\(D\)가 \(\mathbb{R}^2\)의 부분집합으로서 다음과 같이 정의된 집합이라고 하자. \[D = \left\{ (x,\,y) \,\vert\, x^2 + y^2 \le 9 \right\}\] 그리고 함수 \(f\)가 \(D\)를 포함하는 영역에서 정의되었으며 정의역의 모든 점에서 두 번 이상 미분 가능하다고 하자. 이제 \(D\)에서 \(f\)의 극댓값과 극솟값, 최댓값과 최솟값은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. 도함수 판정법: \(D\)의 내부점 중에서 \(f_x (x,\,y) = 0,\) \(f_y (x,\,y)=0\)인 점 \((x,\,y)\)를 모두 구한다. 이계도함수 판정법: 구한 점 \((x,\,y)\) 중에서 \(f\)의 Hesse 행렬식을 이용하여 \(f\)가 극값을 갖는 점, \(f\)의 그래프가 변곡점인 …
예제 1. 함수 \(f(x,\,y,\,z)\)가 모든 점에서 미분 가능하고 \[f(x,\,y,\,z)=0 \tag{1.1}\] 을 만족시킬 때 \[\left( \frac{\partial x}{\partial g} \right)_z \left( \frac{\partial y}{\partial z}\right)_x \left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)_y =-1\tag{1.2}\] 임을 보이시오. (Thomas’ Calculus 13ed 14.10. Exercise 9.) 풀이. 먼저 \(y,\) \(z\)를 독립변수로 두고 (1.1)의 양변을 \(y\)에 관하여 미분하면 다음과 같다. \[\begin{align} &\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y} =0 \\[6pt] \Rightarrow \quad & \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y} …
\(3\)차원 공간에 서로 다른 두 점 \(P,\) \(S\)와 벡터 \(\textbf{v}\)가 주어졌다고 하자. 그리고 점 \(S\)를 지나고 \(\textbf{v}\)와 평행한 직선을 \(\ell\)이라고 하자. 이때 \(P\)와 \(\ell\) 사이의 거리 \(d\)는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. \[d = \frac{\lvert \overrightarrow{PS} \times \textbf{v}\rvert}{\lvert\textbf{v}\rvert}.\tag{1}\] 평행사변형의 인접한 두 변이 각각 \(\overrightarrow{PS},\) \(\textbf{v}\)와 평행하고, 두 변의 길이가 각각 \(\vert\overrightarrow{PS}\lvert,\) \(\lvert\textbf{v}\vert\)와 같을 때, 이 평행사변형의 넓이는 두 벡터의 외적의 크기인 \(\lvert \overrightarrow{PS} \times \textbf{v}\rvert\)와 같다. 이때 점 \(P\)와 직선 \(\ell\) 사이의 거리는 이 평행사변형의 높이와 같다. 그러므로 평행사변형의 …
문제. \(\mathbb{N}\)이 모든 자연수의 집합이라고 하자. 이때, \(\mathbb{N}\)으로부터 \(\mathbb{N}\)으로의 함수, 즉 정의역과 공역이 모두 \(\mathbb{N}\)인 함수의 개수가 실수의 개수와 같음을 보이시오. 풀이. 표기를 편하게 하기 위하여 정의역이 \(A\)이고 공역이 \(B\)인 함수의 모임을 \(B^A\)로 나타낸다. 1단계. 정의역이 \(\mathbb{N}\)이고 공역이 \(E = \left\{ 0,\,1 \right\}\)인 함수의 개수를 세어 보자. 즉 \(E^\mathbb{N}\)의 원소의 개수를 생각해 보자. \(f\in E^\mathbb{N}\)라고 하자. 그러면 각 자연수 \(n\)에 대하여 함숫값 \(f(n)\)은 \(0\) 또는 \(1\)이다. 이제 정수 부분이 \(0\)이고 소수점 아래 \(n\)째 자리의 숫자가 \(f(n)\)인 이진수를 생각하자. 그러면 함수 …
문제 1. 함수 \(f\)가 다음과 같이 정의되어 있다. \[f(x,\,y) = \sin x + \sin y\] 이때, \(f\)가 모든 점 \((x,\,y)\)에서 연속임을 보이시오. (\(\epsilon – \delta\) 논법을 사용할 것.) 풀이. 점 \((x,\,y)\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[\delta = \frac{\epsilon}{2}\] 이라고 하면 모든 실수 \(s,\) \(t\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{align} \lvert s-x \rvert < \delta \quad &\Rightarrow \quad \lvert \sin s - \sin x \rvert \le \lvert s-x \rvert < \delta = \frac{\epsilon}{2} , \tag{1.1} ...
열린집합들의 합집합은 열린집합이다. 열린집합의 개수가 무한일지라도 그들을 합집합하여 얻은 결과는 항상 열린집합이다. (참고: 열린집합과 닫힌집합) 그러나 열린집합을 교집합한 결과는 열린집합이 아닐 수도 있다. 그 예를 살펴보자. 전체집합을 \(\mathbb{R}\)라고 하고, 자연수 \(j\)에 대하여 집합 \(A_j\)를 다음과 같이 정의하자. \[A_j = \left( – \frac{1}{j} ,\, 1+ \frac{1}{j} \right).\tag{1}\] 그러면 임의의 \(j\)에 대하여 \(A_j\)는 열린구간이므로, \(\mathbb{R}\)에서의 열린집합이다. 다음으로 \[A = \bigcap_{j=1}^{\infty} A_j\tag{2}\] 라고 하자. 이제 \[A = [0, 1]\tag{3}\] 임을 보이자. 우선 \(x\in[0,\,1]\)이라고 하자. 그러면 임의의 자연수 \(j\)에 대하여 \[x\in \left( – \frac{1}{j} …