},\, \{\{\varnothing\}\}\}\)
- 두 집합 \(A\), \(B\)의 교집합 \(A \cap B\)