정사각행렬의 특성다항식을 이용한 흥미로운 등식을 살펴보자. \(A\)가 이차장사각행렬이고 \[A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\] 일 때 다음이 성립한다. \[A^2 – (a+d)A + (ad-bc)I_2 = O.\] \(A\)의 특성다항식을 \(p(t)\)라고 하고 \(t=A\)를 대입함으로써 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다. \[p(A) = O.\] 이 등식이 성립하는 것은 우연이 아니며, Cayley-Hamilton 정리의 결과이다. 이 포스트에서는 특성다항식의 성질과 \(T\)-불변 공간의 개념을 살펴보고, 이어서 Cayley-Hamilton 정리와 그 증명을 살펴본다. 또한 Cayley-Hamilton 정리와 같은 방법으로 증명할 수 있는 자기준동형사상의 삼각행렬 …
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이 포스트에서는 고윳값과 고유벡터의 개념을 살펴보고 특성다항식을 이용하여 고윳값을 구하는 방법을 살펴봅니다. 또한 에르미트 변환과 유니타리 변환의 개념을 바탕으로 스펙트럼 분해 정리를 살펴봅니다. \[ \newcommand{\parallelsym}{\mathbin{\!/\mkern-5mu/\!}} \] 고윳값과 고유벡터의 뜻 \(V\)가 체 \(K\) 위에서 정의된 벡터공간이고 \(T : V \rightarrow V\)가 선형변환이라고 하자. 그리고 스칼라 \(\lambda \in K\)와 영벡터가 아닌 벡터 \(v\in V\)가 존재하여 \[T(v) = \lambda v\tag{1}\] 을 만족시킨다고 하자. 이때 \(\lambda\)를 \(T\)의 고윳값(eigenvalue)이라고 부른다. 또한 이와 같은 \(\lambda\)에 대하여 등식 (1)을 만족시키는, 영벡터가 아닌 벡터 \(v\)를 \(\lambda\)에 따르는 고유벡터(eigenvector)라고 …
계수와 상수가 실수인 이차방정식이 실수 범위에서 몇 개의 해를 갖는지 알아보기 위해서는 판별식의 부호를 살펴보면 된다. 이와 비슷하게 정사각행렬의 역행렬이 존재하는지 알아보는 공식이 있는데, 그것이 행렬식이다. 행렬식은 특정한 조건을 만족시키는 선형범함수로 정의될 수도 있는데, 그러한 함수는 크기가 작은 행렬의 행렬식을 이용하여 크기가 큰 행렬의 행렬식을 계산하는 귀납적인 방법으로 정의된다. 또한 행렬식은 행렬의 각 성분들을 이용하여 직접 계산하는 방식으로 정의될 수도 있다. 이 포스트에서는 행렬식의 두 가지 정의를 살펴보고 두 정의가 서로 동치임을 밝힌다. 더불어 행렬의 가역성과 관련된 행렬식의 성질을 살펴본다. …
벡터공간은 물체의 위치를 기술할 수 있는 추상적인 형태의 공간이다. 그러나 벡터공간에는 벡터의 합과 스칼라 곱이라는 두 개의 연산만 존재하기 때문에 점 사이의 거리나 두 벡터 사이의 각의 크기를 정의할 수 없다. 대신 벡터공간에 내적이라는 구조를 추가함으로써 거리와 각의 크기를 정의할 수 있다. 이 포스트에서는 내적의 개념과 성질을 살펴보고, 이로부터 파생되는 기저의 성질을 살펴본다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \] 실내적공간 \(V\)가 실벡터공간이라고 하자. 함수 \[ V\times V \,\rightarrow\,\mathbb{R} ,\,\, (v,\,w) \,\mapsto\, \langle v \,\vert\, w \rangle\] 가 다음 세 조건을 모두 …
\(V\)가 체 \(F\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. \(F\)는 자기 자신 위에서 정의된 \(1\)차원 벡터공간이다. 이러한 관점에서 \(V\)로부터 \(F\)로의 모든 선형변환들의 모임을 \(V^*\)로 나타낸다. 만약 임의의 \(f,\,g \in V^*\)와 \(\lambda \in F\)에 대하여 \(f+g\)와 \(\lambda f\)를 모든 \(x\in V\)에 대하여 \[\begin{gather} (f+g)(x) = f(x) + g(x), \\[6pt] (\lambda f)(x) = \lambda (f(x)) \end{gather}\] 를 만족시키는 함수로 정의하면 \(V^*\)는 벡터공간이 된다. 이때 \(V^*\)를 \(V\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부른다. [쌍대공간은 대수적 쌍대공간과 연속 쌍대공간이 있다. 이 글에서 다루는 쌍대공간은 대수적 쌍대공간을 이른다.] 이제 \(V\)의 기저와 …