\(A\)가 \(n\)차 정사각행렬이고 모든 성분이 체 \(K\)의 성분이라고 하자. 즉 \(A\in M_n (K)\)라고 하자. 그리고 \(A\)의 특성다항식을 \(p_A (t)\)라고 하자. 그러면 \(\lambda \in K\)가 \(A\)의 고윳값일 필요충분조건은 \(p_A(\lambda)=0\)인 것이다. 이때 \(p_A (t)\)는 다음과 같은 꼴로 인수분해된다. \[p_A (t) = (t-\lambda )^r q(t).\] 여기서 \((t-\lambda)\)의 차수 \(r\)를 고윳값 \(\lambda\)의 대수적 중복도라고 부른다. 고윳값 \(\lambda\)를 고정시켜 두고 다음 집합을 생각하자. \[\left\{ \mathbf{v}\in \mathbb{R}^n \,\vert\, A\mathbf{v} = …
다음과 같은 타원의 방정식을 생각해 봅시다. \[2x^2 – 4xy + 5y^2 = 36\tag{1}\] 선형대수학에서 공부한 이차형식의 성질을 이용하면 좌변을 변형하여 타원의 장축과 단축의 길이를 구할 수 있습니다. 하지만 오늘은 라그랑주의 방법(method of Lagrange’s multiplier)을 이용하여 이 타원의 장축과 단축의 길이를 구해보겠습니다. 타원의 중심이 좌표평면의 원점이므로, 타원 위의 점 중에서 원점으로부터 가장 멀리 있는 점까지의 거리와 가장 가까이 있는 점까지의 거리를 찾으면 됩니다. 즉 타원 …
Problem 9.1 Describe geometrically the linear transformation \(T_A : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) given by \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\] and then interpret the meanings of the eigenvalues and eigenvectors accordingly. Solution. \(T_A\) is a reflection about the line \(y=x.\) Hence \(v\) is an eigenvector of \(T_A\) if and only if \(v\) is parallel to or orthogonal to the …
지난 포스트에서 벡터공간 \(K^n,\) \(K^m\) 사이에서 정의된 선형변환과 \(m\times n\) 행렬의 관계를 살펴보았다(지난 포스팅 보기). 이번에는 일반적인 유한차원 벡터공간 \(V,\) \(V’\) 사이에서 정의된 선형변환과 행렬의 관계를 살펴보자. \(K\)가 체이고 \(n\)과 \(m\)이 양의 정수라고 하자. 그리고 \(V\)와 \(V’\)이 \(K\) 위에서 정의된 \(n\)차원 벡터공간, \(m\)차원 벡터공간이라고 하자. 또한 \[\begin{align} B: &\,\, v_1 ,\, v_2 ,\, \cdots ,\, v_n, \\[6pt] B’ : & \,\, v_1 ‘ ,\, …
벡터공간 \(K^n,\) \(K^m\) 사이에서 정의된 선형변환과 \(m\times n\) 행렬의 관계를 살펴보자. \(K\)가 체(field)이고 \(n\)과 \(m\)이 양의 정수라고 하자. 모든 성분이 \(K\)에 속하는 \(m\times n\) 행렬들의 모임을\(\newcommand{\MatK}{\operatorname{Mat}_{m \times n}(K)}\) \[\MatK\] 로 나타낸다. 또한 정의역이 \(K^n\)이고 공역이 \(K^m\)인 선형변환들의 모임을\(\newcommand{\HomK}{\operatorname{Hom}(K^n ,\, K^m )}\) \[\HomK\] 으로 나타낸다. [여기서 \(K^n\)과 \(K^m\)은 통상적인 벡터 합과 스칼라 곱이 주어진 벡터공간이다.] 스칼라 \(k\in K\)와 \(m\times n\) 행렬 \(A = (a_{ij})_{m\times n}\), …
\[ \newcommand{\parallelsym}{\mathbin{\!/\mkern-5mu/\!}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \] This is a set of problems with which you can take exercise on linear algebra. Day 1. The problems for the first day are related to: Representation of Linear Transformations. Explain why every linear transformation between finite dimensional vector spaces can be regarded as a matrix. (Hint: Consider bases for domain and codomain of the transformation.) Use matrix multiplication to …
This is a set of problems with which you can take exercise on multiple integrals and integrals of vector fields. Day 1. The problems for the first day are related to chapter 15. In problem 1-5, evaluate the integrals. \[\int_1^2 \int_{-1}^1 \frac{x}{y^2} \,dx\,dy.\] \[\int_0^{\ln 2} \int_0 ^{\pi/2} e^x\,\cos y \,dy\,dx.\] \[\int_0^2 \int_{y/2}^1 e^{x^2} \,dx\,dy .\] \[\int_0^\pi \int_0^\pi \int_0^\pi \cos(x+y+z) dx\,dy\,dz.\] \[\int_{-1}^1 \int_0^{\sqrt{1-y^2}}\int_0^x (x^2 + …
유한차원 벡터공간 \(V\) 위에서 자기준동형사상 \(T\)가 정의되어 있을 때 \(T\)의 표현행렬은 \(V\)에 어떠한 기저가 주어졌는지에 따라 달라진다. \(V\)와 \( T\)가 적절한 조건을 만족시키면 \(V\)의 기저를 적절히 택하여 \(T\)의 표현행렬이 ‘대단히 좋은 형태’가 되도록 할 수 있다. 이 포스트에서는 벡터공간을 특성부분공간의 직합으로 나타내는 방법과 자기준동형사상을 조르당 표준형으로 나타내는 방법을 살펴본다. 이 포스트에서 다루는 벡터공간은 유한차원 벡터공간인 것으로 약속한다. \[ \newcommand{\Hom}{{\operatorname{Hom}}} \newcommand{\Mat}{{\operatorname{Mat}}} \newcommand{\proj}{{\operatorname{proj}}} \newcommand{\adj}{{\operatorname{adj}}} \newcommand{\Ker}{{\operatorname{Ker}}} \] …
정사각행렬의 특성다항식을 이용한 흥미로운 등식을 살펴보자. \(A\)가 이차장사각행렬이고 \[A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\] 일 때 다음이 성립한다. \[A^2 – (a+d)A + (ad-bc)I_2 = O.\] \(A\)의 특성다항식을 \(p(t)\)라고 하고 \(t=A\)를 대입함으로써 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다. \[p(A) = O.\] 이 등식이 성립하는 것은 우연이 아니며, Cayley-Hamilton 정리의 결과이다. 이 포스트에서는 특성다항식의 성질과 \(T\)-불변 공간의 개념을 살펴보고, …
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