벡터공간은 물체의 위치를 기술할 수 있는 추상적인 형태의 공간이다. 그러나 벡터공간에는 벡터의 합과 스칼라 곱이라는 두 개의 연산만 존재하기 때문에 점 사이의 거리나 두 벡터 사이의 각의 크기를 정의할 수 없다. 대신 벡터공간에 내적이라는 구조를 추가함으로써 거리와 각의 크기를 정의할 수 있다. 이 포스트에서는 내적의 개념과 성질을 살펴보고, 이로부터 파생되는 기저의 성질을 살펴본다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \] 실내적공간 \(V\)가 실벡터공간이라고 하자. 함수 \[ V\times V \,\rightarrow\,\mathbb{R} ,\,\, (v,\,w) \,\mapsto\, \langle v \,\vert\, w \rangle\] 가 다음 세 조건을 모두 …
\(V\)가 체 \(F\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. \(F\)는 자기 자신 위에서 정의된 \(1\)차원 벡터공간이다. 이러한 관점에서 \(V\)로부터 \(F\)로의 모든 선형변환들의 모임을 \(V^*\)로 나타낸다. 만약 임의의 \(f,\,g \in V^*\)와 \(\lambda \in F\)에 대하여 \(f+g\)와 \(\lambda f\)를 모든 \(x\in V\)에 대하여 \[\begin{gather} (f+g)(x) = f(x) + g(x), \\[6pt] (\lambda f)(x) = \lambda (f(x)) \end{gather}\] 를 만족시키는 함수로 정의하면 \(V^*\)는 벡터공간이 된다. 이때 \(V^*\)를 \(V\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부른다. [쌍대공간은 대수적 쌍대공간과 연속 쌍대공간이 있다. 이 글에서 다루는 쌍대공간은 대수적 쌍대공간을 이른다.] 이제 \(V\)의 기저와 …
체 \(K\) 위에서 정의되어 있고 차원이 \(n\)인 유한차원 벡터공간은 \(K^n\)와 동형이다. 그러므로 유한차원 벡터공간 사이에서 정의된 선형변환은 적당한 \(n,\) \(m\)에 대하여 선형변환 \(T : K^n \rightarrow K^m\)과 같은 것으로 생각할 수 있다. 더욱이 \(T : K^n \rightarrow K^m\)은 행렬로 나타낼 수 있으므로 유한차원 벡터공간 사이에 정의된 선형변환은 행렬과 동일시할 수 있다. 그런데 이러한 행렬 표현은 벡터공간에 어떠한 기저가 주어졌는지에 따라 달라진다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \] 이 포스트에서는 유한차원 벡터공간 사이에서 정의된 선형변환을 행렬로 나타내고, 기저가 바뀌었을 때 선형변환을 표현하는 행렬이 …
\(V\)와 \(W\)가 체 \(F\) 위에서의 벡터공간이라 하자. 만약 함수 \(T : V \rightarrow W\)가 두 조건 임의의 \(v_1 ,\, v_2 \in V\)에 대하여 \(T(v_1 + v_2 ) = T(v_1 ) + T(v_2 )\)이다, 임의의 \(k \in F\)와 \(v\in V\)에 대하여 \(T(kv) = kT(v)\)이다 를 모두 만족시키면 \(T\)를 선형변환(linear transformation)이라고 부른다. 만약 \(F = \mathbb{R}\)라면, \(T\)가 (1)을 만족시키더라도 (2)를 만족시키지 않을 수 있다. 그러나 \(F=\mathbb{Q}\)라면 이야기가 달라진다. 정리. \(V\)와 \(W\)가 \(\mathbb{Q}\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. 함수 \(T : V \rightarrow W\)가 임의의 …
벡터의 직교분해를 이용하여 코시-슈바르츠 부등식을 증명해 보자. \(V\)가 벡터공간이고 \(\mathbf{u},\,\mathbf{v}\in V\)라고 하자. 만약 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 중 하나 이상이 \(\mathbf{0}\)이면 자명하게 \[ \lvert \langle \mathbf{u} ,\, \mathbf{v} \rangle \rvert \le \lVert \mathbf{u} \rVert \lVert \mathbf{v} \rVert \tag{1}\] 를 얻는다. 그러므로 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 중 어느것도 \(\mathbf{0}\)이 아니라고 가정하자. 그리고 \[\mathbf{w} = \mathbf{u} – \frac{\langle \mathbf{u} ,\, \mathbf{v} \rangle}{\lVert \mathbf{v} \rVert^2} \mathbf{v} \tag{2}\] 라고 하자. 그러면 \(\mathbf{u}\)는 다음과 같이 서로 수직인 두 벡터의 합으로 표현된다. \[\mathbf{u} = \frac{\langle \mathbf{u} ,\, \mathbf{v} \rangle}{\lVert \mathbf{v} …
\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(a_1 ,\) \(\cdots ,\) \(a_n ,\) \(b_1 ,\) \(\cdots,\) \(b_n\)이 모두 실수일 때 다음이 성립한다. \[\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^n a_i ^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i ^2 \right).\tag{1}\] 이 부등식을 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)이라고 부른다. 라그랑주 승수법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이 부등식을 증명해 보자. 증명을 마칠 때까지 첨수 \(i\)와 \(j\)는 \(n\) 이하의 자연수를 나타내는 것으로 약속한다. 증명 과정은 두 단계로 진행된다. 첫째 단계에서는 길이가 \(1\)인 두 벡터 \(\mathbb{x}=(x_i)\)와 \(\mathbb{y}=(y_i)\)에 대하여 \[-1 \le \mathbb{x}\cdot\mathbb{y} \le 1 …