함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x) > 0\)일 때, \(x\)축과 \(y=f(x)\)의 그래프, 그리고 두 직선 \(x=a,\) \(x=b\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 정적분이라고 부른다. 이와 같은 정의는 직관적인 정의이며 연속함수에 대해서만 정의되므로 대단히 협소하다.
이 포스트에서는 리만 적분을 엄밀하게 정의하고, 적분 가능성과 정적분의 성질을 살펴본다.
구분구적법
\(I = [a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되었다고 하자. 그리고 자연수 \(n\)에 대하여 \[x_i = a + \frac{b-a}{n} i \,\,\, (i = 0,\,1,\,2,\,\cdots,\,n) \] 이라고 하자. 이때 점 \(x_i\)들에 의하여 구간 \([a,\,b]\)는 길이가 같은 \(n\)개의 소구간 \[[x_0 ,\, x_1 ] ,\, [x_1 ,\, x_2] ,\, \cdots ,\, [x_{n-1} ,\, x_n ]\] 으로 쪼개어 진다. \(i\)번째 소구간의 길이를 \(\Delta x_i\)로 나타내자. 그러면 임의의 \(i\)에 대하여 \[\Delta x_i = x_i - x_{i-1} = \frac{b-a}{n} \quad (i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\] 이다. 만약 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 함숫값이 모두 양수라면, \(f \left( x_i \right) \Delta x_i\)는 가로의 길이가 \(\Delta x_i\)이고 세로의 길이가 \(f \left( x_i \right)\)인 직사각형 조각의 넓이가 된다.
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고, \(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)축, 그리고 두 직선 \(x=a,\) \(x=b\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\)라고 하자. 직사각형 조각들의 넓이의 합 \[\sum_{i=1}^{n} f\left( x_i \right) \Delta x_i\tag{1}\] 는 \(n\)의 값이 클수록 \(A\)에 가까워진다. 이러한 관점에서 극한 \[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f\left( x_i \right) \Delta x_i\tag{2}\] 를 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 정적분이라고 부르고 \[\int_a^b f(x)\,dx\] 로 나타낸다. 이러한 방법으로 \([a,\,b]\)에서 연속함수 \(f\)의 정적분을 정의한 것을 구분구적법이라고 부른다.
구분구적법으로 정적분을 정의하면 연속이 아닌 함수의 적분 가능성을 논리적으로 판별하기 어렵다는 단점이 있다. 예컨대 \[f(x) = \begin{cases} 1 \quad &\text{if} \,\,\, x \in \mathbb{Q} \\[6pt] 0 \quad &\text{if} \,\,\, x \notin \mathbb{Q} \end{cases}\] 이고 \([a,\,b] = [2,\,5]\)라고 하면 \[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f\left( x_i \right) \Delta x_i = 3\] 이지만 \(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)축 사이의 넓이는 정의되지 않는다. [설령 측도의 개념을 도입하여 넓이의 개념을 확장한다 하더라도, 유리수 집합의 길이는 \(0\)이므로 \(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)축 사이의 넓이는 \(0\)이다.]
그러므로 더 일반적인 함수의 적분을 다룰 수 있는 정의를 도입해야 한다.
리만 적분
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이라고 하자. 만약 점 \(x_i\)들이 \[a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b\] 를 만족시키면 집합 \[P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\] 을 \([a,\,b]\)의 분할(partition)이라고 부른다. 분할 \(P\)에 의하여 \([a,\,b]\)는 \(n\)개의 소구간(subinterval) \[[x_0 ,\, x_1 ] ,\,\, [x_1 ,\,x_2 ],\,\, \cdots ,\,\, [x_{n-1} ,\, x_n ] \] 으로 쪼개어 진다. \(i\)번째 소구간의 길이를 \(\Delta x_i\)로 나타낸다. 즉 \[\Delta x_i = x_i - x_{i-1} \quad (i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\] 이다. 각 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)에서 점 \(\xi_i\)를 하나씩 택하여 유한수열 \[\xi = \left\{ \xi _1 ,\, \xi_2 ,\, \cdots ,\, \xi_n \right\}\] 을 구성할 수 있다. 이 수열 \(\xi\)를 표집수열(sample)이라고 부른다. 이때 \[S ( f,\,P,\,\xi ) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i ) \Delta x_i \tag{3}\] 를 ‘분할 \(P\)와 표집수열 \(\xi\)에 의한 \(f\)의 리만 합(Riemann sum)’이라고 부른다. (3)을 \[\sum_{ P } f\left( \xi_i \right) \Delta x_i \] 와 같이 나타내기도 한다.
만약 \(a\le x \le b\)의 범위에서 \(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)축 사이의 넓이가 존재하고 그 값이 \(A\)라면, 분할 \(P\)에 의한 소구간의 길이가 작을수록 리만합 (3)의 값은 \(A\)에 가까워질 것이다. 그러나 한 구간 내에서 소구간의 길이는 하나가 아니다. 그러므로 분할의 소구간의 길이를 대표할 수 있는 값이 필요하다.
\(P = \left\{ x_0,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\)이 \([a,\,b]\)의 분할일 때 \(P\)에 의해 만들어진 소구간의 길이 중 가장 큰 값을 \(P\)의 노름(norm) 또는 기준길이라고 부르고 \(\lVert P \rVert\)로 나타낸다. 즉 \[\lVert P \rVert = \max \left\{ \Delta x_i \,\vert\, i = 1,\,2,\, \cdots ,\, n\right\}\] 이다.
적분을 정확하게 정의하기 위하여 몇 가지 용어와 기호를 더 정의하자. 구간 \([a,\,b]\)의 모든 분할의 모임을 \(\mathcal{P}([a,\,b])\)로 나타내자. 그리고 분할 \(P\)에 의하여 만들어진 소구간에서 한 점씩 택하여 만든 모든 유한수열의 모임을 \(\mathcal{S}(P)\)로 나타내자. [이러한 표기법은 책마다 다르다.]
구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)의 노름 \(\lVert P \rVert\)가 작아지면 \(P\)에 의하여 만들어진 모든 소구간의 길이가 작아진다. 그러므로 한 소구간에서 택할 수 있는 점이 놓일 수 있는 범위 또한 작아진다. 그러므로 \(\lVert P \rVert\)가 \(0\)에 한 없이 가까워질 때 표집수열을 어느것을 택하든 상관 없이 리만 합 \(S(f,\,P,\,\xi)\)가 일정한 값에 가까워지는 경우를 생각할 수 있다.
정의 1. (리만 합의 극한)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의된 함수이며 \(J\)가 실수라고 하자. 만약 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(\lVert P \rVert < \delta\)인 모든 분할 \(P \in \mathcal{P}([a,\,b])\)와 모든 표집수열 \(\xi \in \mathcal{S}(P)\)에 대하여 \[\lvert S(f,\,P,\,\xi ) - J \rvert < \epsilon\] 이 성립하면 ‘\(\lVert P \rVert \to 0\)일 때 \(S(f,\,P,\,\xi )\)는 \(J\)에 수렴한다’라고 말하고, 기호로는 \[\lim_{\lVert P \rVert \to 0} S(f,\,P,\,\xi ) = J\tag{4}\] 로 나타낸다. 여기서 표집수열 \(\xi\)는 극한값 \(J\)에 영향을 끼치지 않으므로, (4)를 간단히 \[\lim_{\lVert P \rVert \to 0} S(f,\,P ) = J\tag{5}\] 로 나타내기도 하며, \[\lim_{\lVert P \rVert \to 0} \sum_{P} f\left(\xi_i \right) \Delta x_i =J\tag{6}\] 로 나타내기도 한다.
이제 비로소 리만 적분을 정의할 수 있다.
정의 2. (리만 적분)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의된 함수라고 하자. 만약 실수 \(J\)가 존재하여 \[\lim_{\lVert P \rVert \to 0} \sum_{P} f\left(\xi_i \right) \Delta x_i =J\tag{7}\] 를 만족시키면 ‘\(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능하다’라고 말하고 \(J\)를 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 리만 적분(Riemann integral) 또는 정적분(definite integral) 또는 적분값이라고 부른다. 이 상황을 기호로는 \[\int_a^b f(x) \,dx = J\] 로 나타낸다. 만약 (7)을 만족시키는 실수 \(J\)가 존재하지 않으면 ‘\(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 불가능하다’라고 말한다.
이와 같이 정의된 적분은 구분구적법에 비하여 더 넓은 범위의 함수의 적분 가능성을 판별할 수 있게 해준다.
예제 1. 구간 \([2,\,5]\)에서 다음 함수의 리만 적분 가능성을 판별하시오. \[f(x) = \begin{cases} 1 \quad &\text{if} \,\,\, x \in \mathbb{Q} \\[6pt] 0 \quad &\text{if} \,\,\, x \notin \mathbb{Q} \end{cases}\]
풀이. 주어진 함수 \(f\)가 \([2,\,5]\)에서 리만 적분 가능하다고 가정하자. 그리고 그 적분값을 \(J\)라고 하자.
만약 \(J > 0\)이라면 \(\epsilon = J\)라고 하자. 그리고 \(\delta > 0\)가 임의로 주어졌다고 하자. \(n > 3/\delta\)인 자연수 \(n\)을 택하고 \[x_i = 2 + \frac{3i}{n} ,\,\, i=0,\,1,\,2,\,\cdots,\,n\] 이라고 하면 \(P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\)은 \([2,\,5]\)의 분할이며 \(\lVert P \rVert < \delta\)이다. \(P\)에 의하여 만들어진 각 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)에서 무리수 \(\xi_i\)를 하나씩 택하여 수열 \(\xi = \left\{ \xi_i \right\}\)를 만들자. 그러면 \[S(f,\,P,\,\xi ) = \sum_{i=1}^n f(\xi _i ) \Delta x_i = \sum_{i=1}^n 0 \cdot \Delta x_i = 0\] 이므로 \[\lvert S(f,\,P,\,\xi ) - J \rvert = J \ge \epsilon\] 이다. 즉 아무리 작은 \(\delta > 0\)가 주어진다 하더라도 리만 합과 \(J\)의 차이가 \(\epsilon\)보다 작아지지 못하므로 \(J\)는 \(f\)의 리만 적분값이 아니다.
이번에는 \(J \le 0\)인 경우를 살펴보자. \(\epsilon = 1\)이라고 하고 \(\delta > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(n > 3/\delta\)인 자연수 \(n\)을 택하고 앞에서와 같은 방법으로 분할 \(P\)를 잡은 후 각 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)에서 유리수 \(\xi_i\)를 하나씩 택하여 수열 \(\xi = \left\{ \xi_i \right\}\)를 만들자. 그러면 \[S(f,\,P,\,\xi ) = \sum_{i=1}^n f(\xi _i ) \Delta x_i \ge \sum_{i=1}^n 1 \cdot \frac{3}{n} = 3\] 이므로 \[\lvert S(f,\,P,\,\xi ) - J \rvert = \lvert 3-J \rvert = 3-J \ge \epsilon\] 이다. 이번에도 마찬가지로 아무리 작은 \(\delta > 0\)가 주어진다 하더라도 리만 합과 \(J\)의 차이가 \(\epsilon\)보다 작아지지 못한다. 즉 \(J\)는 \(f\)의 리만 적분값이 아니다.
요컨대 어떠한 실수라도 \(f\)의 리만 적분값이 될 수 없으므로 \(f\)는 \([2,\,5]\)에서 리만 적분 불가능하다.
하지만 정의 2만 사용하여 함수의 적분 가능성을 판별하는 것은 상당히 복잡하다. 왜냐하면 정의 2를 사용하여 적분 가능성을 판별하기 위해서는 적분값 \(J\)가 있어야 하기 때문이다. 그러므로 적분 가능성을 더 쉽게 판별할 수 있는 방법이 필요하다.
다르부 적분
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의된 ‘유계인’ 함수라고 하자. 또한 \[P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\]이 \([a,\,b]\)의 분할이라고 하자. 각 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)에서 \(f\)의 상한을 \(M_i (f,\,P)\)로 표기하고, \(f\)의 하한을 \(m_i (f,\,P)\)로 표기한다. 즉 \[ \begin{align} M_i (f,\,P) &= \sup \left\{ f(x) \,\vert\, x\in [ x_{i-1} ,\, x_i ] \right\} ,\\[8pt] m_i (f,\,P) &= \inf \left\{ f(x) \,\vert\, x\in [ x_{i-1} ,\, x_i ] \right\} \end{align}\] 이다. 문맥상 함수 \(f\)와 분할 \(P\)가 명확할 경우 \(M_i (f,\,P)\)와 \(m_i (f,\,P)\)를 각각 간단하게 \(M_i\)와 \(m_i\)로 나타내기도 한다. 이때 \[\begin{align} U (f,\,P) &= \sum_{P} M_i \Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i ,\\[8pt] L (f,\,P) &= \sum_{P} m_i \Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i \end{align}\] 를 각각 \([a,\,b]\)에서 \(P\)에 의한 \(f\)의 상합(upper sum), \([a,\,b]\)에서 \(P\)에 의한 \(f\)의 하합(lower sum)이라고 부른다.
\(P_1\)과 \(P_2\)가 모두 \([a,\,b]\)의 분할이고 \(P_1 \subseteq P_2\)라고 하자. 그러면 \(P_2\)에 의해 만들어진 소구간의 길이는 \(P_1\)에 의해 만들어진 소구간의 길이 이하이다. 이러한 관점에서 \(P_1 \subseteq P_2\)일 때 \(P_2\)를 \(P_1\)의 세련분할(refinement)이라고 부른다.
함수 \(f\)가 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)에서 정의되어 있고 이 구간에서 유계라고 하자. 그리고 \(x_{i-1} < y_i < x_i \)라고 하자. 그러면 \[\sup_{x_{i-1} \le x \le x_i} f(x) \cdot (x_i - x_{i-1}) \ge \sup_{x_{i-1} \le x \le y_i} f(x) \cdot (y_i - x_{i-1}) + \sup_{y_i \le x \le x_i} f(x) \cdot (x_i - y_i)\] 이므로, \(P_1 \subseteq P_2\)일 때 \(U(f,\,P_1 ) \ge U(f,\,P_2 )\)이다. 마찬가지로 \[\inf_{x_{i-1} \le x \le x_i} f(x) \cdot (x_i - x_{i-1}) \le \inf_{x_{i-1} \le x \le y_i} f(x) \cdot (y_i - x_{i-1}) + \inf_{y_i \le x \le x_i} f(x) \cdot (x_i - y_i)\] 이므로, \(P_1 \subseteq P_2\)일 때 \(L(f,\,P_1 ) \le L(f,\,P_2 )\)이다. 요컨대 분할을 세련할 수록 상합은 작아지고 하합은 커진다.
\(P_1\)과 \(P_2\)가 모두 \([a,\,b]\)의 분할이고 \(P_3 \supseteq P_1 \cup P_2\)이면 \(P_3\)은 \(P_1\)의 세련분할이면서 \(P_2\)의 세련분할이다. 이러한 분할 \(P_3\)을 \(P_1\)과 \(P_2\)의 공통세련분할이라고 부른다. 이때 \[L(f,\,P_1 ) \le L(f,\,P_3 ) \le U(f,\,P_3 ) \le U(f,\,P_2 )\] 이므로, 구간 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 임의의 상합은 임의의 하합보다 크거나 또는 둘이 같다. 그러므로 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 상합들의 모임은 아래로 유계이며, \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 하합들의 모임은 아래로 유계이다. 분할 \(P\)를 변수로 했을 때, \(f\)의 상합의 하한을 \(f\)의 상적분이라고 부르며, \(f\)의 하합의 상한을 \(f\)의 하적분이라고 부른다. 즉 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 상적분(upper integral)은 \[\overline{\int_a^b} f(x) \,dx = \inf \left\{ U(f,\,P) \,\vert\, P \in \mathcal{P}([a,\,b])\right\}\] 로 정의되며, \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 하적분(lower integral)은 \[\underline{\int_a^b} f(x) \,dx = \sup \left\{ L(f,\,P) \,\vert\, P \in \mathcal{P}([a,\,b])\right\}\] 로 정의된다.
정의 3. (다르부 적분)
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되어 있고, 이 구간에서 유계라고 하자. 만약 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 상적분과 하적분이 같으면, 즉 \[\overline{\int_a^b} f(x) \,dx = \underline{\int_a^b} f(x)\,dx\] 이면 ‘\(f\)는 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능하다’라고 말하고, 이때 상적분값을 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 다르부 적분값이라고 부른다. 다르부 적분을 리만 적분과 마찬가지로 \[\int_a^b f(x)\,dx\] 로 나타낸다. 즉 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능할 때 \[ \int_a^b f(x)\,dx = \overline{\int_a^b} f(x) \,dx = \underline{\int_a^b} f(x)\,dx \] 이다.
다르부 적분과 리만 적분을 같은 기호로 나타내는 이유는 사실 유계인 함수에 대하여 다르부 적분과 리만 적분이 동치이기 때문이다.
정리 1. (리만 판정법)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되어 있으며 이 구간에서 유계라고 하자. 이때 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능할 필요충분조건은 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 분할 \(P\)가 존재하여 \[U(f,\,P) - L(f,\,P) < \epsilon\tag{8}\] 을 만족시키는 것이다.
증명
\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능하다고 하고 적분값을 \(J\)라고 하자. \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 정의 3에 의하여 \[\overline{\int_a^b} f(x)\,dx = J\] 이므로 하한의 성질에 의하여 \[J \le U(f,\,P_1) < J + \frac{\epsilon}{2}\tag{9}\] 인 분할 \(P_1\)이 존재한다. 마찬가지로 상한의 성질에 의하여 \[J - \frac{\epsilon}{2} < L(f,\,P_2) \le J\tag{10}\] 인 분할 \(P_2\)가 존재한다. \(P = P_1 \cup P_2\)라고 하면 \(P\)는 \([a,\,b]\)의 분할이고, (9)와 (10)에 의하여 \[U(f,\,P) - L(f,\,P) \le U(f,\,P_2 ) + L(f,\,P_1 ) < \epsilon\] 이다.
이제 역을 증명하자. 즉 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 분할 \(P\)가 존재하여 (8)을 만족시킨다고 가정하자. 그러면 \[0 \le \overline{\int_a^b} f(x)\,dx - \underline{\int_a^b}f(x)\,dx \le U(f,\,P) - L(f,\,P) < \epsilon\] 이고, \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 \[ \overline{\int_a^b} f(x)\,dx = \underline{\int_a^b}f(x)\,dx \] 이다. 그러므로 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능하다.
리만 판정법의 장점은 적분값 \(J\)를 알지 못하더라도 주어진 함수가 적분 가능한지 판별할 수 있다는 것이다.
예제 2. \([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의된 함수라고 하자. 만약 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 단조함수이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능함을 보이시오.
풀이. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 증가함수인 경우만 증명해도 충분하다. [왜냐하면, 만약 \(f\)가 감소함수라면 \(-f\)는 증가함수이기 때문이다.] 또한 \(f(a) < f(b)\)인 경우만 증명하면 충분하다. [왜냐하면, 만약 \(f(a) \ge f(b)\)라면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 상수함수가 되기 때문이다.]
\(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \([a,\,b]\)의 분할 중에서 \(\lVert P \rVert < \epsilon /(b-a)\)인 분할 \(P\)를 택하자. 그러면 각 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)에서 \[\begin{gather} M_i = f(x_i ) ,\,\, m_i = f(x_{i-1} ) ,\\[8pt] f(x_0) = f(a) ,\,\, f(x_n) = f(b) \end{gather}\] 이므로 \[\begin{align} U (f,\,P) - L(f,\,P) &= \sum_{i=1}^n (M_i - m_i ) \Delta x_i \\[6pt] &= \sum_{i=1}^n (f(x_i ) - f(x_{i-1} ))\Delta x_i \\[6pt] &\le \sum_{i=1}^n (f(x_i ) - f(x_{i-1} )) \lVert P \rVert \\[6pt] &= (f(b) - f(a)) \lVert P \rVert < \epsilon \end{align}\] 이다. 그러므로 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능하다.
리만 적분과 다르부 적분의 관계
이제 리만 적분과 다르부 적분의 관계를 살펴보자. 먼저 다르부 적분 가능할 필요충분조건을 살펴보고, 그것이 결국 리만 적분 가능성과 필요충분조건임을 밝힐 것이다.
먼저 리만 합을 이용하여 다르부 적분과 동치인 적분을 정의할 수 있다.
정리 2. (세련분할을 이용한 리만 합의 극한)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되어 있으며 이 구간에서 유계라고 하자. 이때 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능할 필요충분조건은 실수 \(J\)가 존재하여, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 분할 \(P_\epsilon\)이 존재하여 \(P\supseteq P_\epsilon\)인 임의의 분할 \(P\)와 모든 표집수열 \(\xi \in \mathcal{S}(P)\)에 대하여 \[\lvert S(f,\,P,\,\xi ) - J \rvert < \epsilon\] 이 성립하는 것이다. 이때 \(J\)는 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 다르부 적분값이 된다.
증명
\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능하다고 하고 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 다르부 적분값을 \(J\)라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 리만 판정법에 의하여 \([a,\,b]\)의 분할 \(P_\epsilon\)이 존재하여 \[J - \epsilon < L(f,\,P_\epsilon ) \quad \text{and} \quad U(f,\,P_\epsilon ) < J + \epsilon\] 을 만족시킨다. \(P\)가 \(P_\epsilon\)의 세련분할이고 \(\xi\in\mathcal{S}(P)\)이면 \[J - \epsilon < L(f,\,P_\epsilon ) \le (f,\,P) \le S(f,\,P,\,\xi ) \le U(f,\,P) \le U(f,\,P_\epsilon ) < J + \epsilon\] 이므로 \(\lvert S(f,\,P,\,\xi ) - J \rvert < \epsilon\)이 성립한다.
이제 역을 증명하자. \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)가 존재하여 임의의 \(\xi \in \mathcal{S}(P)\)에 대하여 \[\lvert S(f,\,P,\,\xi ) - J \rvert < \frac{\epsilon}{3} \tag{11}\] 을 만족시킨다. \(P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\)이라고 하자. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계이므로 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)에 점 \(t_i ,\) \(u_i \)가 존재하여 \[f(t_i ) - f(u_i ) > M_i (f,\,P) - m_i (f,\,P) - \frac{\epsilon}{3(b-a)}\] 을 만족시킨다. 따라서 (11)에 의하여 \[\begin{align} U(f,\,P) &- L(f,\,P) = \sum_{i=1}^n (M_i - m_i ) \Delta x_i \\[6pt] & < \sum_{i=1}^n (f(t_i ) - f(u_i ))\Delta x_i + \frac{\epsilon}{3(b-a)} \sum_{i=1}^n \Delta x_i \\[6pt] &\le \left\lvert \sum_{i=1}^n f(t_i ) \Delta x_i - J \right\rvert + \left\lvert J - \sum_{i=1}^n f(u_i ) \Delta x_i \right\rvert + \frac{\epsilon}{3(b-a)} \sum_{i=1}^n \Delta x_i \\[6pt] & < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon \end{align}\] 이다. 그러므로 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능하다.
다음 정리는 리만 적분과 다르부 적분의 관계를 설명한다.
정리 3. (리만 적분과 다르부 적분의 관계)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되어 있으며 이 구간에서 유계라고 하자. 이때 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능한 것이다. 이때 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 리만 적분값과 다르부 적분값은 일치한다.
증명
\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능하고 \(f\)의 리만 적분값이 \(J\)라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 정의 1을 만족시키는 \(\delta > 0\)이 존재한다. \(\lVert P_\epsilon \rVert < \delta\)인 \([a,\,b]\)의 분할 \(P_\epsilon\)을 택하자. 그리고 \(P\)가 \(P_\epsilon\)의 세련분할이라고 하자. 세련분할의 노름은 본래의 분할의 노름 이하이므로 \(\lVert P \rVert < \delta\)이다. 그런데 \(f\)가 리만 적분 가능하므로 임의의 \(\xi \in \mathcal{S}(P)\)에 대하여 \(\lvert S(f,\,P,\,\xi ) - J \rvert < \epsilon\)이 성립한다. 즉 \(P_\epsilon\)의 임의의 세련분할 \(P\)와 표집수열 \(\xi\)에 대하여 \(\lvert S(f,\,P,\,\xi ) - J \rvert < \epsilon\)이므로 정리 2에 의하여 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능하다.
이제 역을 증명하자. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능하고 \(f\)의 다르부 적분값이 \(J\)라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 리만 판정법에 의하여 \([a,\,b]\)의 분할 \[P_1 = \left\{ y_0 ,\, y_1 ,\, \cdots ,\, y_m \right\}\] 이 존재하여 \[J - \frac{\epsilon}{4} < L(f,\,P_1 ) \le J \le U(f,\,P_1 ) < J + \frac{\epsilon}{4}\] 을 만족시킨다. \([a,\,b]\)에서 \(\lvert f \rvert\)의 상한을 \(M\)이라고 하자. 일반성을 잃지 않고 \(M > 0\)이고 \(m \ge 2\)라고 하자. 그리고 \[0 < \delta < \min \left\{ \frac{\epsilon}{2M(m-1)} ,\, \Delta y_1 ,\, \Delta y_2 ,\, \cdots ,\, \Delta y_m \right\}\] 을 만족시키는 \(\delta\)를 택하자.
이제 \(P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\)이 \([a,\,b]\)의 분할이고 \(\lVert P \rVert < \delta\)를 만족시킨다고 하자. 그리고 \(\xi \in \mathcal{S}(P)\)라고 하자.
\(P\)에 의하여 만들어진 한 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)가 임의로 주어졌다고 하자.
만약 \([x_{i-1} ,\, x_i ] \subseteq [y_{j-1} ,\, y_j ]\)라면, 즉 \([x_{i-1} ,\, x_i]\)가 \(P_1\)의 한 소구간에 포함된다면, \[m_j = \inf f(x) ,\,\, M_j = \sup f(x) ,\,\, x\in [y_{j-1} ,\, y_j ] ,\,\, \xi_i \in [x_{i-1} ,\, x_i]\] 에 대하여 \[m_j \le f(\xi_i ) \le M_j\] 가 성립한다.
만약 \([x_{i-1} ,\, x_i]\)가 \(P_1\)의 한 소구간에 포함되지 않는다면 \([x_{i-1} ,\, x_i]\)는 \(P_1\)의 두 개의 소구간에 포함된다. \(\delta\)가 충분히 작으므로 \([x_{i-1} ,\, x_i]\)가 \(P_1\)의 세 개의 소구간에 걸쳐있지는 않는다. 즉 \[y_{j-1} < x_{i-1} < y_j < x_i < y_{j+1}\] 이다. 이러한 상황은 많아야 \((m-1)\)번 발생한다. 한편 \[f(\xi_i ) (x_i - x_{i-1}) = f(\xi_i )(x_i -y_j ) + f(\xi_i )(y_j - x_{i-1})\] 이므로, \(\xi_i \in [x_{i-1} ,\, y_j ]\)일 때에는 \(m_j \le f(\xi_i ) \le M_j\)이고, \(\xi_i \in [ y_j ,\, x_i ]\)일 때에는 \[f(\xi_i ) (x_i - y_j ) < f(\xi_i ) \delta < \frac{f(\xi_i )\epsilon}{2M(m-1)} \le \frac{\epsilon}{2(m-1)}\] 이 성립하는데, 이것은 많아야 \((m-1)\)번 발생한다. 따라서 이러한 차들의 합은 \(\epsilon / 2\)보다 작다. 이로써 \(\xi = \left\{ \xi_i \right\}\)에 대하여 \[\lvert S(f,\,P,\, \xi ) - J \rvert \le (U(f,\,P_1 ) - L(f,\,P_1 )) + \frac{\epsilon}{2} < \epsilon\] 이 성립한다.
이로써 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계일 때 다음 네 진술은 모두 동치이다.
- \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능하다. (정의 2)
- \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 다르부 적분 가능하다. (정의 3)
- \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 상합과 하합의 차가 임의로 작아지도록 할 수 있다. (리만 판정법, 정리 1)
- \([a,\,b]\)에서 세련분할에 의한 \(f\)의 리만 합의 극한이 수렴한다. (정리 2)
만약 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계가 아니라면 어떠할까? 먼저 다르부 적분은 \(f\)가 유계인 경우에만 정의했으므로, \(f\)가 유계가 아닌 경우에 다르부 적분은 정의되지 않는다. 한편 \(f\)가 유계가 아닌 경우 리만 적분 가능성은 다음과 같다.
정리 4. (유계가 아닌 함수의 리만 적분)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되어 있다고 하자. 만약 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계가 아니면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 불가능하다.
증명
\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 위로 유계가 아닌 경우만 증명해도 충분하다. [왜냐하면, 만약 \(f\)가 이 구간에서 위로 유계이고 아래로 유계가 아니라면 \(-f\)는 위로 유계가 아닌 함수가 되기 때문이다.]
\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 위로 유계가 아니므로 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(f(c_n ) > n\)인 점 \(c_n\)이 \((a,\,b)\)에 존재한다. \(\left\{ c_n \right\}\)은 유계인 수열이므로 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여 수렴하는 부분수열 \(\left\{ c_{n_k} \right\}\)가 존재한다. 이 부분수열의 극한을 \(c\)라고 하자.
결론에 반하여 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능하다고 가정하자. 그리고 리만 적분값을 \(J\)라고 하자. 이제 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 적분값이 \(J\)가 될 수 없음을 보일 것이다. \(\epsilon = 1\)이라고 하고 \(\delta > 0\)가 임의로 주어졌다고 하자. \(a < c < b\)인 경우, \(\lVert P \rVert < \delta\)이면서 \(c\)가 \(P\)에 의해 만들어진 한 소구간의 안쪽에 놓이도록 분할 \[P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\] 을 구성할 수 있다. \(c = a\)이거나 \(c = b\)인 경우, 그냥 \(\lVert P \rVert < \delta\)인 분할 \(P\)를 구성한다. 그러면 \(c\)는 \(P\)의 소구간 중 단 하나에만 속한다. 그 소구간을 \([x_{j-1} ,\, x_j ]\)라고 하자.
\(i \ne j\)인 경우, 각 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)에서 점 \(\xi_i\)를 아무거나 하나씩 택한다. 그러면 \[\sum_{i\ne j} f(\xi_i ) \Delta x_i - J\] 는 유한인 값이다. \(c \in [x_{j-1} ,\, x_j ]\)이고, \(k\,\to\,\infty\)일 때 \(c_{n_k} \,\to\,c\)이며 \(f(c_{n_k}) \,\to\, \infty\)이고, \(\left\{c_{n_k}\right\}\)의 항 중에서 무수히 많은 항이 \([x_{j-1} ,\, x_j ]\)에 속하므로, 소구간 \([x_{j-1} ,\, x_j ]\)에 속하는 점 \(\xi_j\) 중에서 \[f(\xi_j ) \Delta x_j + \sum_{i\ne j} f(\xi_i ) \Delta x_i - J > 1\] 이 되도록 하는 것이 존재한다. [사실은 \(c_{n_k}\) 중 \(c\)에 충분히 가까운 항을 택하여 \(\xi_j\)로 두면 된다.] 이제 \(i=1,\,2,\,\cdots,\,n\)에 대하여 \(\xi_i\)가 정의되었다. \(\xi = \left\{ \xi_i \right\}\)라고 하자. 그러면 \[\begin{align} \left\lvert S(f,\,P,\,\xi ) - J \right\rvert &= \left\lvert \sum_{i=1}^n f(\xi_j ) \Delta x_j - J \right\rvert \\[6pt] &= f(\xi_j ) \Delta x_j + \sum_{i\ne j} f(\xi_i ) \Delta x_i - J > \epsilon \end{align}\] 이다. 즉 \(\lVert P \rVert < \delta\)인 분할 \(P\)를 택했음에도 불구하고 리만 합과 \(J\)의 차이는 \(1\)보다 작아지지 않는다. 그러므로 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 불가능하다.
그러므로 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계가 아닌 경우 \(f\)의 적분 가능성은 리만 적분에서든 다르부 적분에서든 다룰 필요가 없다. 따라서 지금부터는 리만 적분과 다르부 적분을 구분하지 않고 모두 리만 적분이라고 부르자. 만세!
적분 가능성과 관련된 몇 가지 예제
이제 우리는 주어진 함수가 리만 적분 가능한지 판별할 때 리만 적분의 정의, 다르부 적분의 정의, 리만 판정법 중 원하는 것을 자유롭게 택하여 사용할 수 있다.
정리 5. (연속함수의 적분 가능성)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의된 함수라고 하자. 만약 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다.
증명
리만 판정법을 이용하여 증명하자. \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \([a,\,b]\)가 닫힌 구간이므로 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 균등연속이다. 따라서 \(\delta > 0\)가 존재하여 \([a,\,b]\)에 속하는 임의의 점 \(s\)와 \(t\)에 대하여 \[\lvert s - t \rvert < \delta \quad \Rightarrow \quad \lvert f(s) - f(t) \rvert < \frac{\epsilon}{b-a} \tag{12}\] 을 만족시킨다. \(\lVert P \rVert < \delta\)인 \([a,\,b]\)의 분할 \[P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\] 을 택하자. \(P\)의 각 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)는 닫힌 구간이므로 \(f\)는 이 소구간에서 연속이므로 최댓값과 최솟값을 가진다. 즉 이 소구간의 두 점 \(s_i\)와 \(t_i\)가 존재하여 \[\begin{align} f(s_i ) &= \max \left\{ f(x) \,\vert\, x\in [x_{i-1} ,\, x_i ] \right\} = M_i (f,\, P) \\[8pt] f(t_i ) &= \min \left\{ f(x) \,\vert\, x\in [x_{i-1} ,\, x_i ] \right\} = m_i (f,\, P) \end{align}\] 를 만족시킨다. 그런데 \(\lvert s_i - t_i \rvert < \delta\)이므로 (12)에 의하여 \[\lvert M_i (f,\,P) - m_i (f,\,P) \rvert = \lvert f(s_i ) -f(t_i ) \rvert < \frac{\epsilon}{b-a}\] 이 성립한다. 따라서 \[\begin{align} U(f,\,P) - L(f,\,P) &= \sum_{i=1}^n (M_i - m_i ) \Delta x_i \\[4pt] & < \frac{\epsilon}{b-a} \sum_{i=1}^n \Delta x_i \\[4pt] & = \frac{\epsilon}{b-a} (b-a) = \epsilon \end{align}\] 이므로 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능하다.
구분구적법으로 모든 함수의 적분 가능성을 판별할 수는 없지만, 리만 적분 가능성이 보장된 함수의 경우에는 구분구적법으로 적분값을 계산할 수 있다.
정리 6. (구분구적법을 이용한 적분값의 계산)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되어 있다고 하자. 만약 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능하면 적분값은 다음과 같이 계산할 수 있다. \[\int_a^b f(x)\,d x = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f \left( a+ \frac{b-a}{n} i \right) \frac{b-a}{n}\tag{13}\]
증명
\([a,\,b]\)에서 \(f\)의 리만 적분값을 \(J\)라고 하자. 그리고 \([a,\,b]\)를 \(n\)등분한 분할을 \(P_n\)이라고 하자. 즉 \[x_i = a+ \frac{b-a}{n}i ,\,\, (i = 1,\,2,\,\cdots,\,n)\] 이고 \[P_n = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\] 이다. \(P_n\)에 의해 만들어진 각 소구간 \([x_{i-1} ,\, x_i ]\)의 오른쪽 끝점 \[(\xi^{(n)})_{i} = x_i = a+\frac{b-a}{n} i\] 를 택하여 만든 표집수열을 \(\xi^{(n)} = \left\{ (\xi^{(n)})_{i} \right\}\)라고 하자.
이제 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능하므로 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(\lVert P \rVert < \delta\)인 분할 \(P\)와 임의의 표집수열 \(\xi \in \mathcal{S}(P)\)에 대하여 \(\lvert S(f,\,P,\,\xi ) - J \rvert < \epsilon\)이 성립한다. \(b-a < N\delta\)인 자연수 \(N\)을 택하자. 그러면 \[\left\lVert P_N \right\rVert = \frac{b-a}{N} < \delta\] 이므로 \[\left\lvert S(f,\,P_N ,\, \xi^{(N)} ) - J \right\rvert < \epsilon\] 이 성립한다. \(n > N\)이라고 하면 \(\lVert P_n \rVert < \delta\)이고 \[S (f,\,P_n ,\, \xi^{(n)} ) = \sum_{i=1}^n f \left(a+ \frac{b-a}{n} i \right) \frac{b-a}{n}\] 이므로 \[\left\lvert \sum_{i=1}^{n} f\left( a+ \frac{b-a}{n} i \right) \frac{b-a}{n} - J \right\rvert < \epsilon \tag{14}\] 이 성립한다. 즉 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n > N\)일 때마다 (14)가 성립하므로 수열의 극한의 정의에 의하여 (13)의 등식을 얻는다.
예제 3. 다음 적분을 계산하시오. \[\int_{2}^{5} x^2 \,dx \]
풀이. 함수 \(f(x) = x^2\)은 \([2,\,5]\)에서 연속이므로, 이 구간에서 적분 가능하다. 그러므로 정리 6에 의하여 구분구적법을 이용하여 적분값을 계산할 수 있다.
\(a = 2,\) \(b=5 \)로 두고 정리 6의 식 (13)을 이용하면 \[\begin{align} \int_2^5 x^2 \,dx &= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( 2+ \frac{3}{n}i \right)^2 \cdot \frac{3}{n} \\[4pt] &= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( 4+ \frac{12}{n} i + \frac{9}{n^2} i^2 \right) \cdot \frac{3}{n} \\[4pt] &= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{12}{n} + \frac{36}{n^2}i + \frac{27}{n^3} i^2 \right) \\[4pt] &= \lim_{n\to\infty} \left( 12 + \frac{36}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{27}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)\\[6pt] &= 12 + 18 + 9 = 39 \end{align}\] 이다.
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이 아닐지라도, 불연속인 점이 많지 않으면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다.
정리 7. (불연속점의 개수가 유한인 함수의 적분 가능성)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의되었으며 이 구간에서 유계인 함수라고 하자. 만약 \([a,\,b]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 개수가 유한이면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다.
증명
불연속인 점의 개수를 변수로 하는 수학적 귀납법을 이용하여 증명하자.
\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속인 경우 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다.
이제 \(f\)가 \([a,\,b]\)의 점 중에서 오직 한 점 \(c\)에서만 불연속인 경우를 증명하자. \(a < c < b\)라고 해도 일반성을 잃지 않는다. \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계이므로 \([a,\,b]\)에서 \(\lvert f \rvert\)의 상계 \(M > 0\)이 존재한다. 즉 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(-M \le f(x) \le M\)이다. \[\delta < \min\left\{ \frac{\epsilon}{12 M} ,\, c-a ,\, b-c \right\}\tag{15}\] 인 \(\delta > 0\)을 택하자. \(f\)는 \([a,\, c-\delta ]\)에서 연속이므로 이 구간에서 적분 가능하다. 그러므로 \([a,\, c-\delta ]\)의 분할 \(P_1\)이 존재하여 \[U(f,\,P_1 ) - L(f,\,P_1 ) < \frac{\epsilon}{3}\tag{16}\] 을 만족시킨다. 마찬가지로 \(f\)는 \([c+\delta,\, c]\)에서 연속이므로 적분 가능하며, \([c+\delta,\, c]\)의 분할 \(P_2\)가 존재하여 \[U(f,\,P_2 ) - L(f,\,P_2 ) < \frac{\epsilon}{3}\tag{17}\] 을 만족시킨다. \(P = P_1 \cup P_2\)라고 하자. 그러면 \(P\)는 \([a,\,b]\)의 분할이며 \[\begin{align} U(f,\,P) - L(f,\,P) &< U(f,\,P_1 ) + 2\delta \cdot M + U(f,\,P_2 ) \\[8pt]&\quad - \left[ L(f,\,P_1 ) - 2\delta \cdot M - L(f,\,P_2 ) \right] \\[8pt] &= (U(f,\,P_1 ) - L(f,\,P_1 )) + 4\delta \cdot M \\[8pt]&\quad + (U(f,\,P_2 ) - L(f,\,P_2 ) ) \\[6pt] &< \frac{\epsilon}{3} + 4\cdot \frac{\epsilon}{12 M} \cdot M + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon \\[6pt] \end{align}\] 이므로 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다.
다음으로 \(k\)가 자연수이고 \([a,\,b]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 개수가 \(k\) 이하인 경우 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다고 가정하자. 그리고 \([a,\,b]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 개수가 \((k+1)\)이라고 하자. \(f\)가 불연속인 점 하나를 택하여 \(c\)라고 하자. 물론 \(a < c < b\)라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. 이번에도 (15)를 만족시키는 \(\delta > 0\)을 택하자. \([a,\,c-\delta]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 개수는 \(k\) 이하이므로 \(f\)는 \([a,\,c-\delta]\)에서 적분 가능하다. 그러므로 \([a,\,c-\delta]\)의 분할 \(P_1\)이 존재하여 (16)을 만족시킨다. 마찬가지로 \([c+\delta ,\, b]\)의 분할 \(P_2\)가 존재하여 (18)을 만족시킨다. \(P = P_1 \cup P_2\)라고 하면 \(P\)는 \([a,\,b]\)의 분할이며, 앞에서와 같은 방법으로 \[U(f,\,P) - L(f,\,P) < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon\] 이므로 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다.
그러므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 \(n\)에 대하여, \([a,\,b]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 개수가 \(n\)일 때 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다.
불연속인 점의 개수가 무한일지라도 적분 가능할 수 있다.
예제 4. \(D = \left\{ 1/k \,\vert\, k \in \mathbb{N} \right\}\)이라고 하고 함수 \(f : [0,\,1] \,\to\, \mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자. \[f(x) = \begin{cases} 1 \quad & \text{if} \,\, x\in D \\[6pt] 0 \quad & \text{if} \,\, x\notin D \end{cases}\] 이때 \(f\)가 \([0,\,1]\)에서 적분 가능함을 보이고, 적분값을 구하시오.
풀이. \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(c = \epsilon / 2\)라고 하자. 그러면 \([c,\,1]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 개수는 유한이므로 \(f\)는 \([c,\,1]\)에서 적분 가능하다. 그러므로 리만 판정법에 의하여 \([c,\,1]\)의 분할\[P_1 = \left\{ x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\]이 존재하여 \[U(f,\,P_1 ) - L(f,\,P_1 ) < \frac{\epsilon}{2}\]을 만족시킨다. \(x_0 = 0\)이라고 하고 \[P = \left\{ x_0 \right\} \cup P_1 = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, x_2 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\]이라고 하자. 그러면 \[\begin{align} U(f,\,P) - L(f,\,P) &= \sum_{i=1}^{n} (M_i (f,\,P) - m_i (f,\,P)) \Delta x_i \\[6pt] &= (M_1 (f,\,P) - m_1 (f,\,P)) \Delta x_1 \\[6pt]&\quad + \sum_{i=2}^{n} (M_i (f,\,P) - m_i (f,\,P)) \Delta x_i \\[6pt] &= (M_1 (f,\,P) - m_1 (f,\,P)) (x_1 - x_0) \\[6pt]&\quad + \sum_{i=2}^{n} (M_i (f,\,P_1 ) - m_i (f,\,P_1 )) \Delta x_i \\[6pt] &\le 1\cdot (x_1 - x_0 ) + (U(f,\,P_1) - L(f,\,P_1 )) \\[6pt] &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align}\] 이므로 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 \([0,\,1]\)에서 적분 가능하다. 특히 무리수의 조밀성에 의하여 임의의 소구간은 무리수를 원소로 가지므로 \(L(f,\,P) = 0\)이다. 그러므로 위 부등식으로부터 \[0 \le L(f,\,P) \le U(f,\,P) < \epsilon\] 을 얻는다. 여기서 \(\epsilon\)이 임의의 양수이므로 상합 \(U(f,\,P)\)는 얼마든지 \(0\)에 가까워질 수 있다. 이때 하한의 성질에 의하여 \[\overline{\int_0^1} f(x) \,dx = \inf \left\{ U(f,\,P) \,\vert\, P \in \mathcal{P}([0,\,1]) \right\} = 0\] 이며 \[\underline{\int_0^1} f(x)\,dx \ge L(f,\,P) =0\] 이므로 \[\int_0^1 f(x) \,dx =0\] 이다.
적분 가능한 함수를 합성한 함수가 항상 적분 가능한 것은 아니다. 하지만 \(f\)가 적분 가능하고 \(g\)가 연속인 경우 \(g\circ f\)의 적분 가능성은 보장된다.
정리 8. (합성함수의 적분 가능성)
\([a,\,b]\)와 \([c,\,d]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 정의된 함수이며 \(g\)가 \([c,\,d]\)에서 정의된 함수라고 하자. 만약 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고 \(g\)가 \([c,\,d]\)에서 연속이며 임의의 \(x\in [a,\,b]\)에 대하여 \(f(x) \in [c,\,d]\)이면 \(g\circ f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다.
증명
\(h=g\circ f\)라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(g\)는 \([c,\,d]\)에서 균등연속이므로 \(\delta_1 > 0\)이 존재하여 임의의 \(s\in [c,\,d],\) \(t\in [c,\,d]\)에 대하여 \[\lvert s-t \rvert < \delta_1 \quad \Rightarrow \quad \lvert g(s) - g(t) \rvert < \epsilon\] 이 성립한다. \(\delta = \min\left\{ \delta_1 ,\, \epsilon \right\}\)이라고 하자. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하므로 \([a,\,b]\)의 분할 \[P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\]이 존재하여 \[U (f,\,P) - L(f,\,P ) < \delta ^2 \tag{18}\] 을 만족시킨다. \[\begin{align} A &= \left\{ i\in \mathbb{N} \,\vert\, i \le n ,\, M_i (f,\,P) - m_i (f,\,P) < \delta \right\}, \\[8pt] B &= \left\{ i\in \mathbb{N} \,\vert\, i \le n ,\, M_i (f,\,P) - m_i (f,\,P) \ge \delta \right\} \end{align}\] 라고 하자. 만약 \(i\in A\)이면 \(\delta\)의 정의에 의하여 \[M_i (h,\,P) - m_i (h ,\,P) \le \epsilon\]이 성립한다.
구간 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 상한을 \(M,\) 하한을 \(m\)이라고 하자. 그리고 \[K = \sup \left\{ \lvert g(t) \rvert \,\vert\, m \le t \le M \right\}\] 이라고 하자. 만약 \(i\in B\)이면 \[M_i (h,\,P) - m_i (h,\,P) \le 2K\]가 성립한다. 그런데 (18)에 의하여 \[\delta \sum_{i\in B} \Delta x_i \le \sum_{i\in B} ( M_i (f,\,P) - m_i (f,\,P)) \Delta x_i < \delta^2\] 이므로 \[\sum_{i\in B} \Delta x_i < \delta\] 를 얻는다. 따라서 \[\begin{align} U(h,\,P) - L(h,\,P) &= \sum_{i\in A} (M_i (h,\,P) - m_i (h,\,P)) \Delta x_i \\[4pt] & \quad + \sum_{i\in B} (M_i (h,\,P) - m_i (h,\,P)) \Delta x_i \\[6pt] &< \epsilon (b-a) + 2K \delta \le \epsilon (b-a+2K) \end{align}\] 가 성립한다. 여기서 \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(\epsilon (b-a+2K )\) 또한 임의의 양수이다. 그러므로 리만 판정법에 이하여 \(h\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다.
결론
이 포스트에서는 리만 적분을 정의하고 리만 적분과 동치인 개념을 살펴보았으며, 리만 적분 가능성을 판별하는 몇 가지 방법을 살펴보았다. 또한 구분구적법을 이용하여 적분값을 계산하는 예를 살펴보았다.
하지만 리만 적분 가능한 함수와 적분 가능하지 않은 함수를 쉽게 구분하는 방법은 밝히지 않았으며, 적분값을 계산하는 일반적인 방법 또한 밝히지 않았다. 리만 적분 가능성을 판별하는 유용한 방법으로는 르베그의 정리(바로가기)가 있으며, 적분값을 계산하는 방법으로는 미적분학의 기본 정리가 있다. 이 두 정리는 다음 포스트에서 다루기로 하자.