미적분학 II 과제입니다. 다음 문제 중 하나 이상을 풀어서 제출하세요. 문제에서 \(f\)는 항상 정의역이 \(\mathbb{R}^2\)이고 공역이 \(\mathbb{R}\)인 함수를 나타냅니다. 또한 증명은 모두 극한과 연속의 엄밀한 정의(\(\epsilon – \delta\) 논법)를 사용해야 합니다. (문제에서 ‘참고’는 힌트가 아닙니다.) 문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \sin x + \sin y\] 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. 문제 2. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \begin{cases} 1 \quad & \text{if} \,\, y=x^2 \text{ and } x > 0 …
\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(\cdots ,\) \(x_n\)이 모두 \(0\) 이상인 실수라고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. \[\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\tag{1}\] 여기서 등식이 성립할 필요충분조건은 \(x_1 = x_2 = \cdots = x_n\)인 것이다. 라그랑주 승수법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이것을 증명해 보자. 증명을 마칠 때까지 첨수 \(i\)는 \(n\) 이하의 자연수를 나타내는 것으로 약속한다. 만약 \(x_i\) 중에서 \(0\)인 것이 있으면 증명은 자명하게 끝난다. 그러므로 모든 \(x_i\)가 양수라고 가정하자. \[x = …
제3장 문자와 식 3.1 다항식 다항식의 구조 문자 또는 수들의 곱으로 이루어진 식을 항이라 하고, 항 또는 항들의 합으로 이루어진 식을 다항식(polynomial)이라고 한다. 예를 들어 \[ \pi,\quad x,\quad 3z+1,\quad -x+2x^{2020}+2, \quad -xy^{2}+x^{2}+a^{4}y^{2}+x \] 는 모두 다항식이다. 다항식은 동류항끼리 모아서 정리하여 간단히 나타낸다. 그리고 차수가 높은 항부터 순서대로 나열하는 내림차순 혹은 차수가 낮은 항부터 순서대로 나열하는 오름차순으로 정리하면 보기 좋다. 예를 들어 다항식 \(-x+2x^{2020}+2\)를 내림차순과 오름차순으로 정리하면 다음과 같다. \[ 2x^{2020}-x+2,\quad 2-x+2x^{2020} \] 문자가 두 개 이상있는 다항식은 하나의 문자를 기준으로 …
연역적 추론 두 조건 \(p, q\)에 대하여, 문장 ‘\(p\longrightarrow q\)’는 하나의 명제가 된다. 일반적으로 조건 \(p, q\)의 진리집합을 각각 \(P, Q\)라 할 때, \(p\longrightarrow q\)가 참이면 조건 \(p\)를 참이되게 하는 원소는 조건 \(q\)도 참이 되게 하므로 \(P\subset Q\)인 관계가 성립한다. 또한 \(P\subset Q\)인 관계가 있으면 명제 \(p\longrightarrow q\)는 참이다. 한편, 명제 \(p\longrightarrow q\)가 거짓이라는 것은 조건 \(p\)가 참이 되지만 \(q\)는 참이 되지 않는 원소가 있음을 말하며 이는 곧 \(P\not\subset Q\)임을 뜻한다. 이상을 정리하면 다음과 같다. Theorem 1.1.4 (명제 \(p\longrightarrow q\)의 …
제1장 집합과 논리의 기초 ”철학은 우주라는 드넓은 책에 쓰여있다. … 그것은 수학의 언어로 쓰였으며 그것의 문자는 삼각형, 동그라미 그리고 다른 기하학적 수치들이다.” -갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei; 1564–1642)- 19세기 말 수학자 칸토르(Cantor, G.; 1845–1918)는 무한집합에 관한 이론을 처음으로 발표하였다. 수학의 긴 역사를 생각해볼 때 ‘집합’이라는 개념을 구체적으로 다룬 것은 비교적 최근의 일이라 할 수 있다. 오늘날에는 모든 수학적 대상을 집합을 이용하여 정의한다고 해도 과언이 아니다. 즉 집합은 오늘날의 수학을 기술하는 현대수학의 언어라고 할 수 있다. 집합과 명제에 대한 공부는 생각하는 대상을 명확히 …
‘자기주도적 학습 과제’는 스스로 공부하는 학생들에게 학습의 방향을 안내해주기 위한 문제입니다. 매주 5문제가 제공됩니다. Thomas Calculus 관련 단원을 공부한 후 충분히 생각하면서 문제를 풀어보세요. 여러분의 실력 향상에 도움이 될 것입니다. **** **** **** 1주차 1주차 문제의 관련 단원은 12.1 ~ 12.4절입니다. ‘유클리드 공간’의 정의는 무엇인가요? 수학에서 ‘공간(space)’이란 어떤 의미를 갖나요? ‘공간을 정의한다’라는 것은 무슨 뜻인가요? Thomas Calculus에서는 유클리드 공간에서 벡터의 내적(inner product)을 기하학적 방법으로 정의하였습니다. 그러나 벡터의 내적은 성분별 곱의 합으로도 정의할 수 있습니다. 두 가지 정의의 장점과 단점을 각각 …