직관적으로, 함수가 연속이라는 것은 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있는 것이다. 그러나 이와 같은 직관적 개념만으로는 명확하게 다룰 수 없는 연속함수의 성질들이 있다. 이 글에서는 연속성을 엄밀하게 정의하고 연속성으로부터 파생되는 여러 가지 성질들을 살펴본다.
연속함수의 정의
연속의 정의는 한 점에서의 연속과 집합에서의 연속으로 구분하여 생각할 수 있다. 먼저 한 점에서의 연속의 정의를 살펴보자.
정의 1. (점에서의 연속성; 극한을 이용한 정의)
- 함수 \(f\)가 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간에서 정의되었다고 하자. 이 때 만약 \[\lim_{x\to c}f(x) = f(c)\] 이면 ‘\(f\)는 \(c\)에서 연속이다’라고 말한다.
- 함수 \(f\)가 \(c\)를 왼쪽 끝점으로 갖는 한 반닫힌 구간 \( [ c , \, d ) \)에서 정의되었다고 하자. 만약 \[\lim_{x\rightarrow c^+}f(x) = f(c)\] 이면 ‘\(f\)는 \(c\)에서 우연속이다’라고 말한다.
- 함수 \(f\)가 \(c\)를 오른쪽 끝점으로 갖는 한 반열린 구간 \((b,\,c]\)에서 정의되었다고 하자. 만약 \[\lim_{x\to c^-}f(x) = f(c)\] 이면 ‘\(f\)는 \(c\)에서 좌연속이다’라고 말한다.
- \(c\)가 함수 \(f\)의 정의역의 점이고 \(f\)가 \(c\)에서 연속이 아닐 때 ‘\(f\)는 \(c\)에서 불연속이다’라고 말한다.
함수의 정의역이 닫힌 구간인 경우, 구간의 왼쪽 끝점에서는 함수의 연속과 우연속을 같은 개념으로 간주하며, 구간의 오른쪽 끝점에서는 함수의 연속과 좌연속을 같은 개념으로 간주한다.
함수의 연속성을 다음과 같이 \(\epsilon - \delta\) 논법으로 정의할 수도 있다.
정의 2. (점에서의 연속성; \(\epsilon-\delta\)를 이용한 정의)
함수 \(f : D \to \mathbb{R}\)가 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린 구간, 또는 \(c\)를 닫힌 끝점으로 갖는 반닫힌구간에서 정의되었다고 하자. 만약 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(\delta > 0\)가 존재하여 \( |x-c| < \delta\)인 모든 \(x \in D\)에 대하여 \(|f(x) - f(c)| < \epsilon\)이 성립하면 ‘\(f\)는 \(c\)에서 연속이다’라고 말한다.
참고. \(D\)가 공집합이 아닌 집합이고 \(c \in D\)라고 하자. 만약 \(\delta > 0\)가 존재하여 \((c-\delta ,\, c+\delta) \cap D\)의 원소가 \(c\) 밖에 없을 때, 즉 \(c\) 주변에 \(D\)의 원소가 없을 때 \(c\)를 \(D\)의 고립점이라고 부른다. 정의 1에 따르면 \(c\)가 함수 \(f : D \to \mathbb{R}\)의 정의역의 고립점일 때 \(c\)에서 \(f\)의 극한이 정의되지 않으므로 \(c\)에서 \(f\)이 연속성 또한 정의되지 않는다.
그러나 만약 정의 2에서 \(f\)가 \(c\)를 원소로 갖는 구간에서 정의되었다는 가정을 제거하면 \(c\)는 \(f\)의 정의역의 고립점이 될 수도 있으며, 이 경우 정의 2에 따르면 \(f\)는 \(c\)에서 연속의 조건을 만족시킨다. 이 때문에 책에 따라서는 \(c\)가 \(f\)의 정의역의 고립점일 때 \(f\)는 \(c\)에서 연속이라고 정의하기도 한다.
정의 3. (집합에서의 연속성)
함수 \(f : D \to \mathbb{R}\)와 \(D\)의 부분집합 \(E\)가 주어졌다고 하자. 만약 \(E\)의 모든 점에서 \(f\)가 연속이면 ‘\(f\)는 \(E\)에서 연속이다’라고 말한다. 만약 \(f\)가 정의역의 모든 점에서 연속이면 ‘\(f\)는 연속함수이다’라고 말한다.
보기 1. \(p\)가 다항함수이면 모든 점에서 \(p\)의 극한값은 함숫값과 같으므로, 모든 다항함수는 연속함수이다. 마찬가지로 분수함수는 분모가 \(0\)이 되지 않는 점에서 극한값과 함숫값이 같으므로, 모든 분수함수는 연속함수이다.
보기 2. 최대정수함수 \(\lfloor x \rfloor\)는 모든 정숫점에서 불연속이며, 정수가 아닌 모든 점에서는 연속이다. 정숫점에서는 우연속이지만 좌연속은 아니다. 또한 모든 정숫점에서 좌극한과 우극한이 존재한다.
이처럼 함수 \(f\)가 \(c\)에서 불연속이지만 \(c\)에서 \(f\)의 좌극한과 우극한이 모두 존재할 때 ‘\(f\)는 \(c\)에서 단순불연속이다’라고 말한다. 단, \(c\)가 \(f\)의 정의역의 왼쪽 끝점이거나 오른쪽 끝점인 경우에는 \(c\)에서 \(f\)의 한방향 극한만 존재하여도 \(f\)는 \(c\)에서 단순불연속이다. 단순불연속이 아닌 모든 불연속을 제 2 종 불연속이라고 부른다.
참고. 책에 따라서는 ‘닫힌 구간에서의 연속성’을 따로 정의하기도 한다. 즉 ‘함수 \(f\)가 닫힌 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 것’을 ‘\(a < x < b\)인 모든 \(x\)에서 연속이고, \(a\)에서 우연속이며 \(b\)에서 좌연속인 것’으로 정의하기도 한다. 이와 같이 정의하면 \(a,\) \(b\)에서 불연속이지만 \([a,\,b]\)에서는 연속인 경우가 존재하게 된다. 예컨대 함수 \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)를 \[f(x) = \begin{cases} 2 \quad&\text{if} \,\, 1 \le x \le 3 \\[8pt]0\quad&\text{otherwise}\end{cases}\] 으로 정의하면 \(f\)는 \(1,\) \(3\)에서 불연속이지만 \([1,\,3]\)에서 연속이 된다.
연속함수의 성질
극한의 대수적 성질로부터 다음과 같은 연속함수의 성질을 얻는다.
정리 1. (연속함수의 대수적 성질)
함수 \(f\)와 \(g\)가 모두 \(c\)에서 연속이라고 하자.
- \(f+g ,\) \(f-g ,\) \( fg \)도 모두 \(c\)에서 연속이다.
- 만약 \(k\)가 실수이면 \(kf\)도 \(c\)에서 연속이다.
- 만약 \(g(c) \ne 0\)이면 \(f/g\)도 \(c\)에서 연속이다.
- \(n\)이 자연수이면 \(f ^ n\)도 \(c\)에서 연속이다.
- \(n\)이 자연수이고 \(\sqrt[n]{f}\)가 \(c\)를 원소로 갖는 한 열린구간에서 정의되면 \(\sqrt[n]{f}\)도 \(c\)에서 연속이다.
증명
\(x\,\to\,c\)일 때 극한의 성질에 의하여 \[\begin{align} (f+g)(x) = (f(x)+g(x)) &\,\to\, (f(c)+g(c)) = (f+g)(c),\\[8pt] (f-g)(x) = (f(x)-g(x)) &\,\to\, (f(c)-g(c)) = (f-g)(c),\\[8pt] (fg)(x) = (f(x)g(x)) &\,\to\, (f(c)g(c)) = (fg)(c),\\[8pt] (kf)(x) = (k f(x)) &\,\to\, (k f(c)) = (kf)(c),\\[8pt] (f/g)(x) = (f(x)/g(x)) &\,\to\, (f(c)/g(c)) = (f/g)(c),\\[8pt] (f^n )(x) = (f(x))^n &\,\to\, (f(c))^n = (f^n )(c),\\[8pt] \sqrt[n]{f}(x) = \sqrt[n]{f(x)} &\,\to\, \sqrt[n]{f(c)} = \sqrt[n]{f}(c) \end{align}\] 이므로 정리에서 주어진 함수는 모두 \(c\)에서 연속이다.
두 연속함수를 합성하였을 때 그 결과는 연속함수가 된다.
정리 2. (합성함수의 연속성)
함수 \(f\)가 \(c\)에서 연속이고 함수 \(g\)가 \(f(c)\)에서 연속이면 합성함수 \(g \circ f\)는 \(c\)에서 연속이다.
증명
\(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(g\)가 \(f(c)\)에서 연속이므로 \(\delta_1 > 0\)이 존재하여 \( |y-f(c)| < \delta_1 \)인 임의의 \(y\)에 대하여 \(|g(y) - g(f(c)) | < \epsilon\)이 성립한다.
\(\delta_1\)이 양수이고 \(f\)가 \(c\)에서 연속이므로 \(\delta > 0\)가 존재하여 \( |x-c| < \delta\)인 임의의 \(x\)에 대하여 \(|f(x) - f(c)| < \delta_1\)이 성립한다. 즉 \[\begin{align} |x-c| < \delta \quad & \Rightarrow \quad |f(x) - f(c)| < \delta_1 \\[8pt] & \Rightarrow \quad |g(f(x)) - g(f(c))| < \epsilon \\[8pt] & \Rightarrow \quad |(g \circ f)(x) - (g \circ f)(c)| < \epsilon \end{align}\] 이므로 \(g \circ f\)는 \(c\)에서 연속이다.
비슷한 방법으로 다음 정리를 얻는다.
정리 3. (함수의 연속성과 합성함수의 극한)
함수 \(f,\) \(g\)가 주어졌다고 하자. 만약 \(x \,\to\, c\)일 때 \(f(x) \,\to\, b\)이고, \(g\)가 \(b\)에서 연속이면 다음이 성립한다.
\[\lim_{x\,\to\,c} g(f(x)) = g(b) = g\left( \lim_{x\,\to\,c} f(x) \right) .\]증명
\(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(g\)가 \(b\)에서 연속이므로 \(\delta_1 > 0\)이 존재하여 \( |y-b| < \delta_1 \)인 임의의 \(y\)에 대하여 \(|g(y) - g(b) | < \epsilon\)이 성립한다.
\(\delta_1\)이 양수이고 \(f\)가 \(c\)에서 \(b\)에 수렴하므로 \(\delta > 0\)가 존재하여 \( 0<|x-c| < \delta\)인 임의의 \(x\)에 대하여 \(|f(x) - b| < \delta_1\)이 성립한다. 즉 \[\begin{align} 0<|x-c| < \delta \quad & \Rightarrow \quad |f(x) - b| < \delta_1 \\[8pt] & \Rightarrow \quad |g(f(x)) - g(b)| < \epsilon \\[8pt] & \Rightarrow \quad |(g \circ f)(x) - g (b)| < \epsilon \end{align}\] 이므로 \(g \circ f\)는 \(c\)에서 \(g(b)\)에 수렴한다.
연속함수의 사잇값 정리
정리 4. (연속함수의 사잇값 정리)
함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(f(a) \ne f(b)\)라고 하자. 만약 \(C\)가 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이에 있는 값이면 \(f(c) = C\)를 만족시키는 점 \(c\)가 \((a,\,b)\)에 존재한다.
증명
\(f(a) < C < f(b)\)인 경우만 증명해도 충분하다. 왜냐하면 \(f(a) > C > f(b)\)인 경우에는 같은 방법으로 증명하면 되기 때문이다.
다음과 같은 집합을 생각하자. \[E = \left\{ x \in [a,\,b] \,\vert\, f(x) \le C \right\}\] 이 집합은 공집합이 아니고 위로 유계이므로 실수계의 성질에 의하여 \(E\)의 상한이 존재한다. 그 점을 \(c\)라고 하자. 이제 \(c\)가 바로 \(f(c)=C\)를 만족시킨다는 것을 보여야 한다.
\(n\)이 자연수일 때 \(1/n\)은 양수이므로 상한의 성질에 의하여 \[c- \frac{1}{n} < x_n \le c \] 를 만족시키는 점 \(x_n\)이 \(E\)에 존재한다. 샌드위치 정리에 의하여 \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(x_n\,\to\,c\)이고 \(f\)가 \(c\)에서 연속이므로 \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(f(x_n ) \,\to\, f(c)\)이다. 그런데 임의의 \(n\)에 대하여 \(x_n \in E\) 즉 \(f(x_n ) \le C\)이므로 \(f(c) \le C\)이다.
한편 \(c < b\)이므로 \(n\)이 자연수일 때 \[c < y_n < c+ \frac{1}{n}\] 을 만족시키는 점 \(y_n\)이 \([a,\,b]\)에 존재한다. 샌드위치 정리에 의하여 \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(y_n\,\to\,c\)이고 \(f\)가 \(c\)에서 연속이므로 \(n\,\to\,\infty\)일 때 \(f(y_n )\,\to\,f(c)\)이다. 그런데 \(y_n\)은 \(E\)에 속하지 않으므로 임의의 \(n\)에 대하여 \(C \le f(y_n)\) 즉 \(C \le f(c)\)이다.
요컨대 \(f(c) \le C \le f(c)\)이므로 \(f(c)=C\)이다.
연속함수의 최대 최소 정리
\(E\)가 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이라고 하자. 만약 \(M \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(x\le M\)이면 \(M\)을 \(E\)의 최댓값이라고 부른다. 만약 \(m \in E\)이고, 임의의 \(x\in E\)에 대하여 \(m\le x\)이면 \(m\)을 \(E\)의 최솟값이라고 부른다.
비슷한 방법으로 함수의 최댓값과 최솟값을 정의할 수 있다.
정의 4. (함수의 최댓값과 최솟값)
\(f\)가 정의역이 \(D\)인 실숫값 함수라고 하자.
- 만약 \(c_1 \in D\)이고, 임의의 \(x\in D\)에 대하여 \(f(x) \le f(c_1 )\)이면 ‘\(f\)는 \(c_1\)에서 최댓값을 가진다’ 또는 ‘\(f\)는 \(D\) 위에서 최댓값 \(f(c_1)\)을 가진다’라고 말한다.
- 만약 \(c_2 \in D\)이고, 임의의 \(x\in D\)에 대하여 \(f(c_2 ) \le f(x )\)이면 ‘\(f\)는 \(c_2\)에서 최솟값을 가진다’ 또는 ‘\(f\)는 \(D\) 위에서 최솟값 \(f(c_2)\)를 가진다’라고 말한다.
닫힌 구간에서 연속인 함수는 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
정리 5. (연속함수의 최대 최소 정리)
함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이라고 하자. 그러면 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 최댓값과 최솟값을 가진다.
증명
먼저 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계임을 보이자. 즉 양수 \(X\)가 존재하여 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(\lvert f(x) \rvert\le X\)가 성립함을 보이자.
결론에 반하여 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 위로 유계가 아니라고 가정하자. 그러면 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(f(x_n ) > n\)인 점 \(x_n\)이 \([a,\,b]\)에 존재한다. 이 때 \(\left\{x_n \right\}\)은 모든 항이 \([a,\,b]\)에 속하는 수열이므로 유계이다. 그러므로 유계 수열의 성질에 의하여 \(\left\{x_n \right\}\)의 항을 일부를 모아서 수렴하는 수열을 만들 수 있다. 그 수열을 \(\left\{y_k \right\}\)라고 하자. \([a,\,b]\)가 닫힌 구간이므로 \(\left\{y_k \right\}\)의 극한값은 \([a,\,b]\)에 속한다. 그 극한값을 \(c\)라고 하자. \(\left\{y_k \right\}\)는 \(f(x_n ) > n\)을 만족시키는 수열 \(\left\{x_n \right\}\)의 일부 항을 모아 만든 수열이므로 \(k\,\to\,\infty\)일 때 \(f(y_k )\,\to\,\infty\)이다. 그런데 \(f\)는 연속함수이고 \(k\,\to\,\infty\)일 때 \(y_k \,\to\,c\)이므로 \(f(y_k ) \,\to\, f(c)\)이다. 이것은 \(f(y_k )\,\to\,\infty\)라는 사실에 모순이다. 그러므로 \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 위로 유계이다.
같은 방법으로 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 아래로 유계임을 증명할 수 있다.
이제 다음과 같은 집합을 생각하자. \[E = \left\{ f(x) \,\vert\, x \in [a,\,b]\right\}\] 그러면 \(E\)는 공집합이 아니고 위로 유계이므로 실수계의 성질에 의하여 \(E\)의 상한이 존재한다. 그 상한을 \(M\)이라고 하자. 만약 \(M\)이 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 최댓값이 아니라면, 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(f(x) < M\)이 성립한다. \(x\in [a,\,b]\)에 대하여 \[h(x) = \frac{1}{M - f(x)}\] 이라고 하면 \(h\)는 \([a,\,b]\)의 모든 점에서 잘 정의된 연속함수이다. 그러므로 앞의 논의에 의하여 \(h\)는 \([a,\,b]\)에서 위로 유계이다. 즉 양수 \(Y\)가 존재하여 임의의 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여 \(h(x) < Y\)가 성립한다. 이것은 \[\frac{1}{M-f(x)} < Y\] 즉 \[f(x) < M - \frac{1}{Y}\] 이 성립함을 의미한다. 한편 \(M\)은 \(E\)의 상한이고, \(M - 1/Y\)는 \(M\)보다 더 작은 값은 값이므로 \(f(x) > M-1/y\)인 점 \(x\)가 \([a,\,b]\)에 존재한다. 이것은 모순이므로 \(M\)은 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 최댓값이다.
같은 방법으로 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 최솟값이 존재함을 증명할 수 있다.
역함수의 연속성
함수가 연속이라는 것은 직관적으로 그 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있다는 것을 뜻한다. 그러므로 함수가 연속이고 역함수가 존재할 그 역함수의 그래프 또한 끊어지지 않고 이어져 있게 된다. 따라서 다음 정리를 얻는다.
정리 6. (역함수의 연속성)
함수 \(f\)가 닫힌 구간 \(I\)에서 연속이고 일대일인 함수라고 하자. 그리고 \(f\)의 치역을 \(J\)라고 하자. 그러면 역함수 \(f^{-1} :J \to I\) 또한 연속이다.
이 정리를 증명하기 위해서는 다음과 같은 보조정리가 필요하다.
정리 7. (단조수렴 정리)
\(h\)가 구간 \(I\)에서 정의된 증가함수이고 \(d\)가 \(I\)의 끝점은 아닌 점이라면 \(d\)에서 \(h\)의 좌극한과 우극한은 모두 수렴한다. 만약 \(d\)가 \(I\)의 왼쪽 끝점이고 \(h\)가 \(I\)에서 아래로 유계라면 \(d\)에서 \(I\)의 우극한이 수렴하며, 만약 \(d\)가 \(I\)의 오른쪽 끝점이고 \(h\)가 \(I\)에서 위로 유계라면 \(d\)에서 \(I\)의 좌극한이 수렴한다.
증명
\(d\)가 \(I\)의 끝점이 아닌 점이라고 하자. 그리고 집합 \[E = \left\{ h(x) \,\vert\, x \in I ,\, x < d \right\}\]를 생각하자. 이 집합은 위로 유계이므로 실수계의 성질에 의하여 \(E\)의 상한이 존재한다. \(E\)의 상한은 \(E\)의 원소일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있지만, 그것은 상관 없다. 그 점을 \(L\)이라고 하자. 그리고 \(\epsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(L\)이 \(E\)의 상한이므로 \(L - \epsilon < h(a) \le L,\) \(a < d\)인 점 \(a\)가 존재한다. \(\delta = d-a\)라고 하면 \(d - \delta < x < d\)일 때 \[L - \epsilon < h(x) \le L\] 이므로 \(d\)에서 \(h\)의 좌극한은 \(L\)에 수렴한다. 같은 방법으로 \(d\)에서 \(h\)의 우극한이 존재함을 보일 수 있다.
\(d\)가 \(I\)의 끝점인 경우의 증명도 이와 비슷하다. 증명을 여기에 너무 상세히 써주면 재미가 없을테니 직접 증명해보기 바란다.
이제 역함수의 연속성을 증명하자.
정리 6의 증명. 두 단계로 증명한다.
1단계. \(f\)가 닫힌 구간에서 일대일 함수이므로 \(f\)는 \(I\)에서 증가함수이거나 또는 \(f\)는 \(I\)에서 감소함수이다. 이 사실을 증명하자. 결론에 반하여 \(f\)가 \(I\)에서 증가함수도 아니고 감소함수도 아니라고 가정하자. 그러면 \(I\)의 세 점 \(x_1 ,\) \(x_2 ,\) \(x_3 \)이 존재하여 \(x_1 < x_2 < x_3\)이면서 \(f(x_1 ) < f(x_2 ) > f(x_3 )\)이거나, \(x_1 < x_2 < x_3\)이면서 \(f(x_1 ) > f(x_2 ) < f(x_3 )\)이 성립한다. 두 가지 중 첫 번째 경우에 대하여 증명하자. \(f(x_1 ) < f(x_2 ) > f(x_3 )\)인 경우, \[C = \frac{f(x_2 ) + \max \left\{ f(x_1 ) ,\, f(x_3 ) \right\}}{2}\] 라고 하면 \[f(x_1 ) < C < f(x_2 ) ,\qquad f(x_2 ) > C > f(x_3 )\] 이므로 연속함수의 사잇값 정리에 의하여 \[ x_1 < p_1 < x_2 < p_2 < x_3 \] 인 두 점 \(p_1 ,\) \(p_2 \)가 존재하여 \[ f(p_1 ) = C = f(p_2 )\] 를 만족시킨다. 이것은 \(f\)가 일대일 함수라는 데에 모순이다. \(f(x_1 ) > f(x_2 ) < f(x_3 )\)인 경우에도 같은 방법으로 모순을 끌어낼 수 있다. 그러므로 \(f\)는 \(I\)에서 증가함수이거나 감소함수일 수밖에 없다.
2단계. 이제 \(f\)가 \(I\)에서 증가함수라고 하자. 그러면 \(f^{-1}\)는 \(J\)에서 증가함수이다. \(d \in J\)이고 \(d\)가 \(J\)의 끝점은 아니라고 하자. 그리고 \(f^{-1}\)가 \(d\)에서 연속이 아니라고 가정하자. \(f^{-1}\)는 증가함수이므로 단조수렴 정리에 의하여 \(d\)에서 \(f^{-1}\)의 좌극한과 우극한이 존재하며, 둘 중 하나는 \(f^{-1}(d)\)와 다르다. \(d\)에서 \(f^{-1}\)의 좌극한이 \(p\)이고 그 값이 \(f^{-1}(d)\)와 다르다고 하자. \(c = f^{-1}(d)\)라고 하자. 그러면 \(p < c\)이며, \(p < x < c\)인 \(x\)는 \(I\)에 속하지 않게 된다. 왜냐하면, 만약 \(p < x < c\)인 \(x\)가 \(I\)에 속한다면 \(y=f(x)\)에 대하여 \[ y < d \quad \text{and} \quad f^{-1}(y) < c = f^{-1}(d)\] 이므로 \(d\)에서 \(f^{-1}\)의 좌극한은 \(f^{-1}(y)\) 이상이 되어야 한다. 그런데 이것은 \[f^{-1} (d^- ) = p < f^{-1}(y)\]이므로 모순이다. 그러므로 \(d\)에서 \(f^{-1}\)의 좌극한은 \(f^{-1}(d)\)와 다를 수 없다. 마찬가지로 \(d\)에서 \(f^{-1}\)의 우극한도 \(f^{-1}(d)\)와 다를 수 없다. 이것은 \(f^{-1}\)가 \(d\)에서 연속임을 의미한다. \(f\)가 \(I\)에서 감소함수인 경우도 같은 방법으로 \(f^{-1}\)가 \(d\)에서 연속임이 증명된다.
\(d\)가 \(J\)의 왼쪽 끝점이거나 오른쪽 끝점인 경우에도 위와 같은 방법으로 \(d\)에서 \(f^{-1}\)의 극한값과 함숫값이 같음을 보일 수 있다.
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멋있어요 선생님☆
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