지난 포스트에서 벡터공간 \(K^n,\) \(K^m\) 사이에서 정의된 선형변환과 \(m\times n\) 행렬의 관계를 살펴보았다(지난 포스팅 보기). 이번에는 일반적인 유한차원 벡터공간 \(V,\) \(V’\) 사이에서 정의된 선형변환과 행렬의 관계를 살펴보자. \(K\)가 체이고 \(n\)과 \(m\)이 양의 정수라고 하자. 그리고 \(V\)와 \(V’\)이 \(K\) 위에서 정의된 \(n\)차원 벡터공간, \(m\)차원 벡터공간이라고 하자. 또한 \[\begin{align} B: &\,\, v_1 ,\, v_2 ,\, \cdots ,\, v_n, \\[6pt] B’ : & \,\, v_1 ‘ ,\, v_2 ‘ ,\, \cdots ,\, v_m ‘ \end{align}\] 이 각각 \(V\)와 \(V’\)의 기저라고 하자. 임의의 \(v\in …
벡터공간 \(K^n,\) \(K^m\) 사이에서 정의된 선형변환과 \(m\times n\) 행렬의 관계를 살펴보자. \(K\)가 체(field)이고 \(n\)과 \(m\)이 양의 정수라고 하자. 모든 성분이 \(K\)에 속하는 \(m\times n\) 행렬들의 모임을\(\newcommand{\MatK}{\operatorname{Mat}_{m \times n}(K)}\) \[\MatK\] 로 나타낸다. 또한 정의역이 \(K^n\)이고 공역이 \(K^m\)인 선형변환들의 모임을\(\newcommand{\HomK}{\operatorname{Hom}(K^n ,\, K^m )}\) \[\HomK\] 으로 나타낸다. [여기서 \(K^n\)과 \(K^m\)은 통상적인 벡터 합과 스칼라 곱이 주어진 벡터공간이다.] 스칼라 \(k\in K\)와 \(m\times n\) 행렬 \(A = (a_{ij})_{m\times n}\), \(B=(b_{ij})_{m\times n}\)에 대하여 스칼라곱 \(kA\)와 합 \(A+B\)를 각각 \[\begin{gather} kA = (ka_{ij})_{m\times n} ,\\[6pt] A+B = …
\[ \newcommand{\parallelsym}{\mathbin{\!/\mkern-5mu/\!}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \] This is a set of problems with which you can take exercise on linear algebra. Day 1. The problems for the first day are related to: Representation of Linear Transformations. Explain why every linear transformation between finite dimensional vector spaces can be regarded as a matrix. (Hint: Consider bases for domain and codomain of the transformation.) Use matrix multiplication to obtain the formula for \(\sin(\alpha + \beta)\) and \(\cos(\alpha + \beta ).\) (Hint: Consider the transformation …
This is a set of problems with which you can take exercise on multiple integrals and integrals of vector fields. Day 1. The problems for the first day are related to chapter 15. In problem 1-5, evaluate the integrals. \[\int_1^2 \int_{-1}^1 \frac{x}{y^2} \,dx\,dy.\] \[\int_0^{\ln 2} \int_0 ^{\pi/2} e^x\,\cos y \,dy\,dx.\] \[\int_0^2 \int_{y/2}^1 e^{x^2} \,dx\,dy .\] \[\int_0^\pi \int_0^\pi \int_0^\pi \cos(x+y+z) dx\,dy\,dz.\] \[\int_{-1}^1 \int_0^{\sqrt{1-y^2}}\int_0^x (x^2 + y^2) dz\,dx\,dy.\] The following problems 6-10 are related to the definition of multiple integrals, in the …
유한차원 벡터공간 \(V\) 위에서 자기준동형사상 \(T\)가 정의되어 있을 때 \(T\)의 표현행렬은 \(V\)에 어떠한 기저가 주어졌는지에 따라 달라진다. \(V\)와 \( T\)가 적절한 조건을 만족시키면 \(V\)의 기저를 적절히 택하여 \(T\)의 표현행렬이 ‘대단히 좋은 형태’가 되도록 할 수 있다. 이 포스트에서는 벡터공간을 특성부분공간의 직합으로 나타내는 방법과 자기준동형사상을 조르당 표준형으로 나타내는 방법을 살펴본다. 이 포스트에서 다루는 벡터공간은 유한차원 벡터공간인 것으로 약속한다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \newcommand{\adj}{{\operatorname{adj}}} \newcommand{\Ker}{{\operatorname{Ker}}} \] 특성부분공간을 이용한 분해 이 절에서는 벡터공간 \(V\)에 자기준동형사상 \(T\)가 주어졌을 때, \(T\)에 대한 특성부분공간의 직합으로 \(V\)를 …
정사각행렬의 특성다항식을 이용한 흥미로운 등식을 살펴보자. \(A\)가 이차장사각행렬이고 \[A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\] 일 때 다음이 성립한다. \[A^2 – (a+d)A + (ad-bc)I_2 = O.\] \(A\)의 특성다항식을 \(p(t)\)라고 하고 \(t=A\)를 대입함으로써 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다. \[p(A) = O.\] 이 등식이 성립하는 것은 우연이 아니며, Cayley-Hamilton 정리의 결과이다. 이 포스트에서는 특성다항식의 성질과 \(T\)-불변 공간의 개념을 살펴보고, 이어서 Cayley-Hamilton 정리와 그 증명을 살펴본다. 또한 Cayley-Hamilton 정리와 같은 방법으로 증명할 수 있는 자기준동형사상의 삼각행렬 …