이 글은 『미적분학 첫걸음』 4장 3절의 내용입니다. (미적분학 첫걸음 차례 보기)
이 절에서는 연속성과 관련된 정리 네 개를 살펴본다.
이 글에서는 직관적인 증명을 소개한다. 엄밀한 증명을 보고자 한다면 다음 게시글을 확인하기 바란다: 연속함수.
연속함수의 사잇값 정리
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속인 실숫값 함수라고 하자. 또한 \(f(a) < f(b)\)라고 하자. \(C\)가 \(f(a) < C < f(b)\)인 실수라고 하자. 집합 \[ E=\left\{x\in[a,\,b]\,\vert\,f(x)\le C\right\} \] 를 생각하자. \(E\)는 공집합이 아니고 위로 유계이므로 최소상계 \(c=\sup E\)를 가진다.
\(f(a) < C\)이고 \(f\)가 \(a\)에서 우연속이므로 \(E\)에는 \(a\)보다 큰 점이 존재한다. 또한 \(f(b)>C\)이고 \(f\)가 \(b\)에서 좌연속이므로 \(b\)에 충분히 가까운 점들은 \(E\)에 속하지 않는다. 따라서 \[ a < c < b \] 이다.
만약 \(f(c) < C\)라면 \(f\)의 연속성에 의하여 \(c\)보다 조금 큰 점 \(x\)에 대해서도 \(f(x) < C\)가 성립한다. 그러면 \(x\in E\)이면서 \(x>c\)가 되어 \(c\)가 \(E\)의 상계라는 사실에 모순이다.
반대로 \(f(c)>C\)라면 \(f\)의 연속성에 의하여 \(c\)에 충분히 가까운 점에서는 \(f(x)>C\)이다. 그러면 \(c\)보다 작은 어떤 수가 \(E\)의 상계가 되어 \(c\)가 \(E\)의 최소상계라는 사실에 모순이다.
따라서 \[ f(c)=C \] 이다.
이와 같은 상황은 다음 그림으로 나타낼 수 있다.
이로써 다음 정리를 얻는다.
정리 4.3.1. (연속함수의 사잇값 정리)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속인 실숫값 함수라고 하자. 그러면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이에 있는 모든 값을 취한다. 즉 만약 \(f(a) \ne f(b)\)이고 \(C\)가 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이에 있는 값이면, \(f(c)=C\)를 만족시키는 점 \(c\)가 구간 \((a,\,b)\)에 존재한다.
예제 4.3.1. 방정식 \(x^5 - x^2 - 1 = 0\)이 열린구간 \((0,\,2)\)에서 적어도 하나의 근을 가짐을 보이시오.
풀이. \(f(x) = x^5 - x^2 - 1\)이라고 하자. 그러면 \(f\)는 \(\mathbb{R}\)에서 연속인 함수이다. \(f(0) = -1\)이고 \(f(2) = 27\)이므로 사잇값 정리에 의하여 \(f(c)=0\)을 만족시키는 점 \(c\)가 열린구간 \((0,\,2)\)에 존재한다. 그러한 점 \(c\)가 바로 방정식의 근이다.
연속함수의 최대 최소 정리
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속인 실숫값 함수라고 하자. 이제 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계임을 보일 것이다.
결론과는 반대로 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계가 아니라고 가정하자. 그러면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 위로 유계가 아니거나 아래로 유계가 아니다. 일반성을 잃지 않고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 위로 유계가 아니라고 가정하자.
\(f\)가 \([a,\,b]\)에서 위로 유계가 아니므로, \(n\)이 양의 정수일 때 \(f(x_n ) > n\)을 만족시키는 점 \(x_n\)이 \([a,\,b]\)에 존재한다. 이와 같이 얻어진 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)이 유계인 수열이므로, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여 수렴하는 부분수열 \(\left\{ x_{n_k}\right\}\)가 존재한다. \(\left\{ x_{n_k}\right\}\)가 \(c\)에 수렴한다고 하자. \(\left\{ x_{n_k}\right\}\)의 모든 항이 \([a,\,b]\)에 속하므로 \(c\) 또한 \([a,\,b]\)에 속한다.
\(f\)가 \(c\)에서 연속이므로 수열 연속에 의하여 \[ \lim_{k\rightarrow\infty} f(x_{n_k})=f(c) \] 이다. 한편 \[ f(x_{n_k})>n_k \] 이고 \(n_k\rightarrow\infty\)이므로 \(f(x_{n_k})\rightarrow\infty\)이다. 이것은 모순이므로 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 위로 유계이다.
같은 방법으로 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 아래로 유계라는 사실도 증명된다.
정리 4.3.2. (연속함수의 유계성)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속인 실숫값 함수라고 하자. 그러면 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계이다.
같은 조건 아래에서 더 흥미로운 결과를 끌어낼 수 있다.
“모든 \(x\in [a,\,b]\)에 대하여 \(f(x) \le M\)”
을 만족시키는 실수 \(M\) 중에서 가장 작은 값을 택하자. 그러면 \(n\)이 양의 정수일 때 \[ f(x_n ) > M - \frac{1}{n} \] 을 만족시키는 점 \(x_n\)이 \([a,\,b]\)에 존재한다.
\(\left\{ x_n \right\}\)이 유계인 수열이므로 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여 수렴하는 부분수열 \(\left\{ x_{n_k}\right\}\)가 존재한다. \(\left\{ x_{n_k}\right\}\)가 \(c\)에 수렴한다고 하자. 그러면 \(c\in [a,\,b]\)이다. 그런데 \[ M \ge f(x_{n_k}) > M - \frac{1}{n_k} \] 이므로 \[ \lim_{k\rightarrow\infty} f(x_{n_k}) = M \] 이 성립한다. 더욱이 \(f\)가 \(c\)에서 연속이므로 수열 연속에 의하여 \[ \lim_{k\rightarrow\infty} f(x_{n_k}) = f(c) \] 이다. 그러므로 \[ f(c)=M \] 이고, \(f\)는 \([a,\,b]\)의 점 \(c\)에서 최댓값을 가진다.
같은 방법으로 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 최솟값을 가진다는 사실도 증명된다.
이로써 다음 정리를 증명하였다.
정리 4.3.3. (연속함수의 최대 최소 정리)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속인 실숫값 함수라고 하자. 그러면 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
역함수의 연속성
연속이고 일대일인 함수의 역함수가 연속함수임을 증명해 보자. 미적분학을 처음 공부하는 사람이라면 이 증명을 생략하고 정리의 내용만 확인해도 좋다.
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속인 실숫값 함수라고 하자. 또한 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 순증가한다고 하자. 즉
\(x_1 < x_2 \)일 때 \(f(x_1 ) < f(x_2 )\)
가 성립한다고 하자. 그러면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 일대일인 함수이다. \(A = f(a),\) \(B = f(b)\)라고 하자. 사잇값 정리에 의하여 \(A\)와 \(B\) 사이의 모든 값은 \(f\)의 함숫값으로 나타난다. 따라서 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 \([A,\,B]\)로의 일대일 대응이며, 역함수 \(g=f^{-1}\)가 존재한다.
이제 \(g\)가 \([A,\,B]\)에서 연속임을 보이자. \(C\in [A,\,B]\)라고 하자. 먼저 \(A < C < B\)인 경우를 생각하자. \(g(C)=c\)라고 하자. \(g\)가 증가함수이므로 단조수렴 정리에 의하여 \(C\)에서 \(g\)의 좌극한과 우극한이 수렴한다. \(C\)에서 \(g\)의 좌극한을 \(p,\) 우극한을 \(q\)라고 하자. 즉 \[ \lim_{y\rightarrow C^-} g(y) = p ,\quad \, \lim_{y\rightarrow C^+} g(y) = q \] 라고 하자. \(g(C) = c\)이고 \(g\)가 순증가하므로 \[ p\le c\le q \] 이다.
\(p < c\)라고 가정하고, \(p\)와 \(c\) 사이에 있는 값 \(x_1\)을 택하자. 그러면 \[ p < x_1 < c \] 이고 \(f\)가 순증가하므로 \[ f(x_1) < f(c)=C \] 이다. 한편 \[ \lim_{y\rightarrow C^-}g(y)=p < x_1 \] 이므로 \(C\)보다 작고 \(C\)에 충분히 가까운 \(y\)에 대하여 \[ g(y) < x_1 \] 이다. 이러한 \(y\)를 \[ f(x_1) < y < C \] 가 되도록 택할 수 있다. 그런데 \(f\)가 순증가하므로 \[ y=f(g(y)) < f(x_1) \] 이어야 한다. 이것은 \(f(x_1) < y\)와 모순이다. 따라서 \[ p=c \] 이다.
마찬가지로 \(c < q\)라고 가정하고 \(c < x_2 < q\)인 \(x_2\)를 택하면 모순을 얻는다. 따라서 \[ q=c \] 이다. 그러므로 \[ \lim_{y\rightarrow C^-} g(y) = \lim_{y\rightarrow C^+} g(y) = c = g(C) \] 이다. 따라서 \(g\)가 \(C\)에서 연속이다.
끝점 \(A\)와 \(B\)에서도 같은 논법으로 각각 \[ \lim_{y\rightarrow A^+}g(y)=g(A), \qquad \lim_{y\rightarrow B^-}g(y)=g(B) \] 를 얻는다. 따라서 \(g\)는 \([A,\,B]\)에서 연속이다.
\(f\)가 순감소하는 경우도 같은 방법으로 증명할 수 있다. 또한 닫힌구간에서 연속이고 일대일인 함수는 순증가하거나 순감소한다. 이 사실은 사잇값 정리를 이용하여 증명할 수 있다.
이로써 다음 정리를 얻는다.
정리 4.3.4. (역함수의 연속성)
\([a,\,b]\)가 길이가 양수인 구간이고 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 연속인 실숫값 함수이며 일대일이라고 하자. 또한 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 상(image)을 \(I\)라고 하자. 만약 \(g\)가 \(f\)의 역함수이면 \(g\)는 \(I\)에서 연속이다.
위에서 사용한 “닫힌구간에서 연속이고 일대일인 함수는 순증가하거나 순감소한다”라는 사실은 어렵지 않으니 직접 증명해 보기 바란다. (사잇값 정리를 사용하여 증명할 수 있다.)
보기 4.3.2. \(x\ge0\)인 범위에서 \(f(x) = \sqrt{x}\)라고 하자. 임의의 양수 \(M\)에 대하여 함수 \(g(x)=x^2\)은 구간 \([0,\,M]\)에서 연속이고 순증가하며, 그 역함수는 \(f(x)=\sqrt{x}\)이다. 따라서 정리 4.3.4에 의하여 \(f\)는 \([0,\,M^2]\)에서 연속이다. \(M\)을 임의로 택할 수 있으므로 \(f\)는 \([0,\,\infty)\)에서 연속함수이다.
보기 4.3.3. \(f(x) = \sin x\)라고 하자. \(f\)가 닫힌구간 \[ I = \left[ - \frac{\pi}{2} ,\, \frac{\pi}{2}\right] \] 에서 연속이고 순증가하므로, 그 역함수 \[ g(x) = \sin^{-1} x \] 는 구간 \([-1 ,\,1]\)에서 연속이다.