특정한 구간에서 주어진 함수의 적분 가능성을 판별할 때에는 리만 적분의 정의를 이용하기도 하고 리만 판정법을 이용하기도 한다. 그러나 함수의 불연속점이 분포한 형태를 관찰함으로써 구간의 분할을 생각하지 않고서도 함수의 적분 가능성을 판별할 수 있다. 이 포스트에서는 불연속점의 분포 형태를 조사하여 적분 가능성을 판별하는 방법을 살펴본다.
별다른 언급이 없는 한 이 포스트에서 닫힌 구간 \([a,\,b]\)와 열린 구간 \((a,\,b)\)는 항상 길이가 양수인 구간을 나타내는 것으로 약속한다.
도입
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 이 구간에서 유계인 함수이며, \([a,\,b]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 개수가 유한일 때 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다. 그러나 \([a,\,b]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 개수가 무한일 지라도 \(f\)가 이 구간에서 적분 가능할 수도 있다. 예를 들면 \(D = \left\{ 1/k \,\vert\, k \in \mathbb{N} \right\}\)이라고 하고 함수 \(f : [0,\,1] \,\to\, \mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자. \[f(x) = \begin{cases} 1 \quad & \text{if} \,\, x\in D \\[6pt] 0 \quad & \text{if} \,\, x\notin D \end{cases}\] 그러면 \(f\)는 \([0,\,1]\)에서 무한히 많은 불연속점을 갖지만 이 구간에서 적분 가능하다. 한편 \[g(x) = \begin{cases} 1 \quad & \text{if} \,\, x\in \mathbb{Q} \\[6pt] 0 \quad & \text{if} \,\, x\notin \mathbb{Q} \end{cases}\] 라고 하면 \(g\)는 \([0,\,1]\)의 모든 점에서 불연속이며, 이 구간에서 적분 불가능하다.
여기까지만 보면 불연속인 점의 모임이 가산인 경우는 적분 가능하고, 불연속인 점의 모임이 비가산인 경우에는 적분 불가능할 것처럼 보인다. 그러나 이것은 사실이 아니다. \(C\)가 칸토어 집합(Cantor set)이고 \[h(x) = \begin{cases} 1 \quad & \text{if} \,\, x\in C \\[6pt] 0 \quad & \text{if} \,\, x\notin C \end{cases}\] 라고 하면 \(h\)는 \(C\) 위에서만 불연속이다. 즉 \([0,\,1]\)에서 \(h\)가 불연속인 점의 모임은 비가산이다. 그러나 \(h\)는 \([0,\,1]\)에서 적분 가능하다.
불연속점의 분포를 이용하여 함수의 적분 가능성을 판별하기 위해서는 집합을 가산집합과 비가산집합으로 구분하는 것만으로는 충분하지 않으며, 다른 구분법을 도입해야 한다.
측도 0
구간 \([0,\,1]\)은 길이가 \(1\)인 집합이다. 반면 집합 \(\left\{ 1/k \,\vert\, k\in\mathbb{N}\right\}\)은 길이가 \(0\)인 집합이다. 또한 칸토어 집합 \(C\)는 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 길이의 합이 \(\epsilon\)보다 작은 열린 구간들로 \(C\)를 덮을 수 있으므로 길이가 \(0\)인 집합이라 할 수 있다. 길이가 \(0\)인 집합을 엄밀하게 정의하면 다음과 같다.
정의 1. (측도 0)
\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. \(E\)가 측도 \(0\)인 집합이라는 것은 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 열린 구간들의 가산집합 \(\left\{ I_j \right\}\)가 존재하여 \(I_j\)의 길이의 합이 \(\epsilon\)보다 작으면서 \(\left\{ I_j \right\}\)가 \(E\)를 덮는 것을 의미한다.
직관적으로, 집합의 측도가 \(0\)이라는 것은 무시할 수 있을 정도로 작은 길이를 가졌다는 것을 의미한다. 사실 측도가 \(0\)인 집합 외에도 양수 측도(positive measure)를 정의할 수 있지만, 측도론을 깊이 살펴보는 것은 우리의 목적이 아니므로 여기서는 측도가 \(0\)인 경우만 정의한다.
정리 1. (측도 0인 집합의 성질)
측도 \(0\)인 집합과 관련하여 다음이 성립한다.
- 측도가 \(0\)인 집합의 부분집합의 측도는 \(0\)이다.
- 가산집합의 측도는 \(0\)이다.
- \(\left\{ E_k \,\vert\, k\in\mathbb{N}\right\}\)이 측도가 \(0\)인 집합의 모임이면 \(E=\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\)의 측도도 \(0\)이다.
증명
[1] \(E\)가 측도 \(0\)인 집합이고 \(F\subseteq E\)라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(E\)가 측도 \(0\)인 집합이므로 \(E\)를 덮으면서 길이의 합이 \(\epsilon\) 미만인 구간들의 가산집합 \(\left\{ I_j \right\}\)가 존재한다. 이때 \(\left\{ I_j \right\}\)는 \(F\)도 덮으므로 \(F\)는 측도 \(0\)인 집합이다.
[2] \(E\)가 가부번집합(무한인 가산집합)이라고 하자. 즉 \[E= \left\{ x_j \,\vert\, j\in\mathbb{N} \right\}\]이라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[I_j = \left( x_j - \frac{\epsilon}{2^{j+2}} ,\, x_j + \frac{\epsilon}{2^{j+2}} \right)\] 이라고 하면 \(I_j\)의 길이는 \(2^{-j-1}\epsilon\)이므로 \(I_j\)들의 길이의 합은 \(\epsilon / 2\)이다. 또한 각 \(j\)에 대하여 \(x_j \in I_j\)이다. 따라서 \(\left\{ I_j \right\}\)는 \(E\)를 덮으면서 길이의 합이 \(\epsilon\) 미만인 열린 구간들의 모임이다. 그러므로 \(E\)는 측도 \(0\)인 집합이다. 한편 유한집합은 가부번집합의 부분집합이므로 [1]에 의하여 유한집합의 측도도 \(0\)이다.
[3] \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 각 \(k\)에 대하여 길이의 합이 \(2^{-k-1}\epsilon\) 미만이면서 \(E_k\)를 덮는 열린 구간들의 모임 \(\left\{ I_{k,j} \right\}\)가 존재한다. 이때 \[\left\{ I_{k,j} \,\vert\, k\in\mathbb{N} ,\, j\in\mathbb{N} \right\}\]은 길이의 합이 \(\epsilon / 2\) 이하이고 \(E\)를 덮는 열린 구간들의 모임이므로 \(E\)는 측도 \(0\)인 집합이다.
예제 1. (구간의 측도)
닫힌 구간 \([0,\,1]\)의 측도가 \(0\)이 아님을 보이시오.
풀이. 결론과 반대로 \([0,\,1]\)이 측도 \(0\)인 집합이라고 가정하자. 그리고 \(\epsilon = 1/2\)이라고 하자. 그러면 \([0,\,1]\)을 덮으면서 길이의 합이 \(\epsilon\) 미만인 열린 구간들의 모임 \(\left\{ I_j \right\}\)가 존재한다. 하이네-보렐 정리에 의하여 \(\left\{ I_j \right\}\)에서 유한 개의 원소 \[(a_1 ,\, b_1 ) ,\,\, (a_2 ,\, b_2 ) ,\,\, \cdots ,\,\, (a_n ,\, b_n )\] 을 택하여 이들의 합집합이 \([0,\,1]\)을 덮도록 할 수 있다. 이 구간들의 개수는 유한이므로 \[\begin{align} 0 & \in (a_{r_1} ,\, b_{r_1} ),\\[7pt] b_{r_1} & \in (a_{r_2} ,\, b_{r_2} ),\\[7pt] b_{r_2} & \in (a_{r_3} ,\, b_{r_3} ),\\[7pt] &\,\,\vdots \\[7pt] b_{r_{n-1}} & \in (a_{r_n} ,\, b_{r_n} ) \end{align}\] 이 성립하도록 \[(a_{r_1} ,\, b_{r_1} ),\,\,(a_{r_2} ,\, b_{r_2} ),\,\, \cdots ,\,\,(a_{r_n} ,\, b_{r_n} )\] 과 같이 순서를 바꾸어 나열할 수 있다. 그러면 \[[0,\,1]\subseteq (a_{r_1} ,\, b_{r_1} ) \cup (a_{r_2} ,\, b_{r_2} ) \cup \cdots \cup (a_{r_n} ,\, b_{r_n} ) = (a_{r_1} ,\, b_{r_n} )\] 이므로 \[a_{r_1} < 0 \quad \text{and} \quad 1 < b_{r_n}\] 즉 \[b_{r_n} - a_{r_1} > 1\tag{1}\] 이다. 그런데 \[a_{r_2} < b_{r_1} ,\,\, a_{r_3} < b_{r_2} ,\,\, \cdots ,\,\, a_{r_n} < b_{r_{n-1}}\] 이므로 \[\begin{align} b_{r_n} - a_{r_1} &< ( b_{r_n} - a_{r_n} ) + (b_{r_{n-1}} - a_{r_{n-1}} ) + \cdots \\[4pt] &\quad + (b_{r_2} - a_{r_2}) + (b_{r_1} - a_{r_1} ) < \epsilon = \frac{1}{2} \tag{2} \end{align}\] 이다. (1)과 (2)는 서로 모순이다. 그러므로 \([0,\,1]\)은 길이의 합이 \(\epsilon\)보다 작은 열린 구간들로 덮을 수 없다.
예제 1의 풀이와 같은 방법으로, 길이가 양수인 모든 구간은 측도가 \(0\)이 아님을 보일 수 있다.
예제 2. (칸토어 집합의 측도)
칸토어 집합은 다음과 같이 만들어진 집합이다. 먼저 구간 \([0,\,1]\)의 가운데 \(1/3\)을 제거한다. 즉 \[C_1 = \left[ 0 ,\, \frac{1}{3} \right] \cup \left[ \frac{2}{3} ,\, 1 \right]\] 다음으로 남은 두 구간의 가운데 \(1/3\)을 제거한다. 즉 \[C_2 = \left[ 0,\, \frac{1}{9} \right] \cup \left[ \frac{2}{9} ,\, \frac{3}{9} \right] \cup \left[ \frac{6}{9} ,\, \frac{7}{9} \right] \cup \left[ \frac{8}{9} ,\, 1 \right]\] 이와 같이 남은 구간의 가운데 \(1/3\)을 제거하는 과정을 반복하여 닫힌 집합의 열 \(\left\{ C_i \right\}\)를 얻는다. 이때 \[C = \bigcap_{i=1}^{\infty} C_i\] 를 칸토어 집합(Cantor set)이라고 부른다.
- 칸토어 집합의 측도가 \(0\)임을 보이시오.
- 칸토어 집합이 비가산집합임을 보이시오.
풀이. [1] \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(n\)이 자연수일 때 \(C_n\)은 길이가 \(1/3^n\)인 \(2^n\)개의 닫힌 구간의 합집합이다. 따라서 이 닫힌 구간들의 길이의 합은 \((2/3)^n\)이다.
\((2/3)^N < \epsilon / 2\)인 자연수 \(N\)을 택하자. 그러면 \(C_N\)은 \(2^N\)개의 닫힌 구간들의 합집합 \[C_N = I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup \cdots \cup I_{2^N}\] 으로 표현된다. \[2^N \cdot 2\delta < \frac{\epsilon}{2}\]인 \(\delta > 0\)을 택하자. 그리고 각 \(I_i = [a_i ,\, b_i ]\)에 대하여 열린 구간 \(J_i = (a_i - \delta ,\, b_i + \delta )\)를 생각하자. 그러면 \(I_i \subseteq J_i\)이며 \(J_i\)들의 길이의 합은 [\(I_i\)들의 길이의 합]과 [구간의 개수에 \(2\delta\)를 곱한 값]을 더한 것과 같다. 즉 \(J_i\)들의 길이의 합은 \[\left( \frac{2}{3} \right)^N + 2^N \cdot 2\delta < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \] 이다. \(C \subseteq C_N\)이므로 \(C\)는 \(J_i\)들에 의하여 덮인다. 그런데 \(J_i\)는 길이의 합이 \(\epsilon\) 미만인 열린 구간이다. 그러므로 \(C\)는 측도 \(0\)인 집합이다.
[2] 구간 \([0,\,1]\)에 속한 실수를 삼진법으로 나타내자. 그러면 이 수들은 \[0. x_1 x_2 x_3 \cdots _{(3)}\] 와 같이 각 자리의 숫자가 \(0,\) \(1,\) \(2\) 중 하나인 소수로 나타낼 수 있다. 만약 이 수가 \(0\)이 아니고 이 표현이 유한소수라면 가장 작은 자리의 숫자에서 \(1\)을 빼고 그 뒤에 \(2\)를 연달아 적음으로써 무한소수로 나타낼 수 있다. 예컨대 \[0.1022_{(3)}\] 라면 이 소수는 \[0.1021222\cdots_{(3)}\] 와 같은 무한소수로 나타낼 수 있다.
이제 칸토어 집합에 속한 수를 생각하자. \(C_1\)을 만들 때 가운데 \(1/3\)을 제거했으므로 삼진법으로 나타냈을 때 소수점 아래 첫째 자리가 \(1\)인 수는 제외된다. 다음으로 \(C_2\)를 만들 때, 이전 단계에서 만들어진 두 구간의 가운데 \(1/3\)을 제거했으므로 삼진법으로 나타냈을 때 소수점 아래 둘째 자리가 \(1\)인 수는 제외된다. 이와 같은 과정에 의하여 소수점 아래 숫자 중에서 \(1\)이 포함된 수는 모두 제외된다. 즉 칸토어 집합은 삼진법으로 나타냈을 때 소수점 아래 숫자가 \(0\)과 \(2\) 뿐인 수의 모임이다.
칸토어 집합이 가산집합이라고 가정하자. 그러면 \(C\)의 원소를 \[ \begin{align} x_1 &= x_{1,1} \, x_{1,2} \, x_{1,3} \cdots _{(3)} \\[6pt] x_2 &= x_{2,1} \, x_{2,2} \, x_{2,3} \cdots _{(3)} \\[6pt] x_3 &= x_{3,1} \, x_{3,2} \, x_{3,3} \cdots _{(3)} \\[6pt] &\,\,\vdots \end{align}\] 과 같이 한 줄로 모두 나열할 수 있다. 이제 다음과 같은 수열을 생각하자. \[y_i = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} \,\, x_{i,i} = 2 \\[6pt] 2 & \quad \text{if} \,\, x_{i,i} = 0 \\[6pt] \end{cases}\] 그리고 \[y = y_1 \, y_2 \, y_3 \, \cdots _{(3)}\] 이라고 하자. 그러면 각 \(i\)에 대하여 \(y_i \ne x_{i,i}\)이므로 임의의 \(i\)에 대하여 \(y \ne x_i\)이다. 즉 \(y\)는 어떠한 \(x_i\)와도 같지 않다. 그러나 \(y\)는 삼진법으로 나타냈을 때 소수점 아래 모든 자리의 숫자가 \(0\) 또는 \(2\)인 수이므로 \(C\)의 원소이다. 이것은 모순이므로 \(C\)는 비가산집합이다.
함수의 진동량
함수 \(f\)가 점 \(c\)에서 연속이면 \(x\)가 \(c\)를 지날 때 함숫값 \(f(x)\)도 부드럽게 변화한다. 그러나 \(f\)가 \(c\)에서 불연속이면 \(x\)가 \(c\)를 지나는 순간 \(f(x)\)의 값이 급격하게 변화한다. 이때 \(c\)에서 \(f(x)\)의 값이 변화하는 양을 \(c\)에서 \(f\)의 진동량이라고 부른다. 정확한 정의는 다음과 같다.
정의 2. 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계라고 하자.
- \(J\)가 구간이고 \([a,\,b] \cap J \ne \varnothing\)일 때, \(J\)에서 \(f\)의 진동량(oscillation)을 다음과 같이 정의한다. \[\varOmega_f (J) := \sup \left\{ f(x) -f(y) \,\vert\, x\in J \cap [a,\,b] ,\,\, y\in J \cap [a,\,b] \right\}.\]
- 점 \(c\in [a,\,b]\)에서 \(f\)의 진동량을 다음과 같이 정의한다. \[\omega_f (c) := \lim_{h \to 0^+} \varOmega _f ((t-h ,\, t+h )).\]
직관적으로 구간 \(J\)에서 함수의 진동량이란 \(J\)에서 함숫값의 최대 변화량이며, 점 \(c\)에서 함수의 진동량이란 \(x\)가 \(c\)를 지나는 순간 \(f(x)\)의 변화량이다. \(c\)에서 \(f\)의 진동량은 \(x\to c\)일 때 \(f\)의 상극한과 하극한의 차와 같다.
예제 3. 임의의 실수 \(c\)에서 최대정수함수 \(f(x) = [x]\)의 진동량을 구하시오.
풀이. \(c\)가 정수가 아닐 때에는 \(\omega_f (c) = 0\)이며, \(c\)가 정수일 때에는 \(\omega_f (c) = 1\)이다.
예제 4. 함수 \(g\)가 \[g(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x} \quad & \text{if} \,\, x \ne 0 \\[6pt] 0 \quad & \text{if} \,\, x = 0 \end{cases}\] 으로 정의되어 있을 때, \(0\)에서 \(g\)의 진동량을 구하시오.
풀이. \(h > 0\)이고 \(J = (-h ,\, h )\)일 때, \(J\)에서 \(g\)의 최댓값은 \(1\)이고 최솟값은 \(-1\)이다. 즉 \(\varOmega_g (J) = 2\)이다.
그러므로 \(\omega_g (0) = 2\)이다.
이제 진동량의 성질을 살펴보자. 이 성질들은 뒤에서 르베그의 정리를 증명하는 데에 사용된다.
보조정리 1.
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계이면 \([a,\,b]\)의 임의의 점 \(t\)에서 \(f\)의 진동량 \(\omega_f (t)\)가 음이 아닌 유한값으로서 존재한다.
증명
\(t\in [a,\,b]\)라고 하자. \(t\in (a,\,b)\)라고 해도 일반성을 잃지 않는다. 구간 \(J\)에 대하여 \[\begin{align} M_J &= \sup \left\{ f(x) \,\vert\, x\in J\cap [a,\,b] \right\} ,\\[6pt] m_J &= \inf \left\{ f(x) \,\vert\, x\in J\cap [a,\,b] \right\} \end{align}\] 라고 정의하자. \(\sup (-f (x)) = -\inf (f(x))\)이므로 다음을 얻는다. \[\varOmega_f (J) = M_j - m_j \ge 0\tag{3}\] \((t-h_0 ,\, t+h_0 )\subseteq (a,\,b)\)인 양수 \(h_0\)을 택하자. \(0 < h < h_0\)인 \(h\)에 대하여 \[\phi (h) := \varOmega_f ((t-h ,\, t+h ))\] 라고 하자. 그러면 \(\phi (h)\)는 \((0,\,h_0 )\)에서 증가하므로 \(0\)에서 우극한을 가진다. 그런데 (3)에 의하여 \(\phi(h) > 0\)이다. 따라서 \(\omega_f (t)\)는 음이 아닌 유한값으로서 존재한다.
보조정리 2.
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계라고 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \[H = \left\{ t\in [a,\,b] \,\vert\, \omega_f (t) \ge \epsilon \right\}\] 은 컴팩트 집합이다.
증명
\(H\)는 \([a,\,b]\)의 부분집합이므로 유계이다. 이제 \(H\)가 닫힌 집합이 아니라고 가정하자. 그러면 모든 항이 \(H\)에 속하지만 \(H\) 밖의 점 \(t\)에 수렴하는 수열 \(\left\{ t_n \right\}\)이 존재한다. \(\omega_f (t) < \epsilon\)이므로 \(h_0 > 0\)이 존재하여 다음 부등식을 만족시킨다. \[\varOmega_f ((t-h_0 ,\, t+h_0 )) < \epsilon \tag{4}\] \(t_n \to t\)이므로 자연수 \(N\)이 존재하여 \[\left( t_N - \frac{h_0}{2} ,\, t_N + \frac{h_0}{2} \right) \subseteq (t-h_0 ,\, t+h_0 )\] 을 만족시킨다. 그러면 (4)에 의하여 \[\varOmega_f \left(\left( t_N - \frac{h_0}{2} ,\, t_N + \frac{h_0}{2} \right) \right) < \epsilon\] 이 성립한다. 즉 \(\omega_f (t_N ) < \epsilon\)인데, 이것은 \(t_N \in H\)라는 사실에 모순이다. 따라서 \(H\)는 닫힌 집합이다. 즉 \(H\)는 유계인 닫힌 집합이므로 하이네-보렐 정리에 의하여 \(H\)는 컴팩트 집합이다.
보조정리 3.
\(I\)가 유계인 닫힌 구간이고 함수 \(f\)가 \(I\)에서 유계이며 \(\epsilon > 0\)이라고 하자. 만약 임의의 \(t\in I\)에 대하여 \(\omega_f (t) < \epsilon\)이면 \(\delta > 0\)가 존재하여, 길이가 \(\delta\) 미만이고 \(I\)에 포함되는 임의의 닫힌 구간 \(J\)에 대하여 \(\varOmega_f (J) < \epsilon\)이 성립한다.
증명
각 \(t\in I\)에 대하여 \(\delta_t > 0\)가 존재하여 \[\varOmega_f ((t-\delta_t ,\, t+\delta_t )) < \epsilon \tag{5}\] 을 만족시킨다. \(\delta_t /2 > 0\)이므로 하이네-보렐 정리에 의하여 \(t_1 ,\) \(t_2 ,\) \(\cdots,\) \(t_N\)이 존재하여 \[I \subseteq \bigcup_{j=1}^N \left( t_j - \frac{\delta_{t_j}}{2} ,\, t_j + \frac{\delta_{t_j}}{2} \right)\] 를 만족시킨다. \[\delta = \frac{1}{2} \min \left\{ \delta_{t_j} \,\vert\, j=1,\,2,\, \cdots,\,N \right\}\] 이라고 하자. 만약 \(J\subseteq I\)이면 적당한 \(j\in\left\{ 1,\,2,\,\cdots,\,N \right\}\)에 대하여 \[J \cap \left( t_j - \frac{\delta_{t_j}}{2},\, t_j + \frac{\delta_{t_j}}{2} \right) \ne \varnothing\] 이 성립한다. 더욱이, 만약 \(J\)의 길이가 \(\delta\) 미만이면 \(J \subseteq (t_j - \delta_{t_j} ,\, t_j + \delta_{t_j} )\)가 성립한다. 특히 (5)에 의하여 \[\varOmega_f (J) \le \varOmega_f ((t_j - \delta_{t_j} ,\, t_j + \delta_{t_j} )) < \epsilon\] 이 성립한다.
보조정리 4.
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계라고 하자. \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 불연속점들의 모임을 \(E\)라고 하면 \[E = \bigcup_{j=1}^{\infty} \left\{ t\in [a,\,b] \,\bigg\vert\, \omega_f (t) \ge \frac{1}{j} \right\}\] 이다.
증명
함수 \(f\)가 \(t\in[a,\,b]\)에서 연속일 필요충분조건은 \(\omega_f (t) =0\)인 것이다. 따라서 \(t\in E\)일 필요충분조건은 \(\omega_f (t) > 0\)이다.
이제 비로소 르베그의 정리를 증명할 준비가 되었다.
르베그의 정리
르베그의 정리는 \([a,\,b]\)에서 함수 \(f\)가 불연속인 점들이 아주 적은 부분만 차지하면 \(f\)가 이 구간에서 적분 가능하다는 정리이다.
정리 2. (르베그의 정리)
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계라고 하자. 이때 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은 \([a,\,b]\)에서 \(f\)가 불연속인 점들의 집합의 측도가 \(0\)인 것이다.
증명
\([a,\,b]\)에서 \(f\)가 불연속인 점들의 모임을 \(E\)라고 하자. \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하지만 \(E\)의 측도가 \(0\)이 아니라고 가정하자. 그러면 보조정리 4에 의하여 \(j_0 \in \mathbb{N}\)이 존재하여 \[H = \left\{ t\in [a,\,b] \,\bigg\vert\, \omega_f (t) \ge \frac{1}{j_0} \right\}\] 의 측도가 \(0\)이 아니다. 특히 \(\epsilon _0 > 0\)이 존재하여, \(H\)를 덮으면서 모든 원소가 구간인 임의의 집합 \(\left\{ I_k \right\}\)에 대하여 \[\sum_{k=1}^{\infty} \left\lvert I_k \right\rvert \ge \epsilon_0 \tag{6}\] 을 만족시킨다. \(P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\)이 \([a,\,b]\)의 분할이라고 하자. 만약 \((x_{k-1} ,\, x_k )\cap H \ne \varnothing\)이면 \(H\)의 정의에 의하여 \[M_k (f,\,P) - m_k (f,\,P) \ge \frac{1}{j_0}\] 이 성립한다. 따라서 다음 부등식을 얻는다. \[\begin{align} U(f,\,P) - L(f,\,P) &= \sum_{k=1}^{n} (M_k (f,\,P) - m_k (f,\,P)) \Delta x_k \\[6pt] &\ge \sum_{(x_{k-1},\,x_k )\cap H \ne \varnothing} (M_k (f,\,P) - m_k (f,\,P)) \Delta x_k \\[6pt] &\ge \frac{1}{j_0} \sum_{(x_{k-1} ,\,x_k ) \cap H \ne \varnothing} \Delta x_k \end{align}\] 그런데 \[\left\{ [x_{k-1} ,\, x_k ] \,\vert\, (x_{k-1} ,\,x_k ) \cap H \ne \varnothing \right\}\] 은 \(H\)를 덮는 구간들의 모임이므로 (6)에 의하여 \[U(f,\,P) - L(f,\,P) \ge \frac{\epsilon_0}{j_0} > 0\] 을 얻는다. 이것은 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다는 데에 모순이다. 그러므로 \(E\)는 측도 \(0\)인 집합이다.
다음으로 역을 증명하자. \(E\)가 측도 \(0\)인 집합이라고 하자. \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 상한을 \(M,\) 하한을 \(m\)이라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \((M-m+b-a) < j_0 \epsilon\)인 자연수 \(j_0\)을 택하자. \(E\)가 측도 \(0\)인 집합이므로 \[H = \left\{ t\in [a,\,b] \,\bigg\vert\, \omega_f (t) \ge \frac{1}{j_0} \right\}\] 도 측도 \(0\)인 집합이다. 따라서 \(H\)를 덮으면서 길이의 합이 \(1/j_0\) 미만인 열린 구간들의 모임 \(\left\{ I_\nu \right\}\)가 존재한다. 보조정리 2에 의하여 \(N\)개의 원소를 가진 부분집합 \(\left\{ I_1 ,\, I_2 ,\, \cdots ,\, I_N \right\}\)이 존재하여, 집합이 \(H\)를 덮으며 \[\sum_{\nu = 1}^{N} \left\lvert I_\nu \right\rvert < \frac{1}{j_0} \tag{7}\] 을 만족시킨다. 이제 \(U(f,\,P) - L(f,\,P) < \epsilon\)을 만족시키는 분할 \(P\)를 찾아야 한다. \(I_\nu\)들의 끝점들의 모임이 그러한 분할의 원소가 된다. 그러나 그러한 점들만 모으면 충분하지 않으며 \(I_\nu\)에 의해 덮이지 않는 \([a,\,b]\)의 부분을 분할하여 점을 더 추가해야 한다. 즉 \[\tilde{I} \subseteq [a,\,b] \setminus \bigcup_\nu I_\nu := [a,\,b] \setminus \left( I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_N \right)\] 이라고 하자. \(I_\nu\)들이 \(H\)를 덮으므로 임의의 \(t\in \tilde{I}\)에 대하여 \(\omega_f (t) < 1/j_0\)이 성립한다. 따라서 보조정리 3에 의하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \(J\subseteq \tilde{I} ,\) \(\lvert J \rvert < \delta\)일 때마다 \(\varOmega_f (J) < 1/j_0 \)이 성립한다.
\([a,\,b] \setminus \bigcup_\nu I_\nu \)를 길이가 \(\delta\) 미만인 구간들 \(J_1 ,\) \(J_2 ,\) \(\cdots ,\) \(J_s \)로 분할하자. 그러면 각 \(p\)에 대하여 \[\varOmega_f (J_p ) < \frac{1}{j_0} \tag{8}\] 이 성립한다. \(I_\nu\)의 끝점들과 \(I_p\)의 끝점들을 모아서 만든 분할을 \[P = \left\{ x_0 ,\, x_1 ,\, \cdots ,\, x_n \right\}\] 이라고 하자. 만약 \((x_{k-1} ,\, x_k ) \cap H \ne \varnothing\)이면 \(x_{k-1}\)과 \(x_k\)는 적당한 \(I_\nu\)의 끝점이므로 (7)에 의하여 \[\sum_{(x_{k-1} ,\,x_k ) \cap H \ne\varnothing} (M_k (f,\,P) - m_k (f,\,P)) \Delta x_k \le \frac{M-m}{j_0} \tag{9}\] 이 성립한다. 만약 \((x_{k-1} ,\,x_k ) \cap H = \varnothing\)이면 \(x_{k-1}\)과 \(x_k\)는 적당한 \(J_p\)의 끝점이므로 (8)에 의하여 \[\sum_{(x_{k-1} ,\,x_k ) \cap H = \varnothing} (M_k ( f,\,P) - m_k ( f ,\,P)) \Delta x_k \le \frac{1}{j_0} \sum_{k=1}^n \Delta x_k = \frac{b-a}{j_0} \tag{10}\] 가 성립한다. 이로써 (9)와 (10)을 결합하면 \[\begin{align} U(f,\,P) - L(f,\,P) &= \sum_{k=1}^{n} (M_k (f,\,P) - m_k (f,\,P)) \Delta x_k \\[6pt] &\le \frac{M-m+b-a}{j_0} < \epsilon \end{align}\] 이므로 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하다.
르베그의 정리를 활용한 예제들
르베그의 정리를 이용하면 함수의 적분 가능성을 쉽게 판별할 수 있다.
예제 5. \(D = \left\{ 1/k \,\vert\, k \in \mathbb{N} \right\}\)이라고 하고, 함수 \(f : [0,\,1] \to \mathbb{R}\)가 다음과 같이 정의되어 있다고 하자. \[f(x) = \begin{cases} 1 \quad & \text{if} \,\, x\in D \\[6pt] 0 \quad & \text{if} \,\, x\notin D \end{cases}\] 이때 \(f\)가 \([0,\,1]\)에서 적분 가능함을 보이시오.
풀이. \([0,\,1]\)에서 \(f\)가 불연속인 점의 집합은 \[E = \left\{ 0 \right\} \cup D\] 이다. \(E\)는 가산집합이므로 측도 \(0\)인 집합이다. 그러므로 르베그의 정리에 의하여 \(f\)는 \([0,\,1]\)에서 적분 가능하다.
예제 6. 함수 \(g\)가 \[g(x) = \begin{cases} 1 \quad & \text{if} \,\, x\in \mathbb{Q} \\[6pt] 0 \quad & \text{if} \,\, x\notin \mathbb{Q} \end{cases}\] 로 정의되었다고 하자. 이때 \(g\)가 \([0,\,1]\)에서 적분 불가능함을 보이시오.
풀이. \(g\)는 \([0,\,1]\)의 모든 점에서 불연속이다. 그런데 예제 1에 의하여 \([0,\,1]\)은 측도가 \(0\)이 아니다. 그러므로 르베그의 정리에 의하여 \(g\)는 \([0,\,1]\)에서 적분 불가능하다.
예제 7. \(C\)가 칸토어 집합이고 함수 \(h : [0,\,1] \to \mathbb{R}\)가 \[h(x) = \begin{cases} 1 \quad & \text{if} \,\, x\in C \\[6pt] 0 \quad & \text{if} \,\, x\notin C \end{cases}\] 로 정의되었다고 하자. 이때 \([0,\,1]\)에서 \(h\)의 적분 가능성을 판별하시오.
풀이. \(h\)가 불연속인 점은 모두 \(C\)에 속한다. 그런데 예제 2에 의하여 \(C\)는 측도가 \(0\)인 집합이다. 그러므로 르베그의 정리에 의하여 \(h\)는 \([0,\,1]\)에서 적분 가능하다.
예제 8. 함수 \(f : [a,\,b] \to [c,\,d]\)가 일대일 대응이고 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하지만 역함수 \(f^{-1}\)는 \([c,\,d]\)에서 적분 불가능한 함수 \(f\)의 예를 드시오.
풀이. \([a,\,b] = [0,\,1]\)이고 \(C\)가 칸토어 집합(Cantor set)이며 \(D\)가 SVC-집합(Smith-Volterra-Cantor set)이라고 하자. 즉 \(C\)는 예제 2에서 정의한 칸토어 집합이며, \(D\)는 구간 \([0,\,1]\)에서 시작하여 남은 구간에서 가운데 \(1/4\)씩을 제거하여 얻은 닫힌 집합이다.
먼저 함수 \(f : C \to D\)를 순증가하는 일대일 대응이 되도록 정의한다. 즉 \(C\)를 만드는 \(n\)번째 단계와 \(D\)를 만드는 \(n\)번째 단계에서 각각 닫힌 구간들의 합집합 \(C_n\)과 \(D_n\)을 얻는데, 구간의 끝점의 수가 같으므로 이 점들이 서로 대응되도록 순증가함수를 정의할 수 있으며, 각 조각들(닫힌 구간들)의 내부에서 일차함수가 되도록 함으로써 \(C\)로부터 \(D\)로의 순증가하는 일대일 대응 \(f\)를 구성할 수 있다.
같은 방법으로 \([0,\,1] \setminus C_n\)과 \([0,\,1] \setminus D_n\)도 각각 개수가 같은 열린 구간들의 합집합이므로 열린 구간들의 끝점을 대응시키되 순서가 반대가 되도록 하며, 각 열린 구간의 내부에서 감소하는 일차함수가 되도록 함으로써 두 집합 사이에 순감소하는 일대일 대응을 정의할 수 있다. 이와 같은 방법으로 \([0,\,1] \setminus C\)를 \([0,\,1] \setminus D\)에 대응시킨 함수를 \(f\)라 하자.
이제 \(f\)는 \([0,\,1]\)로부터 \([0,\,1]\)로의 일대일 대응이며, \(C\)의 점을 \(D\)에 대응시킨다. 또한 \(f\)는 \(C\) 위에서만 불연속이고 \(C\)가 측도 \(0\)인 집합이므로 르베그의 정리에 의하여 \(f\)는 \([0,\,1]\)에서 적분 가능하다. 그러나 \(f^{-1}\)는 \(D\)에서 불연속이고 \(D\)의 측도가 \(0\)이 아니므로(참조: Wikipedia) 르베그의 정리에 의하여 \(f^{-1}\)는 \([0,\,1]\)에서 적분 불가능하다.