계수와 상수가 실수인 이차방정식이 실수 범위에서 몇 개의 해를 갖는지 알아보기 위해서는 판별식의 부호를 살펴보면 된다. 이와 비슷하게 정사각행렬의 역행렬이 존재하는지 알아보는 공식이 있는데, 그것이 행렬식이다. 행렬식은 특정한 조건을 만족시키는 선형범함수로 정의될 수도 있는데, 그러한 함수는 크기가 작은 행렬의 행렬식을 이용하여 크기가 큰 행렬의 행렬식을 계산하는 귀납적인 방법으로 정의된다. 또한 행렬식은 행렬의 각 성분들을 이용하여 직접 계산하는 방식으로 정의될 수도 있다. 이 포스트에서는 행렬식의 …
벡터공간은 물체의 위치를 기술할 수 있는 추상적인 형태의 공간이다. 그러나 벡터공간에는 벡터의 합과 스칼라 곱이라는 두 개의 연산만 존재하기 때문에 점 사이의 거리나 두 벡터 사이의 각의 크기를 정의할 수 없다. 대신 벡터공간에 내적이라는 구조를 추가함으로써 거리와 각의 크기를 정의할 수 있다. 이 포스트에서는 내적의 개념과 성질을 살펴보고, 이로부터 파생되는 기저의 성질을 살펴본다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \] 실내적공간 \(V\)가 실벡터공간이라고 하자. 함수 \[ …
\(V\)가 체 \(F\) 위에서의 벡터공간이라고 하자. \(F\)는 자기 자신 위에서 정의된 \(1\)차원 벡터공간이다. 이러한 관점에서 \(V\)로부터 \(F\)로의 모든 선형변환들의 모임을 \(V^*\)로 나타낸다. 만약 임의의 \(f,\,g \in V^*\)와 \(\lambda \in F\)에 대하여 \(f+g\)와 \(\lambda f\)를 모든 \(x\in V\)에 대하여 \[\begin{gather} (f+g)(x) = f(x) + g(x), \\[6pt] (\lambda f)(x) = \lambda (f(x)) \end{gather}\] 를 만족시키는 함수로 정의하면 \(V^*\)는 벡터공간이 된다. 이때 \(V^*\)를 \(V\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부른다. …
체 \(K\) 위에서 정의되어 있고 차원이 \(n\)인 유한차원 벡터공간은 \(K^n\)와 동형이다. 그러므로 유한차원 벡터공간 사이에서 정의된 선형변환은 적당한 \(n,\) \(m\)에 대하여 선형변환 \(T : K^n \rightarrow K^m\)과 같은 것으로 생각할 수 있다. 더욱이 \(T : K^n \rightarrow K^m\)은 행렬로 나타낼 수 있으므로 유한차원 벡터공간 사이에 정의된 선형변환은 행렬과 동일시할 수 있다. 그런데 이러한 행렬 표현은 벡터공간에 어떠한 기저가 주어졌는지에 따라 달라진다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} …
\(V\)와 \(W\)가 체 \(F\) 위에서의 벡터공간이라 하자. 만약 함수 \(T : V \rightarrow W\)가 두 조건 임의의 \(v_1 ,\, v_2 \in V\)에 대하여 \(T(v_1 + v_2 ) = T(v_1 ) + T(v_2 )\)이다, 임의의 \(k \in F\)와 \(v\in V\)에 대하여 \(T(kv) = kT(v)\)이다 를 모두 만족시키면 \(T\)를 선형변환(linear transformation)이라고 부른다. 만약 \(F = \mathbb{R}\)라면, \(T\)가 (1)을 만족시키더라도 (2)를 만족시키지 않을 수 있다. 그러나 \(F=\mathbb{Q}\)라면 …
벡터의 직교분해를 이용하여 코시-슈바르츠 부등식을 증명해 보자. \(V\)가 벡터공간이고 \(\mathbf{u},\,\mathbf{v}\in V\)라고 하자. 만약 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 중 하나 이상이 \(\mathbf{0}\)이면 자명하게 \[ \lvert \langle \mathbf{u} ,\, \mathbf{v} \rangle \rvert \le \lVert \mathbf{u} \rVert \lVert \mathbf{v} \rVert \tag{1}\] 를 얻는다. 그러므로 \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\) 중 어느것도 \(\mathbf{0}\)이 아니라고 가정하자. 그리고 \[\mathbf{w} = \mathbf{u} – \frac{\langle \mathbf{u} ,\, \mathbf{v} \rangle}{\lVert \mathbf{v} \rVert^2} \mathbf{v} \tag{2}\] 라고 하자. 그러면 \(\mathbf{u}\)는 …
\(n\)이 \(2\) 이상인 자연수이고 \(a_1 ,\) \(\cdots ,\) \(a_n ,\) \(b_1 ,\) \(\cdots,\) \(b_n\)이 모두 실수일 때 다음이 성립한다. \[\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^n a_i ^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i ^2 \right).\tag{1}\] 이 부등식을 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)이라고 부른다. 라그랑주 승수법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이 부등식을 증명해 보자. 증명을 마칠 때까지 첨수 \(i\)와 \(j\)는 \(n\) 이하의 자연수를 나타내는 것으로 약속한다. 증명 과정은 두 …
This set of exercises is retrieved from the eighth chapter of Linear Algebra by Robert J. Valenza. Note that these solutions are not fully elaborated; You have to fill the descriptions by yourself. Problem 8.1 Using the recursive definition given in the proof of the existence of determinant, systematically evaluate the determinant of the following matrix: \[A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\1&0&2\end{pmatrix}.\] Solution. \[\begin{aligned} \det (A) &= 1 \cdot …
This set of exercises is retrieved from the seventh chapter of Linear Algebra by Robert J. Valenza. Note that these solutions are not fully elaborated; You have to fill the descriptions by yourself. Problem 7.1 In \(\mathbb{R}^3,\) compute the inner product of \((1,\,2,\,-1)\) and \((2,\,1,\,4).\) What is the length of each vector? What is the angle between these vectors? Solution. The lengths of given …
This set of exercises is retrieved from the sixth chapter of Linear Algebra by Robert J. Valenza. Note that these solutions are not fully elaborated; You have to fill the descriptions by yourself. Problem 6.1 Let \(T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) be a linear transformation and suppose that \(T(1,\,1)=5\) and \(T(0,\,1)=2.\) Find \(T(x_1,\,x_2)\) for all \(x_1,\) \(x_2 \in \mathbb{R}.\) Solution. Suppose \((x_1 ,\,x_2 )\) be given. …