무한급수 수렴판정을 하다 보면 삼각함수를 다루기 어려운 경우가 있다. 다음 무한급수를 살펴보자. \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \sin \frac{n+1}{n^2 – 5n + 4} \right ). \tag{1}\] \(n \rightarrow 0\)일 때 사인 함수 안에 있는 분수식이 \(0\)에 수렴하고, \(x=0\) 근처에서 \(\sin x\)는 \(x\)와 비슷하게 움직이므로, 위 무한급수에서 사인을 그냥 없애고 판정해도 될 것 같다. 즉 위 무한급수의 수렴 여부는 \[\sum_{n=5}^{\infty} \left( \frac{1}{n} – \frac{n+1}{n^2 -5n +4} \right)\] 의 수렴 여부와 같을 것 같다. 이렇게 두고 판정해 보면 결과가 ‘수렴’이 나오기는 한다. 그러나 …
이 글은 세종과학예술영재학교 2023학년도 1학기 해석기하 수업 교재 4단원 「복소평면과 복소수의 극형식」 유제 해설입니다. 눈으로 읽기만 하지 말고 꼭 손으로 직접 풀어보세요♡ \[ \newcommand{\complexI}{\boldsymbol{i}} \newcommand{\rpart}{\operatorname{Re}} \newcommand{\ipart}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \] 유제 4.1 \(z\)를 복소수라 할 때, 복소평면 위에서 다음 두 복소수 사이의 위치관계를 조사하시오. (1) \(z\)와 \(-z.\) (2) \(z\)와 \(\overline{z}.\) 해설. (1) 복소평면에서 \(-z\)가 나타내는 점은 \(z\)가 나타내는 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점이다. (2) 복소평면에서 \(\overline{z}\)가 나타내는 점은 \(z\)가 나타내는 점을 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 점이다. 유제 4.4 \(n\)이 자연수일 때, 복소수 \((2+\complexI …
이 글에서는 변수가 하나인 실숫값 함수의 이상적분을 정의하고, 이상적분의 수렴 판정법을 살펴본다. 또한 이상적분을 활용하는 예로서 감마 함수를 살펴본다. 내용 순서 들어가기 길이가 무한인 구간에서 정의되는 이상적분 유계가 아닌 함수의 이상적분 이상적분의 수렴 판정법 (적분 구간의 길이가 무한인 경우) 이상적분의 수렴 판정법 (함수가 유계가 아닌 경우) 이상적분을 활용하는 예: 감마 함수 맺음말 미리 알아야 할 내용 정적분 (관련 글) 미적분의 기본정리 (관련 글) 들어가기 리만 적분은 길이가 유한인 닫힌 구간에서 유계인 함수에 대하여 정의된다. 그러나 적분 구간의 길이가 유한이 아니거나 …
이 글은 벡터공간의 차원이, 그 벡터공간의 기저의 기수(cardinal number)로서 잘 정의됨을 살펴보는 글이다. 유한집합으로 생성되는 벡터공간의 차원이 잘 정의된다는 것은 보통의 선형대수학 교재에 아주 잘 소개되어 있으므로 여기서는 생략하고, 이 글에서는 유한집합으로 생성되지 않는 벡터공간, 즉 무한차원벡터공간의 차원이 잘 정의되는 것을 살펴본다. 이 글은 참고문헌 [1]의 제9장 2절의 내용을 바탕으로 작성하였다. Invariance of Dimensionality 체 \(\mathbb{F}\) 위의 벡터공간 \(V\)가 주어졌을 때, (선택공리를 가정했을 때) \(V\)의 기저가 존재함을 알고 있다. 여기서는 \(\mathcal{B}\)와 \(\mathcal{C}\)가 모두 \(V\)의 기저일 때, \(\mathcal{B}\)와 \(\mathcal{C}\) 사이에는 일대일 …
집합을 공부할 때 도움이 되도록 집합의 성질을 증명하는 예제와 풀이를 모았습니다. 모든 예제와 풀이에서 \(U\)는 공집합이 아닌 전체집합을 나타내며, \(A,\) \(B,\) \(C\)는 \(U\)의 부분집합을 나타냅니다. 또한 \(\varnothing\)은 공집합을 나타내며, \(P(A)\)는 \(A\)의 멱집합을 나타냅니다. \(C\)가 윗첨자로 쓰였을 때는 여집합을 나타냅니다. 예제 1. 공집합이 임의의 집합의 부분집합임을 증명하시오. 풀이 \(\varnothing\)이 공집합이고 \(A\)가 임의의 집합이라고 하자. 이제 임의의 원소 \(x\)에 대하여 다음 조건부 명제가 참임을 보여야 한다. \[x\in \varnothing \quad \rightarrow \quad x\in A\] 그런데 \(x\in \varnothing\)은 항상 거짓이므로, 위 조건부 명제의 가정이 …
이 글에서는 포함-배제의 원리를 일반적이고 명확하게 기술해보고 포함-배제 원리의 산뜻한 증명을 시도해 본다. 이 글에서 소개한 산뜻한 증명은 참고문헌 [1]을 바탕으로 작성한 것이다. 포함-배제의 원리를 산뜻하게 기술하기 학교수학에서는 포함-배제의 원리를 다음과 같이 소개하곤 한다. 포함-배제의 원리(중,고등학교 버전) 유한개의 원소를 갖는 집합 \(A, B\)에 대하여 \[ \vert A\cup B\vert=\vert A\vert +\vert B\vert – \vert A\cap B\vert\] 가 성립한다. 또한 유한개의 원소를 갖는 집합 \(A, B, C\)에 대하여 \[\vert A\cup B\cup C\vert=\vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert-\vert A\cap B\vert-\vert B\cap C\vert-\vert C\cap A\vert+\vert A\cap …