이란의 전통 월별 상환금 계산 방법
글쓴이: 페이만 밀란파(Peyman Milanfar)
옮긴이: 이슬비(designeralice＠daum.net)
최근에 나는 대출 금액의 월별 상환금을 추정하는 매우 빠르고 효과적인 방법을 배웠다. 이 방법은 아버지께서 가르쳐 주셨는데, 아버지께서는 19세기 이란에서 무역을 하셨던 할아버지로부터 배우셨다고 한다. 이 공식이 처음 만들어진 기원은 미스테리이지만, 이 방법은 이란을 포함한 많은 지역에서 사용되고 있다.
아버지께서 알려주신 공식은 다음과 같다. \[(\text{월별 상환금}) = \frac{1}{(\text{월수})} [(\text{원금}) + (\text{이자})].\] 여기서 이자는 다음과 같이 계산한다. \[(\text{이자}) = \frac{1}{2} (\text{원금}) \times (\text{연수}) \times (\text{연간이자율}).\] 월별 상환금의 참값을 \(C\)라고 두면, 여러 금융 교과서에서 \(C\)를 구하는 다음과 같은 공식을 찾을 수 있다. \[C = \frac{r(1+r)^N P}{ (1+r)^N - 1 }.\tag{1}\] 여기서 \(r\)은 월 이자율(연간 이자율의 1/12), \(N\)은 총 월 수, \(P\)는 원금이다. 이 표기법을 사용하면, 앞서 소개한 상환금의 전통적인 근삿값 공식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ C_f = \frac{1}{N} \left( P + \frac{1}{2} PNr \right) .\tag{2}\] 꽤 많은 경우 \(C_f\)는 \(C\)에 대해 놀랍도록 좋은 근사값이다. 예를 들어, 4년짜리 대출금 1백만 원에 대해 연간 이자율을 7%로, 월별 복리로 계산할 때, 정확한 월별 상환금은 23,946원이며, 전통적인 근삿값은 23,750원이다.
이와 같은 공식 (2)가 (1)의 근삿값 공식으로서 잘 작동하는 이유를 살펴보자. \(C\)를 \(r\)의 함수로 간주하고, 다른 모든 값은 상수라고 하자. (식 (1)에서 \(r=0\)일 때의 함숫값은 \(r\rightarrow 0\)일 때의 극한값인 \(P/N\)로 대체되며, 이 값은 이자율이 \(0\)일 때의 균등상환금과 일치한다.) 함수 \(C(r)\)의 1차 맥클라린 다항식(중심이 \(0\)인 테일러 다항식)은 다음과 같다. \[ C(r) \approx \frac{1}{N} \left( P + \frac{1}{2} P(N+1)r \right) .\tag{3}\] 여기서 우변은 \(C_f\)의 정의와 매우 유사하다. \(P\)가 고정된 상수이고 \(r\)이 충분히 \(0\)에 가까우며 \(N\)이 충분히 클 경우, 식 (2)와 (3) 사이의 차이는 \(0\)에 가까워 진다.
원문: A Persian Folk Method of Figuring Interest.pdf
출처: Peyman Milanfar (1996) A Persian Folk Method of Figuring Interest, Mathematics Magazine, 69:5, 376-376, DOI: 10.1080/0025570X.1996.11996479