자연수

집합의 기본 성질 중 하나는 집합의 원소의 개수이다. 유한집합의 경우 원소의 개수를 자연수로 나타낼 수 있지만, 무한집합의 크기를 다루려면 더 정교한 개념이 필요하다. 칸토어는 19세기 말 무한의 크기를 체계적으로 연구하면서 기수와 서수라는 혁신적인 개념을 도입했다. 이것은 수학에서 무한을 다루는 방식을 완전히 바꾸어 놓았다.

기수(cardinal number)는 집합의 크기 또는 원소의 개수를 나타내는 개념이다. 두 집합 사이에 일대일대응이 존재하면 같은 기수를 가진다고 말한다. 이것은 유한집합뿐만 아니라 무한집합에도 적용되어, 서로 다른 크기의 무한이 존재함을 보여준다. 한편 서수(ordinal number)는 집합의 순서 구조를 나타내는 개념으로, 무한집합도 적절히 순서를 부여하면 그 순서 유형을 서수로 표현할 수 있다.

흥미롭게도 모든 자연수는 유한기수인 동시에 유한서수이다. 예를 들면, 자연수 \(3\)은 세 개의 원소를 가진 집합의 크기를 나타내는 기수이면서, 동시에 세 번째 위치까지의 순서를 나타내는 서수이기도 하다. 이 부에서는 먼저 자연수를 집합론적으로 구성하는 방법을 살펴본 후, 이것을 바탕으로 기수와 서수의 개념을 살펴본다.

자연수는 수학의 가장 기본적인 대상이지만, 엄밀하게 정의하기는 쉽지 않다. 이 장에서는 집합을 사용하여 자연수를 구성하고, 자연수의 연산을 정의하며, 수학적 귀납법의 원리를 살펴본다.

1. 집합을 사용한 자연수의 정의

폰 노이만(von Neumann)의 방법을 따라 자연수를 구성해 보자. 먼저 \(0\)을 공집합으로 정의하고, 각 자연수를 자신보다 작은 모든 자연수의 집합으로 정의한다. \[\begin{aligned} 0 &= \varnothing = \{\},\\[6pt] 1 &= \{0\} = \{\varnothing\},\\[6pt] 2 &= \{0,\, 1\} = \{\varnothing,\, \{\varnothing\}\},\\[6pt] 3 &= \{0,\, 1,\, 2\} = \{\varnothing,\, \{\varnothing\},\, \{\varnothing,\, \{\varnothing\}\}\},\\[6pt] &\vdots \end{aligned}\] 일반적으로, 자연수 \(n\)의 따름수(successor) \(S(n)\)을 다음과 같이 정의한다. \[S(n) = n \cup \{n\}.\] 직관적으로 \(S(n)\)은 \(n\)의 다음 수, 즉 \(n+1\)을 나타내는 것으로 생각해도 무방하다. 예를 들어,

• \(S(0) = \varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\} = 1\),
• \(S(1) = \{0\} \cup \{\{0\}\} = \{0,\, 1\} = 2\),
• \(S(2) = \{0,\, 1\} \cup \{\{0,\, 1\}\} = \{0,\, 1,\, 2\} = 3\).

이 정의에 의하면 각 자연수는 \(n = \{0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, n-1\}\)이며, 다음이 성립한다.

• \(m < n\)일 필요충분조건은 \(m \in n\)인 것이다.
• \(m \leq n\)일 필요충분조건은 \(m \subseteq n\)인 것이다.

집합 \(N\)이 두 조건

• \(0\in N\)이다,
• \(n\in N\)일 때마다 \(S(n)\in N\)이다

를 모두 만족시킬 때, \(N\)을 귀납적 집합이라고 부른다. 또한 모든 귀납적 집합들의 교집합을 자연수 집합이라고 부르고 \(\mathbb{N}\) 또는 \(\omega\)로 나타낸다. [초중등 교육과정에서는 \(1\) 이상인 정수를 자연수라고 부르지만 집합론에서는 \(0\) 이상인 정수를 자연수라고 부른다.] 즉 자연수 집합을 원소나열법으로 나타내면 다음과 같다. \[\left\{ 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, \ldots \right\}.\]

2. 수학적 귀납법

수학적 귀납법(mathematical induction)은 자연수에 대한 명제를 증명하는 강력한 방법이다. 즉, 자연수에 대한 명제 \(P(n)\)이 다음 두 조건을 만족시키면 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(P(n)\)이 성립한다.

1. 기초 단계: \(P(0)\)이 성립한다.
2. 귀납 단계: 임의의 자연수 \(k\)에 대해, \(P(k)\)가 성립하면 \(P(k+1)\)도 성립한다.

수학적 귀납법은 증명뿐만 아니라 정의에도 사용된다. 이것을 귀납적 정의(recursive definition)라고 부른다. 자연수의 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 정의할 때 귀납적 정의가 사용된다.

3. 자연수의 덧셈

자연수의 덧셈을 귀납적으로 정의한다. 즉, 임의의 자연수 \(m\), \(n\)에 대해 다음과 같이 정의한다. \[\begin{aligned} m + 0 &= m ,\\[6pt] m + S(n) &= S(m + n) . \end{aligned}\] 예를 들어, \(2 + 2\)를 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} 2 + 2 &= 2 + S(1) = S(2 + 1) = S(2 + S(0))\\[6pt] &= S(S(2 + 0)) = S(S(2)) = S(3) = 4 . \end{aligned}\]

자주 사용하는 덧셈의 기본 성질은 다음과 같은 것들이 있다.

• 결합법칙: \((m + n) + p = m + (n + p)\)
• 교환법칙: \(m + n = n + m\)
• 소거법칙: \(m + p = n + p\)이면 \(m = n\)이다.

4. 자연수의 곱셈

자연수의 곱셈도 귀납적으로 정의한다. 즉, 임의의 자연수 \(m\)에 대해 다음과 같이 정의한다. \[\begin{aligned} m \cdot 0 &= 0 ,\\[6pt] m \cdot S(n) &= m \cdot n + m . \end{aligned}\] 예를 들어, \(2 \cdot 3\)을 계산하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} 2 \cdot 3 &= 2 \cdot S(2) = 2 \cdot 2 + 2\\[6pt] &= 2 \cdot S(1) + 2 = (2 \cdot 1 + 2) + 2\\[6pt] &= (2 \cdot S(0) + 2) + 2 = ((2 \cdot 0 + 2) + 2) + 2\\[6pt] &= (0 + 2) + 2 + 2 = 6 . \end{aligned}\]

자주 사용하는 곱셈의 기본 성질은 다음과 같은 것들이 있다.

• 결합법칙: \((m \cdot n) \cdot p = m \cdot (n \cdot p)\)
• 교환법칙: \(m \cdot n = n \cdot m\)
• 분배법칙: \(m \cdot (n + p) = m \cdot n + m \cdot p\)
• 항등원: \(m \cdot 1 = m\)
• 영원: \(m \cdot 0 = 0\)

5. 자연수의 거듭제곱

자연수의 거듭제곱도 귀납적으로 정의한다. 즉, 임의의 자연수 \(m\), \(n\)에 대해 다음과 같이 정의한다. \[\begin{aligned} m^0 &= 1 ,\\[6pt] m^{S(n)} &= m^n \cdot m . \end{aligned}\] 특별히 \(0^0 = 1\)로 정의한다는 점에 주목하자. 이것은 조합론과 집합론에서 자연스러운 정의이다.

자주 사용하는 거듭제곱의 기본 성질은 다음과 같은 것들이 있다.

• \(m^{a+b} = m^a \cdot m^b\)
• \((m^a)^b = m^{a \cdot b}\)
• \((m \cdot n)^a = m^a \cdot n^a\)
• \(1^n = 1\)
• \(m^1 = m\)

6. 페아노 공리

페아노 공리(Peano axioms)는 자연수의 본질적 성질을 설명하는 공리 체계이다. 집합 \(\mathbb{N}\), 원소 \(0 \in \mathbb{N}\), 함수 \(S: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\)이 다음을 만족시킬 때 '페아노 공리를 만족시킨다'라고 말한다.

1. \(0 \in \mathbb{N}\) (영은 자연수이다)
2. \(n \in \mathbb{N}\)이면 \(S(n) \in \mathbb{N}\)이다. (자연수의 따름수는 자연수이다.)
3. 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(S(n) \neq 0\)이다. (영은 어떤 자연수의 따름수도 아니다.)
4. \(S(m) = S(n)\)이면 \(m = n\)이다. (따름수 함수는 일대일함수이다.)
5. 귀납 공리: \(A \subseteq \mathbb{N}\)이 다음 두 조건을 모두 만족시키면 \(A = \mathbb{N}\)이다.
      - \(0 \in A\);
      - \(n \in A\)이면 \(S(n) \in A\)이다.

집합을 사용하여 구성한 자연수는 페아노 공리를 만족한다.

• 공리 1: \(0 = \varnothing\)는 정의에 의해 자연수이다.
• 공리 2: 자연수 \(n\)의 따름수 \(S(n) = n \cup \{n\}\)도 자연수이다.
• 공리 3: \(S(n) = n \cup \{n\}\)는 항상 비어있지 않으므로 \(0\)이 될 수 없다.
• 공리 4: \(S(m) = S(n)\)이면 \(m \cup \{m\} = n \cup \{n\}\)이므로 \(m = n\)이다.
• 공리 5: 자연수 집합이 모든 귀납적 집합의 교집합이므로, 공리 5가 성립한다. (문제 6.2 참조)

7. 연산 법칙의 증명

자연수의 연산 법칙들은 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다. 예를 들어, 덧셈의 결합법칙 \[(m + n) + p = m + (n + p)\] 는 \(p\)에 대한 수학적 귀납법을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

• 기초 단계: \(p = 0\)일 때, \((m + n) + 0 = m + n = m + (n + 0)\).
• 귀납 단계: \((m + n) + p = m + (n + p)\)라고 가정하면, \[\begin{aligned} (m + n) + S(p) &= S((m + n) + p) &\quad \text{(덧셈의 정의)}\\[6pt] &= S(m + (n + p)) &\quad \text{(귀납 가정)}\\[6pt] &= m + S(n + p) &\quad \text{(덧셈의 정의)}\\[6pt] &= m + (n + S(p)). &\quad \text{(덧셈의 정의)} \end{aligned}\]

다른 법칙들도 유사한 방법으로 증명할 수 있다. 이러한 증명은 자연수의 귀납적 구조를 활용한다.

8. 순서 관계

자연수의 순서 관계도 다음과 같이 집합을 사용하여 자연스럽게 정의된다. [세 식 중 하나를 정의로 삼으면, 다른 두 식은 정리가 된다.]

• \(m < n \quad \Longleftrightarrow \quad m \in n\)
• \(m \leq n \quad \Longleftrightarrow \quad m \subseteq n\)
• \(m < n \quad \Longleftrightarrow \quad \exists k \neq 0 : m + k = n\)

이 순서 관계는 다음과 같은 성질을 가진다.

• 전순서: 임의의 자연수 \(m,\, n\)에 대하여 \(m < n\), \(m = n\), \(m > n\) 중 딱 하나가 성립한다.
• 정렬성: 공집합이 아닌 자연수의 부분집합은 최소원소를 가진다.
• 아르키메데스 성질: 임의의 자연수 \(n\)에 대해 \(n < m\)인 자연수 \(m\)이 존재한다.